一、單選題（本大題共8小題）
1．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面，直線且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知向量，且向量與的夾角為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知兩個等差數(shù)列的前項和分別是，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在扇形OAB中，半徑，弧長為，點是弧AB上的動點，點分別是半徑上的動點，則周長的最小值是（ ）

A．B．4C．D．
8．已知定義域為的函數(shù)滿足：，且當時，，若，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．某超市隨機抽取了當天100名顧客的消費金額作為樣本，并分組如下：，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（ ）
A．若該超市當天總共有600名顧客，則消費金額在（單位：元）內(nèi)的顧客約有180人
B．若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表，則樣本中消費金額的平均數(shù)是145元
C．若用樣本估計總體，則該超市當天消費金額的中位數(shù)是100.8元
D．現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率是
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩交點間的距離為
D．
11．某興趣小組制作了一個直三棱柱容器（容器壁厚度忽略不計），其中，，則下列說法正確的是（ ）
A．若四棱錐的體積為，則
B．若三棱柱的外接球的表面積為，則三棱柱的側(cè)面積為30
C．若，棱長為的正方體能被整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動，則的最大值為
D．若，點在四邊形內(nèi)（含邊界），且，則點的軌跡長度為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，則 .
13．已知隨機變量，且正數(shù)滿足，則的最小值為 .
14．已知實軸長為的雙曲線的漸近線為，、分別為的上、下焦點，過點的直線與的上、下兩支分別交于點、，且，則直線的斜率為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖1，在矩形ABCD中，，將沿著BD翻折到的位置，得到三棱錐，且平面ABP，如圖2所示.
(1)求證：平面平面ABD；
(2)求直線AB與平面BPD所成角的正弦值.
16．已知的內(nèi)角的對邊分別為向量.
(1)求的大??；
(2)是邊BC上一點且AD平分，若的面積是，求的周長.
17．已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)與的解析式；
(2)若對于，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
18．已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)若數(shù)列的前項和為，證明：數(shù)列中任意不同的三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
19．法國著名數(shù)學家拉格朗日給出一個結(jié)論：若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間上都有導數(shù)，則在區(qū)間上存在實數(shù)，使得，這就是拉格朗日中值定理，其中稱為在區(qū)間上的“拉格朗日中值”.已知函數(shù).
(1)利用拉格朗日中值定理求函數(shù)在上的“拉格朗日中值”；
(2)利用拉格朗日中值定理證明：函數(shù)上任意兩點連線的斜率不小于；
(3)針對函數(shù)，請證明拉格朗日中值定理成立.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】命題“”的否定是，
故選：D
2．【正確答案】A
【詳解】集合，
因為，所以，
則.
故選：A.
3．【正確答案】A
【詳解】因，又，則，即“”是“”的充分條件；
當，時，不一定和l平行，還有可能異面，
則“”不是“”的必要條件.則“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4．【正確答案】C
【詳解】因為，所以，
因為的終邊過點，所以，解得，
，
當時，，
當時，，
綜上所述：或.
故選：C.
5．【正確答案】C
【詳解】因為，則，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
所以，，
當且僅當時，等號成立，故的最小值為.
故選：C.
6．【正確答案】B
【詳解】由題意，
在兩個等差數(shù)列中，前項和分別是，，
對于一般等差數(shù)列前項和為二次型函數(shù)：（為常數(shù)），
∴設，，為常數(shù)
∴，
故選：B.
7．【正確答案】D
【詳解】連接，作點關(guān)于直線的對稱點，關(guān)于直線的對稱點，
連接分別交，與點，連接如下圖所示：

則,,
此時的周長取得最小值，其最小值為的長度；
因為扇形OAB的弧長為，半徑為2，所以；
根據(jù)對稱性可知，
在中，由余弦定理可得，
所以.
即周長的最小值是.
故選：D
8．【正確答案】B
【詳解】由題意，任取，且，則，，
所以，
即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，
設，，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
則，即.
由，
設，，則，
因為，所以，則，
而，則，
所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
則，即.
綜上所述，，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.
故選：B.
9．【正確答案】BD
【詳解】因為，所以，
對于A，所以消費金額在內(nèi)的顧客約有人，A選項錯誤；
對于B，樣本中消費金額的平均數(shù)是元，B選項正確；
對于C，設消費金額的中位數(shù)是，前二組的頻率和為，前三組的頻率和為，
所以在第三組，所以，所以元，C選項錯誤；
對于D，第1組頻率，第2組頻率分別為，所以從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，
所以從這6人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，則抽到的2人的消費金額都不少于50元的概率是，D選項正確.
故選：BD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】由圖可得，，
，因，取，
對于A，，故A正確；
對于B，，
則，
，
即，故B正確；
對于C，令
或，得或，其中，
分別取，得相鄰的三個根為，
則相鄰根的差值即的圖象與直線的相鄰兩交點間的距離為或，故C錯誤；
對于D，，
，
則，故D正確.
故選：ABD
11．【正確答案】ABD
【詳解】對于A,根據(jù)余弦定理，，則,
如圖，過點作，垂足為，
所以,
因為直三棱柱，所以四棱錐的高為，
所以，故A正確；
對于B,設三棱柱的外接球的球心為,半徑為,分別為上底面和下底面外接圓的圓心，則為外接圓的半徑，如上圖，
則,,
所以,所以,
所以三棱柱的側(cè)面積為，故B正確；
對于C， 因為內(nèi)切圓的半徑為，
又因為，所以三棱柱能容納的最大的內(nèi)切球的半徑為，則棱長為的正方體能整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動，
則棱長最大的正方體恰好是直徑為的球的內(nèi)接正方體，則，
則的最大值為1，故C錯誤；
對于D，在平面ABC內(nèi)作，垂足為H，由A的分析可知H落在CB的延長線上，
且，
由于平面，平面，故，
又平面，故平面，
平面,故，而，故，
又，故P點軌跡為以H為圓心，3為半徑的圓在四邊形內(nèi)（含邊界）的圓弧MN，
在中，，則，
故弧MN的長為，即點的軌跡長度為，故D正確；
故選：ABD
12．【正確答案】1
【詳解】由題意，
在中，，
，
故1.
13．【正確答案】9
【詳解】因為隨機變量，正數(shù)滿足，
有對稱性可知，即，
所以
；
當且僅當，即時，等號成立.
故9
14．【正確答案】
【詳解】因為實軸長為的雙曲線的漸近線為，
則，解得，所以，雙曲線的方程為，
，
如下圖所示：
設，由雙曲線的定義可得，則，
，所以，，
所以，，
由余弦定理可得，
所以，，解得，
所以，
，
所以，，
當直線的傾斜角為銳角時，則，
所以，，
此時，直線的斜率為；
當直線的傾斜角為鈍角時，由對稱性可知，直線的斜率為.
綜上所述，直線的斜率為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）因為平面ABP，平面ABP，可得，，
由題意可知：，且，平面，
可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD.
（2）由題意可知：，
設點到平面的距離為，
因為，即，解得，
所以直線AB與平面BPD所成角的正弦值為.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，
可得，
再由三角形正弦定理角化邊得：，
整理得：，
再由余弦定理得：，
又因為，所以.
（2）
由的面積公式得：，
因為AD平分，，，
所以，化簡得：，
又由的面積是，則，解得：，
所以，
又由余弦定理得：，
所以，即三角形的周長是.
17．【正確答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）由①，可得，所以②，
①②可得，所以，
①②可得，所以；
（2）由（1）知，所以在上單調(diào)遞增，
由，得，
所以，
當時，，不等式恒成立，
當時，，所以不等式變形為，
令，所以，
令，求導得，
因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
因為對于，不等式恒成立，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
18．【正確答案】(1)證明見解析；
(2)
(3)證明見解析.
【詳解】（1）證明：因，
則，
則是以為首項，公比為3的等比數(shù)列；
（2）由（1），，
則是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，則；
（3）由（2），，
則，
則.
證明：假設數(shù)列中存在不同的三項能構(gòu)成等差數(shù)列，
設這三項項數(shù)為.其中，
則，.
設，則，
得，
注意到，，
則.
這與矛盾，則數(shù)列中不存在不同的三項能構(gòu)成等差數(shù)列.
19．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）由題，，
因，，
則（負值舍去）；
（2）由題，，
設，
設，
則在R上單調(diào)遞增，注意到，
則當在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
則，
設函數(shù)上任意兩點為，
則函數(shù)上任意兩點斜率的表達式為，
由拉格朗日中值定理，在區(qū)間上存在實數(shù)，
使，即，
因，則，
即函數(shù)上任意兩點連線的斜率不小于；
（3），
由題即相當于證明，，存在，使，
即
，
即命題等價于證明對任意，，
下面證明：，
先證：，
不等式兩邊同時除以a，所證不等式變?yōu)椋?br>令，則所證不等式可化為，
構(gòu)造函數(shù)，則，
則在上遞減，則，則；
再證：，
因，則所證不等式可化為，
即，令，則所證不等式可化為，
構(gòu)造函數(shù)，則，
則在上遞增，則，則，
又由基本不等式可得，則，
又注意到，則，
即對任意，，則命題得證.

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