2024-2025學(xué)年安徽省黃山市高二上冊(cè)11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

這是一份2024-2025學(xué)年安徽省黃山市高二上冊(cè)11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析），共17頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知，向量，且，則（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
2．若直線與直線垂直，則的值為（ ）
A．2B．C．D．0
3．已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且是直線的一個(gè)方向向量，若角的終邊落在直線上，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．如圖，在平行六面體中，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
8．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題.若曲線，且點(diǎn)M，N分別在曲線和圓：上，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．關(guān)于空間向量，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若共線，則
B．已知，若，則
C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
D．若向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則也能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
10．若，直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線過(guò)定點(diǎn)
B．直線一定經(jīng)過(guò)第一象限
C．點(diǎn)到直線的距離的最大值為
D．的充要條件是
11．已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．存在點(diǎn)，使得
C．若，則外接圓的面積為
D．的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作有中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯圓的半徑為 .
14．在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不在端點(diǎn)處），當(dāng)時(shí)，的面積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若，求直線DE與平面的距離.
16．已知橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，求橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值.
17．已知四棱錐中，底面四邊形ABCD是正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，且滿足與所成的角為.

(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C為過(guò)點(diǎn)的圓.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于M，N兩點(diǎn)，求弦MN中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)從點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射后的光線與圓相切，求所在直線的方程.
19．若橢圓：上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱(chēng)M，N為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)M，N互為共軛點(diǎn).顯然，對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)，總有兩個(gè)共軛點(diǎn).已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)共軛點(diǎn)分別記為.
(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求；
(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，記其斜率分別為，其中，求的最小值；
(3)證明：的面積為定值.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以?br>所以.
故選：A
2．【正確答案】C
【詳解】由直線與直線垂直，得.
故選：C.
3．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且平行于向量，所以直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，
當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，
所以若角的終邊落在直線上，則，
所以.
故選：A.
4．【正確答案】D
【詳解】連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：D.
5．【正確答案】C
【詳解】根據(jù)題意，可知圓，
即圓，圓心為，半徑，
令，則有：，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求：，所以，故圓的半徑，
故圓，又因?yàn)閳A，
設(shè)AB為兩圓的公共弦所在的直線，則有
作差變形可得：；即直線AB的方程為.
故選：C
6．【正確答案】B
【詳解】設(shè)，因?yàn)榱骟w是平行六面體，
所以，因?yàn)椋?br>代入計(jì)算可得：
，
故有：，所以，
所以，因?yàn)?，所?
故選：B
7．【正確答案】B
【詳解】由題可知，記，
，，
中，由余弦定理得，又，
，
.
故選：B.
8．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以可以轉(zhuǎn)化為到的距離，
同理，可以轉(zhuǎn)化為到的距離，
因?yàn)椋?br>所以到兩定點(diǎn)和的距離之和為，
所以在以點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓上，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
則，即，又，所以，
所以曲線，即橢圓的方程為：，
又因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，
則M，N兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑，
點(diǎn)在，故，
所以圓心到橢圓上點(diǎn)的距離
，
因?yàn)殚_(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，
所以在上單調(diào)遞減，故，則，
所以M，N兩點(diǎn)間的最大距離是．
9．【正確答案】BCD
【詳解】若同向且，此時(shí)，即不成立，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，則，即，得，故B正確；
因?yàn)椋?，所以P，B，A，C四點(diǎn)共面，故C正確；
假設(shè)，
則方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)x，y使得該式成立，
所以不共面，可以作為基底向量，故D正確．
故選：BCD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】由，即為，
令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
因?yàn)?，則的斜率存在且不為零，在軸上的截距，
所以一定經(jīng)過(guò)第一象限，故B正確；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，
最大值為，故C錯(cuò)誤；
若，則，因?yàn)椋视校?br>經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，所以的充要條件是，故D正確．
故選：ABD
11．【正確答案】ACD
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，
故有：，解得：，
橢圓的離心率，故A正確；
B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，
又因?yàn)榉匠探M無(wú)解，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，則，
若，即，
在中，由余弦定理可得
，
因?yàn)椋裕?br>根據(jù)正弦定理可知，，故C正確；
D選項(xiàng)，設(shè)，則：
，
令，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以的最小值為，故D正確.
故選：ACD
12．【正確答案】
【詳解】由題可知.
故
13．【正確答案】
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?br>化簡(jiǎn)得到圓，是以為圓心，為半徑的圓．
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】根據(jù)題意可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)椋?br>設(shè)，
則，
則
因?yàn)?，解得，故此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
則.
故
15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)闉橹比庵?，所以?br>又，分別為AB，的中點(diǎn)，所以，
所以，
又平面平面，
所以平面；
（2）因?yàn)闉橹比庵遥?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因，則，
則，
因?yàn)?，則，即，
設(shè)平面的法向量為，
則，解得，取，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
又，即，
所以點(diǎn)到平面的距離，
因?yàn)?，分別為AB，的中點(diǎn)，故有直線平面，
所以直線DE與平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，
故直線DE與平面的距離.
16．【正確答案】(1)或；
(2)
【詳解】（1）在Rt中，，
，
，
，
，
又，
，
聯(lián)立，解得或，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；
（2），
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
直線的方程為，即，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，
得，
令得或，
結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與橢圓的公共點(diǎn)到直線的距離最大，
此時(shí)直線的方程為．
距離的最大值為.
17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫业酌妫?br>所以，
又因?yàn)闉檎叫危傻茫?br>因?yàn)?，且平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)椋礊?，且是線段的中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)椋移矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>（2）根據(jù)題意可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，可得，
可得，
則，
因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，
則，
因?yàn)榕c所成的角為，
可得，
解得，所以，所以，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
又，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
可得
故平面與平面夾角的余弦值為.
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故有：
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)弦MN的中點(diǎn)，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，由垂徑定理知，
點(diǎn)的軌跡是以CG為直徑的圓．
由，
得，，
整理得：；
（3）因?yàn)閳A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓的方程：，
設(shè)的方程為，即，
由于對(duì)稱(chēng)圓心到的距離為圓的半徑，
則，從而可得或．
當(dāng)時(shí)，反射光線所在直線與圓相切，反射光線不與圓相切，故，
故光線所在直線的方程是.
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）的共軛點(diǎn)分別記為，
，
直線的方程為，
聯(lián)立得，
，
；
（2）點(diǎn)Ax0,y0在橢圓上，
，即，
由（1）知，直線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，代入，
得，即，
，
，
當(dāng)時(shí)，易知，對(duì)應(yīng)共軛點(diǎn)為，
此時(shí)，故也成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
（3）由（2）知，對(duì)任意點(diǎn)Ax0,y0，都有，
，
點(diǎn)Ax0,y0到直線的距離為，
的面積，
故的面積為定值.