1．4.2　用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題第1課時(shí)　距離問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一　點(diǎn)P到直線 l 的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量=a，則向量在直線l上的投影向量為＝，則點(diǎn)P到直線l的距離為 (如圖)． 知識(shí)點(diǎn)二　點(diǎn)P到平面α的距離設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為(如圖)．題型一、點(diǎn)到直線的距離1．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是______．  2．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線的距離． 3．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，，點(diǎn)E，F分別是棱和的中點(diǎn)．求證：，并求它們的距離．  題型二、點(diǎn)/直線到平面的距離1．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若E，F分別是上底棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為______．  2．如圖，是正四棱錐，是正方體，其中，．(1)求該幾何體的表面積；(2)求點(diǎn)到平面PAD的距離．  3．如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證：直線平面；(2)求直線到平面的距離.   題型三、平面到平面的距離1．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離． 2．空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（       ）A． B． C． D．  題型四、異面直線的距離1．如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線，EN間的距離為______.  2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn).（1）求異面直線與間的距離；（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使平面，并求出N到AB和AP的距離.    1．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（       ）A． B． C． D．  2．已知在正方體中，棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn).則點(diǎn)到直線的距離為____. 3．長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)B到平面的距離為________．  4．在正方體棱長(zhǎng)為2的中，如圖所示，E是的中點(diǎn)，則直線與平面BDE的距離是（       ）A． B． C． D．  5．如圖，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)DA、DC和的長(zhǎng)分別為1、2、1．求：(1)頂點(diǎn)B到平面的距離；(2)直線到平面的距離．   6．如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分別為OA，BC，AD的中點(diǎn)，求直線MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離.   7．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．   8．正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)，則異面直線和之間的距離A． B． C． D．  9．（多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（       ）A．異面直線AC與所成的角為B．是平面的一個(gè)法向量C．直線到平面的距離為D．平面與平面間的距離為  10．在四棱錐中，面，底面為矩形，，，為中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離為_______.  1．兩平行平面 ， 分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 和點(diǎn) ，且兩平面的一個(gè)法向量 ，則兩平面間的距離是 （       ）A． B． C． D． 2．長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（       ）A． B． C． D．  3．如圖，正方體中，M，N分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列各項(xiàng)中會(huì)隨著M，N的運(yùn)動(dòng)而變化的是（       ）A．異面直線與直線所成的角的大小       B．平面與平面所成的角的大小C．直線到平面距離的大小       D．異面直線，之間的距離的大小 4．（多選）在空間直角坐標(biāo)系中，，則（       ）A．B．點(diǎn)B到平面的距離是2C．異面直線與所成角的余弦值D．點(diǎn)O到直線的距離是 5．（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)F為的中點(diǎn)，如圖建系，則下列說(shuō)法正確的有（       ）A． B．向量與所成角的余弦值為C．平面的一個(gè)法向量是 D．點(diǎn)D到直線的距離為 6．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為線段中點(diǎn)，F為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則（1）的最小值為______；（2）點(diǎn)F到直線DE距離的最小值為______.   7．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則到直線的距離為__________．  8．已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)到直線的距離為___________.  9．正方體的棱長(zhǎng)為1，E?F分別為?CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面的距離. 10．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知E為上一點(diǎn)，且，在平面內(nèi)作交于點(diǎn)F，求直線EF與之間的距離．  11．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)P（2a+1，a，-1），A（2，0，0），B（1，0，2），C（2，1，1）．(1)若點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若a=0，求①點(diǎn)P到直線AB的距離；②點(diǎn)P到平面ABC的距離．   12．在平行四邊形中，，，，，且平面ABCD，求點(diǎn)P到直線BC的距離．  13．如圖，已知四邊形是正方形，平面，且，.(1)求點(diǎn)到正方形各頂點(diǎn)的距離；(2)求點(diǎn)到正方形各邊的距離；(3)求點(diǎn)到正方形兩條對(duì)角線的距離．  14．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離.  15．如圖，圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)均為4，PO是圓錐的高，點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn)．(1)求圓錐的表面積；(2)求點(diǎn)B到直線CD的距離．  16．已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)M在PD上，且.(1)求的值；(2)求點(diǎn)B到直線CM的距離.  17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1．(1)證明：平面；(2)求到平面的距離．  18．如圖，已知三棱錐，平面，，，，.、分別為、的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.  19．如圖所示的多面體是底面為ABCD的長(zhǎng)方體被平面所截而得的，其中，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)平行于平面的平面為，求平面與平面之間的距離.  20．底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).（1）在圖中作一個(gè)平面，使得，且平面.（不必給出證明過(guò)程，只要求作出與直棱柱的截面）.（2）若，求平面與平面的距離.  21．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，.已知，，.（1）求直線AD與平面PBC間的距離；（2）求異面直線EC與PB間的距離；（3）求點(diǎn)B到平面PEC的距離. 

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