一、橫豎線段
二、斜線段（化斜為直）
一、橫豎線段
例1．（2024秋?綏中縣期中）
1．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．當(dāng)時(shí)，求m的值．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
2．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)寫出線段的長（用含有的代數(shù)式表示）；
(3)若，求的值；
（2024?咸豐縣模擬）
3．綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)解析式．
(2)若，求m的值．
4．如圖， 拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)） ，與軸交于點(diǎn)，是拋物線在第四象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線， 交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)用含m的代數(shù)式表示線段的長度，并求出其最大值；
(2)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2024秋?西崗區(qū)校級(jí)月考）
5．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接．
(1)求該二次函數(shù)和直線的解析式；
(2)點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)H，當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)
例2．（2024?重慶模擬）
6．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，連接，點(diǎn)為線段下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求的最大值以及點(diǎn)的坐標(biāo)．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
7．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由．
二、斜線段
例3．（2024?江漢區(qū)校級(jí)模擬）
8．已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)D為拋物線在第四象限的一點(diǎn)，連交線段于點(diǎn)E，且，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
（2024?綏化三模）
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)直線與相交于點(diǎn)E，當(dāng)D為拋物線上第四象限內(nèi)一點(diǎn)且時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2024?達(dá)州模擬）
10．如圖，拋物線(為常數(shù))與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)；在(2)的結(jié)論下，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和此時(shí)的最小值．
參考答案與解析
參考答案：
1．(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
(2)的值為或2或3．
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合，熟練掌握求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，可得，分兩種情況：①點(diǎn)P在點(diǎn)D上方時(shí)；②點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，結(jié)合列出方程求解m的值即可．
【詳解】（1）解：對(duì)于，令，則，
解得：，，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
代入和得，，
解得：，
直線的函數(shù)表達(dá)式為，
對(duì)于，令，則，
解得：，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4，
綜上所述，直線的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4．
（2）由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，
點(diǎn)D的坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同，即，
由（1）得，直線的函數(shù)表達(dá)式為，
，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4，
，
；
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D上方時(shí)，
則，
，
解得：，，
，
的值為；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，
則，
，
解得：，，
的值為2或3；
綜上所述，的值為或2或3．
2．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（2）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定，，則，設(shè)，則，，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由得到，可得結(jié)論；
（3）先用表示、得到，，再利用得，然后討論得到兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程，再解方程求出滿足條件的的值．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，
∴拋物線解析式為，即；
（2）∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，則，
∴，，
∴，
設(shè)，
∵軸，
∴，，，
∴，即，
∴；
（3）存在．
∵，，
又∵，
∴，
當(dāng)，解得：（舍去），；
當(dāng)，解得：（舍去），，
綜上所述，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．利用方程的思想和分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
3．(1)，，，直線的解析式為
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．
（1）根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)求A、B、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；
（2）由題可知，則，，再由，得到方程，求出m的值即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
解得或，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入可得，
解得，
∴直線的解析式為；
（2）解：∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴，則，，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
4．(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
【分析】（1）由拋物線的解析式結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出點(diǎn)、、的坐標(biāo)， 再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式， 根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 找出點(diǎn)、的坐標(biāo)， 由此即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式， 利用配方法即可得出最值；
（2）根據(jù)、的坐標(biāo)即可得出、的長度， 結(jié)合即可得出的值， 將其代入點(diǎn)的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論 ．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、 待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）根據(jù)求出的值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)， 根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：依題意，當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)， 有，
解得：，，
，．
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
．
當(dāng)時(shí)，，
．
．
，，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值．
（2）解：，軸，
，
，
，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
5．(1)二次函數(shù)的解析式為，直線BC的解析式為
(2)
【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與圖形的面積，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
（1）直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）由（1）知直線的解析式，設(shè)，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得
【詳解】（1）解：將，代入中得：
，
解得：，
二次函數(shù)的解析式；
令，則，
解得：，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
代入得：，
解得，
∴直線的解析式為，
（2）由（1）知直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，
軸于點(diǎn)Q交于點(diǎn)H，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的長度最大，
將代入得．
6．(1)
(2)最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（）利用待定系數(shù)法解答即可；
（）求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)，則，，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 ．
【詳解】（1）解：∵拋物線交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵拋物線交軸于點(diǎn)，
∴C0,?3，
設(shè)直線的解析式為，把、C0,?3代入得，
解得，
∴直線的解析式為，
同理可得直線的解析式為，
設(shè)，
∵軸，
∴，
∴，
∵軸，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入得，
，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
7．(1)
(2)最大值，
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
（1）直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；
（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線為，
，
解得，
直線為，
設(shè)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)．
8．(1)
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或
【分析】（1）令，用含m的式子表示出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)求出m的值，即可求解；
（2）過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)F，根據(jù)（1）中結(jié)論求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，設(shè)，和含t的式子表示出，再根據(jù)，推出，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長度成比例列式求出t的值，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：令，
化簡得：，
解得：，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：如圖1，過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)F，
在中，令，得，
∴，
令，得，
解得：，，
∴，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將B、C的坐標(biāo)代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)，
∵軸，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，
則，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，相似三角形的判定的性質(zhì)，正確作出輔助線，綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
9．(1)二次函數(shù)的解析式為
(2)或
【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，涉及待定系數(shù)求解析式，相似的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點(diǎn)作軸, 垂足為, 交CB于點(diǎn)，設(shè)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用列式求解．
【詳解】（1）把 代入
得，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為 ；
（2）解：如圖,過點(diǎn)作軸, 垂足為, 交CB于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，解得
∴,
當(dāng)x=0時(shí)，得
，
設(shè)直線解析式為：y=mx+n，代入,
得，解得
∴直線解析式為
設(shè)則
，
∵,

，即
解得或
或．
10．(1)，；
(2)最大面積為：，；
(3)，最小值為：．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用圖形面積和差，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
（3）先過點(diǎn)作垂線段，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，再根據(jù)垂線段最短，最后用等面積法求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴
∵拋物線和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)、
∴，，
解得：，，
∴拋物線解析式為：，一次函數(shù)解析式為：，
（2）如圖，過作軸，交軸于點(diǎn)，交AD于點(diǎn)，
設(shè)，則，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為，
此時(shí)，即點(diǎn)；
（3）如圖，過作軸，交軸于點(diǎn)，交AD于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，
由（2）可知：，∴，
∴，
由得：當(dāng)x=0時(shí)，，∴，
則有，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，，
則當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)、圖形面積計(jì)算等，解題的關(guān)鍵是如何找到等線段．
1．橫線段∵AB//x軸
∴AB=|xA-xB|
2．豎線段∵AB//y軸
∴AB=|yA-yB|
1．勾股轉(zhuǎn)化：
2．特殊角轉(zhuǎn)化：∵∠OBC=45°
∴
3．相似三角形轉(zhuǎn)化：∵DF∥OC，
∴△DEP∽△OEC，
∴

相關(guān)試卷

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 03線段問題（含答案解析版）：

這是一份全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 03線段問題（含答案解析版），共17頁。試卷主要包含了橫豎線段，斜線段等內(nèi)容，歡迎下載使用。

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 03線段問題（不含答案版）：

這是一份全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 03線段問題（不含答案版），共7頁。試卷主要包含了橫豎線段，斜線段等內(nèi)容，歡迎下載使用。

解答題壓軸題純含參二次函數(shù)問題練習(xí)-中考數(shù)學(xué)專題：

這是一份解答題壓軸題純含參二次函數(shù)問題練習(xí)-中考數(shù)學(xué)專題，文件包含解答題壓軸題純含參二次函數(shù)問題解析版pdf、解答題壓軸題純含參二次函數(shù)問題學(xué)生版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共51頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 二次函數(shù)綜壓軸題專題訓(xùn)練——關(guān)于線段周長問題

2025屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 二次函數(shù)綜壓軸題專題訓(xùn)練——關(guān)于線段周長問題
2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題24線段最值問題(學(xué)生版+解析)

2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題24線段最值問題(學(xué)生版+解析)
最新中考數(shù)學(xué)壓軸真題匯編 專題03 二次函數(shù)中面積問題壓軸真題訓(xùn)練 （全國通用）

最新中考數(shù)學(xué)壓軸真題匯編 專題03 二次函數(shù)中面積問題壓軸真題訓(xùn)練 （全國通用）
2024中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸專題訓(xùn)練-專題03最值問題（含解析）

2024中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸專題訓(xùn)練-專題03最值問題（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部