【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學(xué)高一（升高二）暑假-第13講《橢圓》講學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第13講橢圓
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義
平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)()，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；
若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無圖形.
知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
3．這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
4．在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；
5．橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；
6．在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上.
知識(shí)點(diǎn)三：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要用到以下幾種方法：
（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置，可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題設(shè)確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點(diǎn)位置，一般需分類討論；有時(shí)也可設(shè)其方程的一般式：.
（2）定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題.
知識(shí)點(diǎn)四：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

橢圓的范圍
橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|≤a，|y|≤b.
橢圓的對(duì)稱性
對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。
橢圓的頂點(diǎn)
①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。
②橢圓（a＞b＞0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。
橢圓的離心率
①橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作.
②因?yàn)閍＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。
知識(shí)點(diǎn)五：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下圖幫助記憶：

a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。
和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系.
知識(shí)點(diǎn)六：橢圓兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較
標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

性質(zhì)
焦點(diǎn)
，
，
焦距

范圍
，
，
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
頂點(diǎn)
，
，
軸
長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=
離心率

知識(shí)點(diǎn)詮釋：橢圓，（a＞b＞0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；
橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。
【題型歸納目錄】
題型一：橢圓的定義
題型二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：橢圓的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
題型六：求橢圓的離心率
題型七：求橢圓離心率的取值范圍
題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍
題型九：橢圓中的范圍與最值問題
題型十：焦點(diǎn)三角形

【典型題】
題型一：橢圓的定義
例1．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二期末（文））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡為（???????）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓

例2．（2022·甘肅武威·高二期末（理））動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（???????）
A．橢圓 B．雙曲線 C．線段 D．不能確定

例3．（2022·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知，是兩個(gè)定點(diǎn)，且（是正常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（???????）
A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線

例4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)滿足，則（　?。?br /> A．點(diǎn)在橢圓外
B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)
C．點(diǎn)在橢圓上
D．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系不能確定

例5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4

例6．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（???????）
A． B． C．1 D．2

例7．（2022·重慶·高二期末）是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到的距離為1，則到的距離為（???????）
A．3 B．4 C．5 D．6

例8．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二期末（理））已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5

例9．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高二期中）已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，橢圓C上有一點(diǎn)P，則的周長(zhǎng)為（?????）
A．8 B．10 C． D．12

例10．（2022·全國(guó)·高二）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（???????）
A．1 B．3 C．9 D．81

例11．（2022·貴州畢節(jié)·高二期末（理））設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，且，則（???????）
A． B． C． D．

題型二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例12．（2022·浙江金華·高二期末）已知的周長(zhǎng)等于10，，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，頂點(diǎn)的軌跡方程可以是（?????）
A． B．
C． D．

例13．（2022·山東煙臺(tái)·高二期末）以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（???????）
A． B． C． D．

例14．（2022·江西鷹潭·高二期末（理））方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是（???????）
A． B． C． D．

例15．（2022·河北省博野中學(xué)高二期末）已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是:（???????）
A． B．
C． D．

例16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為16，且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于9和15，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．

例17．（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二開學(xué)考試）方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是___________．

例18．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D.則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為_________________.

例19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式，則______（用含y的式子表示），它的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．

例20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P到點(diǎn)、的距離之和為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

例21．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三邊滿足，且，求點(diǎn)A的軌跡方程，并說明它是什么曲線．

例22．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，B(－4，0)，C(4，0)，且周長(zhǎng)為18.
(1)求證：點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)；
(2)寫出這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

例23．（2022·四川·自貢成外高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和是26；
(2)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．

例24．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，再添加什么條件，可使得這個(gè)橢圓的方程為？

題型三：橢圓的綜合問題
例25．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為（???????）
A． B． C． D．

例26．（2022·河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（???????）
A． B． C． D．

例27．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知△的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△的周長(zhǎng)是（???????）
A． B． C．8 D．16

例28．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則的值是（???????）
A．0 B．1 C．2 D．不確定

例29．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則的值是（???????）
A． B．2 C． D．4

例30．（2022·甘肅·甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高二期末（文））一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（???????）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．雙曲線的一支

例31．（2022·湖南省岳陽縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，且的面積為，則（???????）
A． B． C． D．

例32．（2022·北京·101中學(xué)高二期末）已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡為（???????）
A．圓 B．兩個(gè)圓 C．橢圓 D．兩個(gè)橢圓

例33．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上有兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在x軸上方），滿足，若，則直線的斜率為（???????）
A． B． C．2 D．3

例34．（2022·福建漳州·高二期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為（???????）
A． B． C． D．

例35．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））橢圓兩焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若的面積的最大值為12，則此橢圓上使得為直角的點(diǎn)有（???????）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)

例36．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（???????）
A． B． C． D．不能確定

例37．（2022·北京順義·高二期末）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（???????）
①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；
②曲線是一個(gè)橢圓；
③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.
A．① B．①② C．③ D．①③

例38．（多選題）（2022·海南·嘉積中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說法正確的是（???????）
A．符合條件的M點(diǎn)有4個(gè) B．M點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以是
C．的面積一定是 D．的周長(zhǎng)一定是

題型四：軌跡方程
例39．（2022·廣東廣州·高二期末）已知的周長(zhǎng)為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（???????）
A． B．
C． D．

例40．（2022·廣東揭陽·高二期末）△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（???????）
A． B．（y≠0）
C． D．

例41．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高二期末（理））已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（???????）
A． B．
C． D．

例42．（2022·全國(guó)·高二）已知在中，點(diǎn)，點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡方程為（??????????）
A． B．（）
C． D．（）

例43．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））圓的半徑為4，圓心為是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（???????）
A． B．
C． D．

例44．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二期末）如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（???????）

A．圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．橢圓

例45．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若△ABC的三邊長(zhǎng)a?b?c滿足，?，則頂點(diǎn)B的軌跡方程是___________.

例46．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D.則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為_________________.

例47．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P到點(diǎn)、的距離之和為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

例48．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線與圓O：相交于M、N兩點(diǎn)，圓O在M、N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q.

(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)若P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求OPQ面積的最大值.

例49．（2022·江蘇·高二）已知定點(diǎn)、和動(dòng)點(diǎn)．
(1)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡及其方程．
條件①：
條件②：
(2)，求：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡及其方程．

例50．（2022·江蘇·高二）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程，并說明軌跡是什么圖形．

例51．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知△ABC底邊兩端點(diǎn)、，若這個(gè)三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為，求點(diǎn)A的軌跡方程．

題型五：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
例52．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二階段練習(xí)）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長(zhǎng)為的橢圓方程是（???????）
A． B． C． D．

例53．（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高二期末（理））若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．

例54．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，那么的值為（???????）
A． B． C． D．

例55．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（???????）．
A． B． C． D．

例56．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）連接橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的三角形是等邊三角形，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為（???????）
A．2 B． C． D．4

例57．（多選題）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在曲線中，（???????）
A．當(dāng)時(shí)，則曲線C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓
B．當(dāng)時(shí)，則曲線C為橢圓
C．曲線C關(guān)于直線對(duì)稱
D．當(dāng)時(shí)，則曲線C的焦距為

例58．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．

例59．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若曲線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是___________.

例60．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為______，短軸長(zhǎng)為______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______．

例61．（2022·遼寧·本溪市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）已知橢圓，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，是左頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則________．

例62．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）對(duì)稱中心為原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大值為8，且離心率為，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．

例63．（2022·四川·南部縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））在直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，過的直線交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，那么的方程為________.

例64．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的方程為.
(1)求它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)?短軸長(zhǎng)?頂點(diǎn)坐標(biāo)?焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有多少個(gè)？試寫出其中的兩個(gè)橢圓方程.

例65．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如果直線l：與橢圓C：（）總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例66．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)：
(1)；
(2)．

題型六：求橢圓的離心率
例67．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（???????）
A． B． C． D．

例68．（2022·江蘇·高二）橢圓的兩焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)使為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C．或 D．或

例69．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為54，且橢圓的短軸長(zhǎng)為18，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例70．（2022·江蘇·高二）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例71．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例72．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高二階段練習(xí)）兩個(gè)長(zhǎng)軸在x軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且離心率相同的橢圓.若A，B分別為外層橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，分別向內(nèi)層橢圓作切線AC，BD，切點(diǎn)分別為C，D，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例73．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知橢圓，圓，若的重心在橢圓上，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例74．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室高二期中（文））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且，，，則橢圓E的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例75．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例76．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例77．（2022·江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)高二期中）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為C上的一點(diǎn)，且，，則橢圓C的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例78．（2022·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若且，則橢圓E的離心率為（???????）．
A． B． C． D．

例79．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））公元前三世紀(jì)，阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓一個(gè)基本性質(zhì)：過橢圓上任意一點(diǎn)（不同于，）作長(zhǎng)軸的垂線，垂足為，則為常數(shù)，若，則該橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例80．（2022·廣東·佛山一中高二階段練習(xí)）已知，是橢圓C:的左，右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，若|依次成等差數(shù)列，則橢圓C的離心率為（?????）
A． B． C． D．不能確定

題型七：求橢圓離心率的取值范圍
例81．（2022·福建泉州·高二期中）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

例82．（2022·江西贛州·高二期中（文））已知橢圓，P是橢圓C上的點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

例83．（2022·浙江浙江·高二期中）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，．若橢圓C上有一點(diǎn)P滿足，則橢圓C的離心率的最小值為（???????）
A． B． C． D．

例84．（2022·四川·南部縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知是橢圓的右焦點(diǎn)，若直線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓的離心率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

又|FA|= ，

，

，又，
∴.
故選：D.
例85．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．

例86．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例87．（2022·福建省福州第一中學(xué)高二期末）已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（???????）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)

例88．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，若存在過原點(diǎn)的直線與的交點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例89．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例90．（2022·全國(guó)·高二）已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例91．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若的焦點(diǎn)F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

例92．（2022·四川·射洪中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于y軸的直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn).當(dāng)為銳角三角形時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍為___________.

例93．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P．
(1)若為直角，求橢圓的離心率；
(2)若為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍．

題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍
例94．（2022·甘肅白銀·高二期末（文））已知橢圓的離心率為，則（???????）
A． B． C． D．

例95．（2022·貴州·畢節(jié)市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓的右焦點(diǎn)為，滿足：，若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，記的最大值為，記最小值為，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例96．（2022·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））已知橢圓(a>b>0)的離心率為，則＝（???????）
A． B．
C． D．

例97．（2022·河南南陽·高二階段練習(xí)（文））畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為（???????）
A． B． C． D．

例98．（多選題）（2022·湖南·高二期中）已知橢圓的離心率，則k的值可能是（???????）
A．－7 B．7 C．— D．

例99．（2022·安徽滁州·高二期中）已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為______．

例100．（2022·河北邢臺(tái)·高二階段練習(xí)）最能引起美感的比被稱為黃金分割．現(xiàn)定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”已知橢圓是“黃金橢圓”，則__________．

例101．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的離心率，則的值為________.

例102．（2022·廣東·佛山一中高二階段練習(xí)）設(shè)是橢圓的離心率，若，則的取值范圍是_________.

例103．（2022·北京·北科大附中高二期末）若橢圓和橢圓的離心率相同，且，給出如下四個(gè)結(jié)論：
①橢圓和橢圓一定沒有公共點(diǎn)；
②；???????
③；
④.
則所有結(jié)論正確的序號(hào)是_____.

例104．（2022·河北·順平縣中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則與定點(diǎn)連線距離的最大值為________．

例105．（2022·四川省資陽中學(xué)高二期中（理））已知橢圓離心率，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），過A作x軸垂線交橢圓于點(diǎn)C，過A作直線AP垂直AB交橢圓于點(diǎn)P，連接BP交AC于點(diǎn)Q，則____

題型九：橢圓中的范圍與最值問題
例106．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）橢圓上的點(diǎn)到直線：的距離的最小值為（???????）
A． B． C． D．

例107．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，則直線和直線的斜率之積（　　）

A．是定值 B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值

例108．（2022·河南·輝縣市第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是（???????）
A． B． C． D．

例109．（2022·安徽·高二期中）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（???????）
A． B． C． D．

例110．（2022·遼寧·高二期中）動(dòng)點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，，則的最小值為（???????）
A．4 B．8 C． D．12

例111．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（???????）
A． B．
C． D．

例112．（2022·安徽·蕪湖一中高二階段練習(xí)）直線與橢圓相交兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為（???????）
A．2 B． C． D．3

例113．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是（???????）
A． B． C． D．

例114．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則的最大值為（???????）
A． B． C． D．

例115．（2022·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．

例116．（2022·四川·攀枝花七中高二階段練習(xí)（理））若方程表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例117．（2022·黑龍江·佳木斯一中高二期中）已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（???????）
A．[8，12] B． C． D．

例118．（2022·江蘇南通·高二期中）已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（???????）
A．（－3，1） B．（－3，5）
C．（4，5） D．

例119．（多選題）（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二期中）已知點(diǎn)是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則（???????）
A．橢圓的短軸長(zhǎng)為1 B．橢圓的離心率為
C．圓在橢圓的內(nèi)部 D．的最小值為

例120．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為橢圓的左焦點(diǎn)，是其內(nèi)一點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為__，最小值為__.

例121．（2022·山東·德州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）橢圓，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為5，3，過且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ______，若，分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是______.

例122．（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為___________.

例123．（2022·江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，過右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與橢圓形成的弦長(zhǎng)為，且橢圓上存在4個(gè)點(diǎn)M，N，P，Q構(gòu)成矩形，則矩形MNPQ面積的最大值為_________.

例124．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知點(diǎn)，是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．

例125．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高二期中）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|+|PF1|的最大值為____.

例126．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：內(nèi)有一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，求：
(1)的最大值與最小值；
(2)的最大值與最小值．

題型十：焦點(diǎn)三角形
例127．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（???????）
A．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，的周長(zhǎng)是6
B．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，面積的最大值為
C．存在點(diǎn)P，使
D．的取值范圍是

例128．（2022·河南平頂山·高二期末（理））設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（???????）
A．為銳角三角形 B．為鈍角三角形
C．為直角三角形 D．，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形

例129．（2022·山西·康杰中學(xué)高二開學(xué)考試）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（???????）
A．存在點(diǎn)，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值
C．有最小值 D．的范圍為

例130．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（???????）
A． B． C． D．不能確定

例131．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二期末）阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，P是C上一點(diǎn)，，，C的面積為12π，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（???????）
A． B． C． D．

例132．（多選題）（2022·江蘇·淮陰中學(xué)高二期中）已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的有（???????）
A．若，則 B．面積的最大值為
C．的最大值為 D．滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)

例133．（2022·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)高二期中）已知橢圓M：的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，P是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（???????）
A．周長(zhǎng)為
B．面積最大值為
C．存在點(diǎn)P滿足：
D．若面積為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為

例134．（2022·遼寧·本溪市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，現(xiàn)給出下述結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的是（???????）
A．
B．的周長(zhǎng)的取值范圍是（6，12）
C．當(dāng)時(shí)，的面積為
D．當(dāng)時(shí)，為直角三角形．

例135．（2022·全國(guó)·高二期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則的值是______；的取值范圍是______．

例136．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，且△的面積等于4.則實(shí)數(shù)b的值為___________.

例137．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若中，，（，且m?n為定值），則面積的最大值為___________.

例138．（2022·四川·南部縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是其左右焦點(diǎn)，且，則三角形的面積為_________

例139．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為、的橢圓上，若，則的值為______．

例140．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為?，點(diǎn)P在橢圓C上，且，，，則橢圓C的方程為___________.

例141．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)P在橢圓上．如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么是的______倍．

例142．（2022·廣東茂名·高二期末）橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)焦點(diǎn).當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)A開始出發(fā)，沿60°角方向作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程為___________.

例143．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，、為兩焦點(diǎn)，，求△的面積．

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