一、單選題（共8題，每題5分，共40分.每題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 已知，且，則的最小值為（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
3. 如圖，平行四邊形中，，，若，，則（）
A. B. C. D.
4. 已知函數，在上單調遞增，則取值范圍是（）
A. B. C. D.
5. 在中，角所對的邊分別是，已知，且，當取得最小值時，的最大內角的余弦值是（）
A. B. C. D.
6. 第41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽于2024年7月日在重慶市育才中學成功舉辦．在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個服務項目，則不同的安排方案有（）種
A. 108B. 114C. 150D. 240
7. 已知偶函數定義域為，且，當時，，則函數在區(qū)間上所有零點的和為（）
A. B. C. D.
8. 已知，若有兩個零點，則實數的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
二、多選題（共3題，每題6分，共18分.全部選對的6分，部分選對得部分分，選錯不得分.）
9. 下列說法中正確的是（）
A. 若隨機變量，且，則
B. 某射擊運動員在一次訓練中次射擊成績單位：環(huán)如下：，，，，，，，，，，這組數據的百分位數為
C. 若隨機變量，且，則
D. 若變量y關于變量x線性回歸方程為，且，，則
10. 已知函數的圖象如圖所示，點，在曲線上，若，則（）
A.
B. 的圖象關于點對稱
C. 在上單調遞減
D. 若將圖象每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗笤谏嫌星覂H有2個極值點，則
11. 對于任意兩個正數，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數學家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現．關于，下列說法正確的是（）
AB.
C. D.
三、填空題（共3題，每題5分，共15分）
12. 已知x，y為正實數，則的最小值為__________．
13. 已知函數在區(qū)間上不單調，則的取值范圍是______．
14. 已知函數，給出下列四個結論：
①任意，函數最大值與最小值的差為2；
②存在，使得對任意，；
③當時，存在，，使得對任意，都有；
④當時，對任意非零實數，.
其中所有正確結論的序號是______.
四、解答題（共5題，共77分）
15. 函數的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，其中一個最高點坐標為．
（1）求函數的解析式；
（2）求函數在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間．
16. 某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術生產某款新手機，通過市場調研發(fā)現，生產該產品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產（千部）手機，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機的售價為5000元，且生產的手機當年全部銷售完.
（1）求2023年該款手機的利潤關于年產量的函數關系式；
（2）當年產量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
17. 如圖，在塹堵中（注：塹堵是一長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見于《九章算術》商功章），已知平面，，，點、分別是線段、的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
18. 某企業(yè)引進一條先進的生產線，發(fā)明了一種新產品，若該產品的質量指標為，其質量指標等級劃分如下表：
為了解該產品的經濟效益并及時調整生產線，該企業(yè)先進行試生產．現從試生產的產品中隨機抽取了1000件，將其質量指標值m的數據作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）若將頻率作為概率，從該產品中隨機抽取3件產品，求“抽出的產品中恰有1件一等品”的概率；
（2）若從質量指標值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取14件產品，再從這14件產品中任取3件產品，求一等品的件數的分布列及數學期望；
（3）若每件產品的質量指標值與利潤（單位：元）的關系如下表（）：
試確定t為何值時，每件產品的平均利潤達到最大．
19. 已知函數.
（1）證明：當時，只有1個零點；
（2）當時，討論單調性；
（3）若，設，證明.
答案：
一、單選題（共8題，每題5分，共40分.每題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據指數函數性質求出，再根據交集的含義即可得到答案.
，
所以，所以，
故選：C.
2. 已知，且，則的最小值為（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【正確答案】B
【分析】由，把代入，最后利用基本不等式即可求解.
，
當且僅當時，取“”成立，
故選：B.
3. 如圖，平行四邊形中，，，若，，則（）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據條件，結合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結果.
因為四邊形為平行四邊形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故選：D.
4. 已知函數，在上單調遞增，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】當時，根據一元二次函數的單調性求參數范圍；當時，根據導數與單調性的關系求參數范圍，再根據函數在上單調遞增，列不等式求解即可.
由題知當時，單調遞增，所以，解得；
當時，單調遞增，所以恒成立，
即恒成立，所以；
因為在上單調遞增，所以當時，，
所以的取值范圍是.
故選.
5. 在中，角所對的邊分別是，已知，且，當取得最小值時，的最大內角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用三角恒等變換結合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的條件，再根據余弦定理即可得結果.
因為，即，
可得，即，
由正弦定理可得，
又因為，當且僅當時，等號成立，
若取得最小值，則，
此時最大角為角A，，
所以的最大內角的余弦值是.
故選：C.
6. 第41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽于2024年7月日在重慶市育才中學成功舉辦．在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個服務項目，則不同的安排方案有（）種
A. 108B. 114C. 150D. 240
【正確答案】B
【分析】把5名新教師分成3組，利用分組分配及排除法列式計算即得.
5名新教師按分組有種方法，按分組有種分法，
因此5名新教師安排方案有種，
當甲乙在同一組時，甲乙可視為1個人，即相當于4名教師的安排方案，有種，
所以所求不同的安排方案有（種）.
故選：B
7. 已知偶函數定義域為，且，當時，，則函數在區(qū)間上所有零點的和為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】函數在區(qū)間上的零點的集合等于函數y=fx和函數在區(qū)間內的交點橫坐標的集合，分析函數的圖象特征，作出兩函數的圖象，觀察圖象可得結論.
因為函數，的零點的集合與方程在區(qū)間上的解集相等，
又方程可化為，
所以函數，的零點的集合與函數y=fx和函數在區(qū)間內的交點橫坐標的集合相等，
因為函數為定義域為R的偶函數，
所以f?x=fx，函數的圖象關于軸對稱，
因為，
取可得，，
所以函數為偶函數，
所以函數的圖象關于對稱，
又當時，，
作出函數y=fx，的區(qū)間上的圖象如下：
觀察圖象可得函數y=fx，的圖象在區(qū)間上有個交點，
將這個交點的橫坐標按從小到大依次記為，
則，，，，
所以函數在區(qū)間上所有零點的和為.
故選：A.
8. 已知，若有兩個零點，則實數的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】由同構的思想可知，若有兩個零點，則有兩個解，即有兩解，分離變量求導即可
解：由題意可知，若有兩個零點，則有兩個解，
等價于有兩個解，因為，x>0，所以，
令，原式等價于有兩個解，又在上單調遞增，
所以有兩個大于零的解.
解，可得，令，
則，當時，，當時，，
所以?x在上單調遞增，在上單調遞減，且，?x的圖象如圖：
所以當時，有兩個交點，即有兩個零點.
故選：A
方法點睛：當兩個函數可以構造成相同的形式時，常用同構的思想，構造函數，將兩個函數看成自變量不同時的同一函數，若函數有交點，轉化為自變量有交點求解.
二、多選題（共3題，每題6分，共18分.全部選對的6分，部分選對得部分分，選錯不得分.）
9. 下列說法中正確的是（）
A. 若隨機變量，且，則
B. 某射擊運動員在一次訓練中次射擊成績單位：環(huán)如下：，，，，，，，，，，這組數據的百分位數為
C. 若隨機變量，且，則
D. 若變量y關于變量x的線性回歸方程為，且，，則
【正確答案】AC
【分析】A選項利用二項分布求期望與方差的公式代入即可求解；B選項，先將數據排序，再利用求百分位數的方法求解即可；C選項，先根據題意確定，再利用正態(tài)分布曲線的對稱性即可求概率；D選項，利用回歸直線過樣本中心即可求解.
對于A，因為，所以，所以，
所以，A正確；
對于B，這組數從小到大排列為：，，，，，，，，，，
因為，所以這組數的百分位數為第八個數，即為，B錯誤；
對于C，因為隨機變量，所以正態(tài)曲線關于對稱，
由，得出，
所以，C正確；
對于D，因為，，，根據回歸直線過樣本中心，
有點在直線上，即，解得，D錯誤.
故選：AC
10. 已知函數的圖象如圖所示，點，在曲線上，若，則（）
A.
B. 的圖象關于點對稱
C. 在上單調遞減
D. 若將圖象每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗笤谏嫌星覂H有2個極值點，則
【正確答案】ABD
【分析】根據給定條件，結合圖象求出的解析式，再利用正弦型函數的逐一判斷即可.
對于A，由，得，而，在的遞增區(qū)間上，則，A正確；
依題意，，，解得，
函數的周期，解得，，
對于B，，的圖象關于點對稱，B正確；
對于C，當時，，當，即時，取得最大值2，
因此在上不單調，C錯誤；
對于D，將圖象每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得的圖象，
當時，，依題意，，解得，D正確.
故選：ABD
11. 對于任意兩個正數，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數學家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現．關于，下列說法正確的是（）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABD
【分析】根據所給新定義運算即可判斷AB，取特殊值判斷C，根據曲邊梯形與梯形面積大小判斷D.
由題意，所以，
當時，，
當時，，
當時，，
當或時，也成立，
綜上，，
對A，，，即，故A正確；
對B，，而，所以，故B正確；
對C，取，則，故C錯誤；
對D，如圖，
因為，所以，
即，故D正確.
故選：ABD
三、填空題（共3題，每題5分，共15分）
12. 已知x，y為正實數，則的最小值為__________．
【正確答案】
【分析】將原式變形為，再結合基本不等式即可求解.
，
令，
所以
，當且僅當取等號.
所以的最小值為.
故
13. 已知函數在區(qū)間上不單調，則的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】根據題意可知在區(qū)間有變號零點，結合變號零點與給定區(qū)間的關系求解即可.
由題意知，
因為在區(qū)間上不單調，即在區(qū)間有變號零點，又，所以，，，
所以在區(qū)間內，
所以，解得，即m的取值范圍是.
故答案為.
14. 已知函數，給出下列四個結論：
①任意，函數的最大值與最小值的差為2；
②存，使得對任意，；
③當時，存在，，使得對任意，都有；
④當時，對任意非零實數，.
其中所有正確結論的序號是______.
【正確答案】②③
【分析】①舉一例說明最大值與最小值的差不為2，②令，可證明，③取特值判斷，④例如時，舉一例說明，從而判斷各命題的真假．
，
①當時，，最大值是1，最小值是0，差為1，①錯；
②當時，，
，②正確；
③，，它的最小值正周期是，
存在，使得對任意，，③正確；
④當時，時，，
，
即，④錯，
所以正確的只有②③，
故②③．
四、解答題（共5題，共77分）
15. 函數的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，其中一個最高點坐標為．
（1）求函數的解析式；
（2）求函數在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由題意，利用三角函數的性質，列方程組，求解即可；
（2）首先得，根據復合函數單調性列不等式，求解即可.
【小問1】
由題意得，，，
解得，注意到，所以只能，，
所以函數的解析式為.
【小問2】
當時，，
令或，解得或，
所以由復合函數單調性可知，函數在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間為.
16. 某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術生產某款新手機，通過市場調研發(fā)現，生產該產品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產（千部）手機，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機的售價為5000元，且生產的手機當年全部銷售完.
（1）求2023年該款手機的利潤關于年產量的函數關系式；
（2）當年產量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
【正確答案】（1）
（2）當年產量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.
【分析】（1）根據利潤等于收入減去成本即可求出結果；
（2）根據（1）求出的函數關系式直接求最大值即可.
【小問1】
當時，，
當時,，
所以.
【小問2】
當時，,
∴當時，，
當時,
,
當且僅當，即時，，
因此當年產量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.
17. 如圖，在塹堵中（注：塹堵是一長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見于《九章算術》商功章），已知平面，，，點、分別是線段、的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）連接，可知為的中點，利用中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；
（2）取中點，推導出平面，可知是直線與平面所成的角，求出的正弦值，可求出的大小，由此可得出結果.
【小問1】
證明：連接，
因為且，故四邊形為平行四邊形，
因為為的中點，則為的中點，
又因為為的中點，所以，，
因為平面，平面，所以平面.
【小問2】
解：取中點，由題意可知，所以，且，
因為平面，平面，所以，
又，所以，
因為，、平面，所以平面．
連接，則是直線與平面所成的角．
由題意，同理可得，
則，
因為平面，平面，則，則，
因為，，即直線與平面所成角的余弦值為.
18. 某企業(yè)引進一條先進的生產線，發(fā)明了一種新產品，若該產品的質量指標為，其質量指標等級劃分如下表：
為了解該產品的經濟效益并及時調整生產線，該企業(yè)先進行試生產．現從試生產的產品中隨機抽取了1000件，將其質量指標值m的數據作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）若將頻率作為概率，從該產品中隨機抽取3件產品，求“抽出的產品中恰有1件一等品”的概率；
（2）若從質量指標值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取14件產品，再從這14件產品中任取3件產品，求一等品的件數的分布列及數學期望；
（3）若每件產品的質量指標值與利潤（單位：元）的關系如下表（）：
試確定t為何值時，每件產品的平均利潤達到最大．
【正確答案】（1）
（2）分布列見解析，
（3）
【分析】（1）根據頻率分布直方圖，求得1件產品為一等品的概率為，進而求得其概率；
（2）由頻率分布直方圖，結合分層抽樣抽取的件產品中，二等品有件，一等品有件，得到隨機變量的所有可能取值，求得相應的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3）由頻率分布直方圖，得到該產品的質量指標值與利潤（元）的關系，求得每件產品的平均利潤，結合二次函數的性質，即可求解.
【小問1】
解：記“抽出的產品中恰有1件一等品”為事件，
由頻率分布直方圖可得，1件產品為一等品的概率為，
則抽出的產品中恰有1件一等品的概率為.
【小問2】
解：由頻率分布直方圖可知，質量指標值的產品中，
可得的頻率為，的頻率為，
利用分層抽樣抽取的件產品中，二等品有件，一等品有件，
所以隨機變量的所有可能取值為，
可得，，
，，
所以隨機變量的分布列為
所以.
【小問3】
解：由頻率分布直方圖可得，該產品的質量指標值與利潤（元）的關系如下表所示（）
故每件產品的平均利潤：
，
所以當時，，
即當時，每件產品的平均利潤達到最大．
19. 已知函數.
（1）證明：當時，只有1個零點；
（2）當時，討論的單調性；
（3）若，設，證明.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）答案見（3）證明見解析
【分析】（1）利用導函數與單調性關系，確定的單調性，即可證明；
（2）利用導函數與單調性的關系，結合的不同取值討論求解；
（3）將所需證明不等式等價轉化為，設，則只需證明，即，構造函數利用導函數與最值的關系證明.
【小問1】
當時，，則函數的定義域為，
恒成立，
所以在單調遞減，
且，
根據零點唯一性定理可知，只有1個零點為0.
【小問2】
，因為，所以定義域為，
，
因為，
當，即時，
恒成立，即，
則函數在單調遞減；
當，即時，
方程的兩個根為
因為，且，
所以均在內，
當時，f'x

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