1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量，滿足，且，，則（ ）
A．5B．3C．2D．1
4．記為等差數(shù)列的前n項和，已知，．若，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為4和6，斜高為1，則該正三棱臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．設，，，設a，b，c的大小關系為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，的定義域為，且．若是偶函數(shù)，，是奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（每題5分，少選得2分，錯選0分）
9．下列等式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，若，則（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最小值為8
11．已知首項為的等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且，則（ ）
A．B．C．D．
12．已知函數(shù)，則（ ）
A．曲線在處的切線方程為
B．在上單調(diào)遞增
C．對任意的，，有
D．對任意的，，，，則
三、填空題（每題5分）
13．已知向量，則在上的投影向量的坐標為 ．
14．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則 ．
15．若數(shù)列滿足，則 ．（用具體數(shù)值作答）
16．已知曲線與曲線（）相交，且在交點處有相同的切線，則 .
四、解答題（共70分）
17．二次函數(shù)滿足，且方程有兩個相等的實數(shù)根.
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若在的最大值與最小值差為，若，求的最小值.
18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
(1)求角A；
(2)若，BC邊上的高為，求c.
19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式；
（2）在中，角，，的對邊分別為，，，若，求的取值范圍.
20．已知數(shù)列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
21．已知正項數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
22．已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)證明：存在實數(shù)，使得函數(shù)與各有2個零點，若各零點從小到大排列記為，，，，則滿足．
1．C
【分析】集合的交集的運算，注意集合中元素為整數(shù).
【詳解】由題意知，，所以；
故選：C.
2．B
【分析】根據(jù)全稱命題的否定原則求解即可.
【詳解】全稱命題的否定原則為，全稱量詞變?yōu)樘胤Q量詞，然后否定結(jié)論，
所以命題的否定為.
故選：B
3．D
【分析】將平方，求出， 再利用計算即可.
【詳解】∵，∴．∵，，
∴，∴，
∴．
故選：D．
4．B
【分析】設等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程組，解方程求出，即可求出，代入即可得出答案.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為．由條件可知解得
所以，．
由，得，即，解得（舍去）．
故選：B．
5．D
【分析】利用已知條件算出上下底面的面積和棱臺的高，再由體積公式計算.
【詳解】由正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，其上、下底面分別是邊長為4和6的等邊三角形，如圖所示，
為兩底面的中心，則為的中點，過作下底面垂線，垂足為，

，，，
棱臺的高，
該正三棱臺的上底面的面積為，下底面的面積為，
所以正三棱臺的體積．
故選：D
6．B
【分析】將所求角通過拆角、變角，利用兩角和的余弦公式求解即可.
【詳解】，所以，，
因為，所以，
因為，所以，
，
故選：B．
7．A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)判斷單調(diào)性后比較．
【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，則，
當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，
而，，，又，
所以，即，
故選：A
8．C
【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，得出的對稱性，然后得出關于的恒等式，與聯(lián)立得出的周期性，然后求出一個周期內(nèi)的各個值即可.
【詳解】由是奇函數(shù)可知，函數(shù)的圖象關于點對稱，
所以，則，
將其代入，得，所以.
又是偶函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，則．
由，得，所以．
由，得，所以，
則，所以，所以的周期為8．
由，，得，所以，
由，得，，所以，
由，
得，，，，
即，
所以
．
故選：C．
9．AB
【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：，故A正確；
對于選項B：，故B正確；
對于選項C：，故C錯誤；
對于選項D：，故D錯誤；
故選：AB.
10．ABD
【分析】對于AB：根據(jù)題意消去，結(jié)合的取值范圍分析求解；對于C：根據(jù)基本不等式運算求解；對于D：根據(jù)“1”的靈活應用結(jié)合基本不等式分析求解.
【詳解】因為，，則，可得，
對于選項AB：因為，
所以，，故AB正確；
對于選項C：因為，
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為，故C錯誤；
對于選項D：因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為8，故D正確；
故選：ABD.
11．AC
【分析】由得出的范圍，判斷A；作差結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷B；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，判斷C；由求和公式結(jié)合性質(zhì)判斷D.
【詳解】對于A：因為，所以，
則，解得，故A正確；
對于B：，則，故B錯誤；
對于C：因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，
因為，，即數(shù)列的前8項為負數(shù)，從第9項開始，都為正數(shù)，
則，故C正確；
對于D：，故D錯誤；
故選：AC
12．BCD
【分析】利用導數(shù)，結(jié)合切線、單調(diào)性、不等式等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A.由題意可知：，，則，
則曲線在處的切線方程為.故A錯誤；
B.令，則，
令，
則，
則在上單調(diào)遞增，則，
則，則在上單調(diào)遞增，故B正確；
C.令，則，
則在上單調(diào)遞增，
則，則，
∴，故C正確；
D.令，則，
令，則，
則在上單調(diào)遞增﹐則，則，
則在上單調(diào)遞增，則，則，故D正確.
故選：BCD
求解切線有關問題，關鍵點有3個，第一個是要判斷已知點是在曲線上還是在曲線外；第二個是切點的坐標，切點既在曲線上，也在切線上；第三個斜率，斜率可利用導數(shù)求得，也可以利用直線上兩點坐標來求得.
13．
【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，進而結(jié)合投影向量的定義運算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以在上的投影向量的坐標為.
故答案為.
14．6
【分析】設，分析可知為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性分析求解.
【詳解】設，
則的定義域為，且連續(xù)不斷，
由，可知為奇函數(shù)，
設在上的最大值為，
由奇函數(shù)的對稱性可知在上的最小值為，
則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
所以.
故6.
15．107
【分析】根據(jù)分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運算求解.
【詳解】由題意可得：
，
所以.
故107.
16．
【分析】可先設交點為，利用利用兩函數(shù)在該點處的函數(shù)值和切線斜率相同列方程，可求的值.
【詳解】易知：必有.
設兩曲線的交點為，，，由題意：，
兩式相除得：，∵，∴.
代入得：
解得a=e2.
故
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設，根據(jù)，求得，由，函數(shù)關于對稱，再根據(jù)方程有相等的實數(shù)根判別式為0，即可得解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式即可得解：
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，進而根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】（1）設，由，得，
因為，所以函數(shù)關于對稱，即，所以，
又方程有相等的實數(shù)根，即方程有相等的實數(shù)根，
則，解得，所以，所以；
（2）的對稱軸為，由于在區(qū)間 不單調(diào)，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為
（3）由于的對稱軸為，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，分別取最小值和最大值，所以 ，故，進而，由于，所以，當且僅當時，取等號，
所以，
故的最小值為
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變形即可求解；
（2）利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由已知條件得,
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又∵, ∴, ∴,∴;
（2）由三角形面積公式得
∵，，
∴，即，
由余弦定理得, 將代入可得，
解得或（舍去），
故.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）由圖得出最大值和周期，由此求出，代入最高點坐標求出，由此求出解析式
（2）由基本不等式求出的取值范圍，從而求出角取值范圍，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.
【詳解】（1）由圖知，
，
∴，.
，
又，
∴，
∴.
（2）∵，當且僅當取“”，
∵，
∴，
∴，
∴.
求三角函數(shù)的解析式時，由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標，則令或)，即可求出，否則需要代入點的坐標，利用一些已知點的坐標代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出和，若對的符號或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可用誘導公式變換使其符合要求.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，兩種情況討，結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式，即可求解；
（2）由（1）中數(shù)列的通項公式，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，結(jié)合分組求和法和等差、等比數(shù)列求和公式，即可求解.
【詳解】（1）解：當為奇數(shù)時，由可得，
所以數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，且公差為2，又由，故；
當為偶數(shù)時，由，可得，
所以數(shù)列的偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比為4，又由，故，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）解：當為奇數(shù)時，
則
，
當為偶數(shù)時，
則
，
綜上可得，.
21．（1）；（2）
【詳解】分析：（1）利用已知條件可列出的兩個方程，聯(lián)立，解出，從而再由是等差數(shù)列得通項公式；
（2）數(shù)列的前項和可用錯位相減法求得.
詳解：（1）因為數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，
則，
又成等比數(shù)列，所以，
解得或，因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以.
所以，
故.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
即 ，
故.
點睛：解決數(shù)列求和問題首先要掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，其次要掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列用分組求和法求和，數(shù)列用錯位相減法求和，數(shù)列用裂項相消法求和.
22．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論確定的正負，從而得單調(diào)性；
（2）由，可得，，然后按是或的零點分類討論證明．
【詳解】（1）因為，所以．當時，，所以在上單調(diào)遞增．
當時，令，解得．
當時，，
所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減．
當時，，，所以在上單調(diào)遞減．
綜上，當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減．
（2）結(jié)合（1）可知，若存在實數(shù)，使得函數(shù)有2個零點，
則，即．
此時，當時，．
所以存在，使得函數(shù)有2個零點．
因為，所以存在，
使得函數(shù)也有2個零點．
因此為函數(shù)的一個零點，為函數(shù)的一個零點．
①若為函數(shù)的另一個零點，為函數(shù)的另一個零點，
則，，
所以,所以，所以．
②若為函數(shù)的另一個零點，為函數(shù)的另一個零點，
則，，，
所以,所以，所以，
綜上可知，存在，使得函數(shù)與各有2個零點，且滿足．
方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，一般求出導函數(shù)，由導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理確定零點的存在，在解含有參數(shù)的不等式時需要分類討論．

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