注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號和座位號填在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑：如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共8個題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．拋物線的準線方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．C．1D．2
3．直線l的方向向量，且過點，則直線l的方程為（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．兩圓與的公共弦長為（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，則這個數(shù)列的前100項中的最大項與最小項分別是（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，M為雙曲線右支上的一點，若M在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共4個題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．
9．下列命題正確的是（ ）
A．若，則與，共面
B．若，則共面
C．若，則共面
D．若，則共面
10．已知圓，直線．則以下幾個結論正確的有（ ）
A．直線l與圓C相交
B．圓C被y軸截得的弦長為
C．點C到直線l的距離的最大值是
D．直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為
11．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為左頂點，P為雙曲線右支上一點．若，且的最小內(nèi)角為，則（ ）
A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為
C．D．直線與雙曲線有兩個公共點
12．若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．在現(xiàn)代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波那契數(shù)列都有直接的應用．則下列結論成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知向量，，且，則 ．
14．已知雙曲線（a，）的離心率等于2，它的焦點到漸近線的距離等于1，則該雙曲線的方程為 .
15．已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，那么 ．
16．已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知圓與y軸相切，O為坐標原點，動點P在圓外，過P作圓C的切線，切點為M．
(1)求圓C的圓心坐標及半徑；
(2)求滿足的點P的軌跡方程．
18．設數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
19．已知拋物線的焦點為F，直線l過點F交拋物線于A，B兩點（點A在第一象限）．
(1)若，求直線l的方程；
(2)求面積的最小值．
20．如圖，四棱錐中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中點．
(1)證明：直線平面PAB；
(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角的余弦值．
21．已知數(shù)列的前n項和滿足，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，，求使成立的正整數(shù)n的最小值．
22．已知橢圓的離心率為，橢圓上一動點與左?右焦點構成的三角形面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
①求證：直線恒過定點；
②設和的面積分別為，求的最大值.
1．C
【分析】依題意將拋物線化為標準式，即可求出拋物線的準線；
【詳解】解：因為拋物線方程為，即，所以，即，所以拋物線的準線為
故選：C
2．B
【分析】由，且，通過計算得到數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，即可求出結果.
【詳解】因為數(shù)列滿足，且，
所以，
所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
所以，
故選：B.
3．D
【分析】根據(jù)方向向量可求出直線的斜率，利用點斜式方程即可求得直線的方程.
【詳解】由直線l的方向向量可得直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即．
故選：D.
4．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，因為，所以，而，所以，
故選：C
5．B
【分析】兩圓與圓的方程相減可得公共弦所在的直線方程為，再由點到直線的距離公式能求出兩圓的公共弦長．
【詳解】兩圓的圓心分別為,半徑均為1，故圓心距離為,故兩圓相交，
圓與圓的公共弦所在的直線方程為：
，即，
圓的圓心到公共弦的距離：
，圓的半徑，
公共弦長．
故選：B．
6．C
【分析】分離常數(shù)，得到當，時，，且隨著的變大，變大，當，時，，且隨著的變大，變大，從而得到答案.
【詳解】，
當，時，，，且隨著的變大，變大，
當，時，，，且隨著的變大，變大，
故這個數(shù)列的前100項中的最大項與最小項分別是，.
故選：C
7．C
【分析】以D為坐標原點， ，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求解.
【詳解】如圖，
以D為坐標原點， ，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標系，則．從而.
設平面的法向量為，則，即，得，
令，則，所以點E到平面的距離為．
故選：C
8．D
【分析】由題意可得，設，則，，則，進而可得，即可得出答案．
【詳解】由于M在以為直徑的圓上，故，
設，則，，
根據(jù)雙曲線的定義，
所以，
所以，，
所以， 故在單調(diào)遞增，
當時，，
當時，，
所以，所以，
故選：D．

9．ABD
【分析】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此法可判斷三條向量共面，再利用有公共點的三條向量共面，進而可判斷四點共面，針對，可以利用線性運算轉化為，再進行判斷.
【詳解】選項A，根據(jù)共面向量基本定理可知，與，共面；所以選項A是正確的；
選項B，根據(jù)共面向量基本定理可知，共面，由于它們有公共點，
所以共面；
選項C，舉反例說明，若，，是一個正方體同一個頂點的三條棱所對應的向量，
則它們的和向量是以為起點的對角線向量，而是該對角線向量的相反向量，
此時顯然四個點不在同一個平面上，所以C選項是錯誤的；
選項D，由可得，
則，即，
則，此時與選項B一樣，可以判斷共面，即D選項是正確的；
故選：ABD．
10．ACD
【分析】對于A，，聯(lián)立求定點,根據(jù)定點在圓內(nèi)即可求解；對于B，令求軸交點縱坐標即可得弦長；對于C，根據(jù)定點到圓心距離即可求解最值，對于D，根據(jù)直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，求直線斜率，進而求出參數(shù)，即可得方程．
【詳解】由，
則，得，即恒過定點，
由到圓心的距離，故定點在圓內(nèi)，故直線與圓恒相交，故A正確；
令，則，可得，故圓被軸截得的弦長為，故B錯誤；
點C到直線l的距離的最大值為圓心到定點的距離，故最大值為，C正確，
要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，則，
所以，可得，故直線為，故D正確．
故選：ACD．
11．AD
【分析】A.易得焦點三角形為直角三角形，利用勾股定理求解判斷；B.利用離心率為求解判斷；解：C. 利用離心率為，結合求解判斷；D.由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用判別式判斷.
【詳解】解：如圖所示：
因為，，所以，
又，則，，
由勾股定理得，解得，故A正確；
則，所以漸近線方程為，故B錯誤；
因為，所以，則，而，所以，所以，故C錯誤；
由，消去x得，則，
所以直線與雙曲線有兩個公共點，故D正確，
故選：AD
12．AB
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可判斷AC；利用數(shù)列的性質(zhì)，結合斐波那契數(shù)列的前項和即可判斷BD.
【詳解】對于A，因為，，，
所以，，，
，，故A正確；
對于B，設數(shù)列的前項和為，
，
，
故，故B正確；
對于C，由A可知，
，C錯誤；
對于D，
，
，
故，故D錯誤.
故選：AB.
關鍵點點睛：本題考查斐波那契數(shù)列的遞推公式，以及其偶數(shù)項和奇數(shù)項的和的求解，處理問題的關鍵是通過遞推公式，找到相鄰項的和與差的關系.
13．2
【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標關系即可求解.
【詳解】由于，所以，解得，
故2
14．
【分析】由題意可得，，焦點到漸近線的距離為，再結合，即可求出，得到該雙曲線的方程．
【詳解】由題意可得，則，設其一焦點為，漸近線方程為，
那么，而，解得，
那么所求的雙曲線方程為．
故．
本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應用以及雙曲線方程的求法，屬于基礎題．
15．##0.75
【分析】給出的兩個數(shù)列為等差數(shù)列，把轉化為兩數(shù)列的前7項和的比得答案．
【詳解】數(shù)列，均為等差數(shù)列，且其前項和分別為，，
．
故．
16．
【分析】先分析和的幾何意義；再利用數(shù)形結合思想和直線與圓的位置關系列出關系式求解即可.
【詳解】.
的幾何意義為表示以點為圓心，為半徑的圓.
的幾何意義為過點和點的直線斜率，點為以點為圓心，為半徑的圓周上任一點.
結合圖形可知：當直線與圓相切時斜率可以取到最大值和最小值.
設直線的斜率為，
則直線方程為：，即.
令，
解得：或，
即的取值范圍為，
所以的取值范圍為.
故
17．(1)圓心坐標為，圓C的半徑為1．
(2)
【分析】（1）將圓的一般方程配成標準方程，即可求解圓心，利用相切即可求解半徑，
（2）根據(jù)兩點間的距離公式即可列等式，化簡即可求解.
【詳解】（1）圓C的標準方程為，所以圓C的圓心坐標為．又圓C與y軸相切，所以，即，故圓C的半徑為1．
（2）設，則，．
由于，則，
整理得點P的軌跡方程為：．
經(jīng)檢驗，上的點都符合條件．
18．(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)時，，作差即可求解，
（2）利用裂項相消法即可求解.
【詳解】（1）因為，①
故當時，．②
①②得，所以．
又當時，符合，從而的通項公式為．
（2）記的前n項和為，
由（1）知，
則．
19．(1)
(2)2．
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)向量的共線關系可得，即可結合韋達定理求解，或者利用拋物線的焦半徑關系，結合圖形關系，利用銳角三角函數(shù)即可求解，
（2）根據(jù)面積公式以及韋達定理得表達式，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.
【詳解】（1）法一：拋物線的焦點為，設直線l的方程是．
設，，，由
得，顯然，
，，
由可得：，則，
由于，，所以，．
l的方程為：即
法二：作出拋物線的準線，設A，B在l上的射影分別是C，D，連接AC，BD，
過B作于E．，設，，
由點A，B分別在拋物線上，結合拋物線的定義，得，．
因此，中，，
，則l的方程為：
（2）
當時即l的方程為：，此時的面積最小值為2．
20．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）取PA的中點為F，連接EF，BF，證得，進而根據(jù)線面平行的判定定理即可得出結論；
（2）建立空間直角坐標系，空間向量表示直線BM與底面ABCD所成角，進而利用二面角的向量方法求解即可.
【詳解】（1）取PA的中點F，連接EF，BF，如圖．
是PD的中點，，．
由得，又，
，，四邊形BCEF是平行四邊形，
，
又平面PAB，平面PAB，
平面PAB．
（2）由已知得，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，為單位長，
建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，
則，，，，，
設，則，．
因為BM與底面ABCD所成的角為，是底面ABCD的法向量，
，
即．①
又M在棱PC上，設，則
，，．②
由①②解得（舍去）或
所以，從而．
設是平面ABM的法向量，則
即
所以可?。?br>于是．
因此二面角的余弦值為．
21．(1)；
(2)5．
【分析】（1）利用給定的遞推公式，結合求出的通項公式.
（2）由（1）求出，再利用錯位相減法求和并求解不等式即得.
【詳解】（1）數(shù)列中，，當時，，
兩式相減得：，而，解得，
因此數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）可得，
則，
于是得，
兩式相減得，
因此，即，解得，
所以正整數(shù)n的最小值為5.
22．(1)；
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）由離心率、焦點三角形最大面積及橢圓參數(shù)關系列方程組求橢圓參數(shù)，即可得方程；
（2）①設為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件，應用韋達定理、兩點斜率公式化簡求得，即可證結論；②由面積公式與韋達定理化簡后轉化為函數(shù)求最值.
【詳解】（1）由題意，解得，所以橢圓C的方程為．
（2）①依題意，設，
若直線的斜率為0則P，Q關于y軸對稱，必有，不合題意．
所以直線斜率必不為0，設其方程為，
與橢圓C聯(lián)立，整理得：，
所以，且
因為是橢圓上一點，即，
所以，則，即
因為
，
所以，此時，
故直線恒過x軸上一定點．
②由①得：，
所以
，
而，當時的最大值為．

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