中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題07二次函數(shù)與線段最值定值問題（八大類型）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：二次函數(shù)與單線段最值問題
例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)G為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作GE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）以A為直角頂點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD（即EF）最短，然后只需求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，就可得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，），
∴設(shè)拋物線的解析式是y＝a（x﹣5）（x+1）1），
則a×（﹣5）×1，解得a．
則拋物線的解析式是y（x﹣5）（x+1）x2+2x；
（2）存在．
當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP⊥AC交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)H，如圖．
∵AC⊥AP，OC⊥OA，
∴△OAC∽△OHA，
∴，
∴OA2＝OC?OH，
∵OA＝5，OC，
∴OH＝10，
∴H（0，﹣10），A（5，0），
∴直線AP的解析式為y＝2x﹣10，
聯(lián)立，
∴P的坐標(biāo)是（﹣5，﹣20）．
（3）∵DF⊥x軸，DE⊥y軸，
∴四邊形OFDE為矩形，
∴EF＝OD，
∴EF長度的最小值為OD長度的最小值，
當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD長度最小，
此時(shí)S△AOCAC?ODOA?OC，
∵A（5，0），C（0，），
∴AC，
∴OD，
∵DE⊥y軸，OD⊥AC，
∴△ODE∽△OCD，
∴，
∴OD2＝OE?CO，
∵CO，OD，
∴OE＝2，
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2，
∴yx2+2x2，
解得x1＝2，x2＝2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，2）或（2，2）．
【點(diǎn)評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，根據(jù)矩形的性質(zhì)將EF轉(zhuǎn)化為OD，然后利用垂線段最短是解決第（3）小題的關(guān)鍵．
題型二：二次函數(shù)與將軍飲馬型問題
例2．如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線y＝kx分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C，D．
（1）求直線和拋物線的表達(dá)式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；
（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，在直線EF上是否存在點(diǎn)N，使DM+MN的值最??？若存在，求出其最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質(zhì)逐一求解可得；
（3）通過作對稱點(diǎn)，將折線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間距離，應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c，得
，
解得：，
∴拋物線解析式為：y，
∵過點(diǎn)B的直線y＝kx，
∴代入（1，0），得：k，
∴BD解析式為y；
（2）由得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣5，4），
如圖1，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，
當(dāng)P1D⊥P1C時(shí)，△P1DC為直角三角形，
則△DEP1∽△P1OC，
∴，即，
解得t，
當(dāng)P2D⊥DC于點(diǎn)D時(shí)，△P2DC為直角三角形
由△P2DB∽△DEB得，
即，
解得：t；
當(dāng)P3C⊥DC時(shí)，△DFC∽△COP3，
∴，即，
解得：t，
∴t的值為、、．
（3）由已知直線EF解析式為：yx，
在拋物線上取點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D′，過點(diǎn)D′作D′N⊥EF于點(diǎn)N，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M
過點(diǎn)N作NH⊥DD′于點(diǎn)H，此時(shí)，DM+MN＝D′N最?。?br>則△EOF∽△NHD′
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，），
∴，即，
解得：a＝﹣2，
則N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），
求得直線ND′的解析式為yx+1，
當(dāng)x時(shí)，y，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
此時(shí)，DM+MN的值最小為2．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)和幾何問題綜合題，應(yīng)用了二次函數(shù)性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合．
題型三：二次函數(shù)與胡不歸型線段最值問題
例3．已知拋物線yx2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象與x軸交于A（1，0），B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（Ⅰ）當(dāng)b＝2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，連接BP，當(dāng)PB＝PC，OP＝2時(shí)，求b的值；
（Ⅲ）若拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AB上一點(diǎn)，且AN＝2BN，連接NQ，求DQNQ的最小值．
【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的解析式即可求解；
（Ⅱ）由題意可求P（0，2）或（0，﹣2），將A點(diǎn)代入拋物線解析式可得cb，在求出B（2b﹣1，0），C（0，b），由PB＝PC，（2b﹣1）2+4＝|b﹣2|2或（2b﹣1）2+4＝|b+2|2，再由2b﹣1＞1，求出b即可；
（Ⅲ）先求出拋物線的解析式y(tǒng)x2x﹣2，設(shè)Q（，t）過點(diǎn)N作AD的垂線交于點(diǎn)M，交對稱軸于點(diǎn)Q，利用直角三角形可得MQDQ，當(dāng)M、Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，DQNQ有最小值MN，在Rt△AMN中，AN＝2，求出MN，可求DQNQ的最小值為．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)b＝2時(shí)，yx2+2x+c，
將點(diǎn)A（1，0）代入yx2+2x+c，
∴c，
∴yx2+2x（x﹣2）2，
∴拋物線的頂點(diǎn)為（2，）；
（Ⅱ）∵點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，OP＝2，
∴P（0，2）或（0，﹣2），
將A代入yx2+bx+c，
∴b+c＝0，
∴cb，
∵x2+bxb＝0，
∴1+x1＝2b，
∴x1＝2b﹣1，
∴B（2b﹣1，0），
令x＝0，則y＝2b﹣1，
∴C（0，b），
∵PB＝PC，
∴（2b﹣1）2+4＝|b﹣2|2或（2b﹣1）2+4＝|b+2|2，
解得b或b或b或b，
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴2b﹣1＞1，
∴b＞1，
∴b；
（Ⅲ）將點(diǎn)A、B代入yx2+bx+c，
∴，
，
∴yx2x﹣2，
∴拋物線的對稱軸為直線x，
∴E（，0），
∵yx2x﹣2（x）2，
∴頂點(diǎn)D（，），
∵A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵AN＝2BN，
∴AN＝2，BN＝1，
∴N（3，0），
設(shè)Q（，t），
過點(diǎn)N作AD的垂線交于點(diǎn)M，交對稱軸于點(diǎn)Q，
∵AE，DE，
∴tan∠DAE，
∴∠EQN＝∠DAE，
∴∠DAN＝∠MQD，
∴tan∠MQD，
∴sin∠MQD，
∴MQDQ，
∵DQNQ（DQ+NQ）（MQ+NQ），
∴當(dāng)M、Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，DQNQ有最小值MN，
在Rt△AMN中，AN＝2，
∴sin∠MAN，
∴MN2，
∴DQNQMN，
∴DQNQ的最小值為．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用一元二次方程求最值是解題的關(guān)鍵．
題型四：二次函數(shù)與三線段和最值問題
例4．如圖1，已知一次函數(shù)y＝x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)C．
（1）求b、c的值；
（2）如圖1，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BD上，且BE＝2ED，連接CE并延長交拋物線于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將直線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°后交y軸于點(diǎn)G，連接CG，如圖2，P為△ACG內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR
①求證：PG＝RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c即可解決問題．
（2）首先求出A、C、D坐標(biāo)，根據(jù)BE＝2ED，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，求出直線CE，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)M．
（3）①欲證明PG＝QR，只要證明△QAR≌△GAP即可．②當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí)，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM求出AM，CM，利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC，由此即可解決問題．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，
∴解得，
∴b＝﹣2，c＝3．
（2），對于拋物線y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0），
∵AD＝DC＝2，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣1，0），
∵BE＝2ED，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（，1），
設(shè)直線CE為y＝kx+b，把E、C代入得到解得，
∴直線CE為yx，
由解得或，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（，）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等邊三角形，
∴AP＝AR，AQ＝AG，∠QAC＝∠RAP＝60°，
∴∠QAR＝∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
，
∴△QAR≌△GAP，
∴QR＝PG．
②如圖3中，∵PA+PG+PC＝QR+PR+PC＝QC，
∴當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí)，PA+PG+PC最小，
作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．
∵∠GAO＝60°，AO＝3，
∴AG＝QG＝AQ＝6，∠AGO＝30°，
∵∠QGA＝60°，
∴∠QGO＝90°，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣6，3），
在RT△QCN中，QN＝3，CN＝7，∠QNC＝90°，
∴QC2，
∵sin∠ACM，
∴AM，
∵△APR是等邊三角形，
∴∠APM＝60°，∵PM＝PR，cs30°，
∴AP，PM＝RM
∴MC，
∴PC＝CM﹣PM，
∵，
∴CK，PK，
∴OK＝CK﹣CO，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（，）．
∴PA+PC+PG的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解Q、R、P、C共線時(shí)，PA+PG+PC最小，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．
題型五：二次函數(shù)與線段倍分關(guān)系最值問題
例5．拋物線y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）與x軸相交于O、A兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，連接BC和PC．
（1）a時(shí)，求拋物線的解析式和BC的長；
（2）如圖a＞1時(shí)，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使？若存在，求出a的值，如不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)b＝0，把a(bǔ)、b＝0代入拋物線解析式，即可求出拋物線解析式，再求出B、C坐標(biāo)，即可求出BC長．
（2）利用△PCB∽△APM，得，列出方程即可解決問題．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴b＝0，
∵a，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+6x，
∵x＝2時(shí)，y＝8，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（2，8），
∵對稱軸x＝3，B、C關(guān)于對稱軸對稱，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，8），
∴BC＝2．
（2）∵AP⊥PC，
∴∠APC＝90°，
∵∠CPB+∠APM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠CPB＝∠PAM，
∵∠PBC＝∠PMA＝90°，
∴△PCB∽△APM，
∴，
∴，
整理得a2﹣4a+2＝0，解得a＝2±，
∵a＞1，
∴a＝2．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在等A的左側(cè)時(shí)，∵△APM∽△ANO，
∴，
∵AM＝4a﹣2，OM＝2，
∴，
∴a．
當(dāng)點(diǎn)P在D點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，同法可得OA＝AM，
4a＝2﹣4a，
∴a，
綜上所述，滿足條件的a的值為或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形性質(zhì)列出方程解決問題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考?？碱}型．
題型六：二次函數(shù)與線段乘積問題
例6．已知直線yx+2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線yx2+mx﹣2經(jīng)過點(diǎn)A，和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，求△ABD面積的最大值；
（3）如圖2，經(jīng)過點(diǎn)M（﹣4，1）的直線交拋物線于點(diǎn)P、Q，連接CP、CQ分別交y軸于點(diǎn)E、F，求OE?OF的值．
備注：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（，）
【分析】（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得m的值即可；
（2）過點(diǎn)D作DH∥y軸，交AB于點(diǎn)H，設(shè)D（n，n2n﹣2），H（n，n+2），然后用含n的式子表示DH的長，接下來，利用配方法求得DH的最大值，從而可求得△ABD面積最大值；
（3）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)直線CQ的解析式為y＝ax﹣a，CP的解析式為y＝bx﹣b，接下來求得點(diǎn)Q和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，然后設(shè)直線PQ的解析式為y＝x+d，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1，將PQ的解析式為與拋物線解析式聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，然后依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得ab，最后，由ab的值可得到OE?OF的值．
【解答】解：（1）把y＝0代入yx+2得：0x+2，解得：x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）．
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入yx2+mx﹣2得：m，
∴拋物線的解析式為yx2x﹣2．
（2）過點(diǎn)D作DH∥y軸，交AB于點(diǎn)H，
設(shè)D（n，n2n﹣2），H（n，n+2）．
∴DH＝（n+2）﹣（n2n﹣2）（n+1）2．
∴當(dāng)n＝﹣1時(shí)，DH最大，最大值為，
此時(shí)△ABD面積最大，最大值為4＝9．
（3）把y＝0代入 yx2x﹣2，得：x2+3x﹣4＝0，解得：x＝1或x＝﹣4，
∴C（1，0）．
設(shè)直線CQ的解析式為y＝ax﹣a，CP的解析式為y＝bx﹣b．
∴，解得：x＝1或x＝2a﹣4．
∴xQ＝2a﹣4．
同理：xP＝2b﹣4．
設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1．
∴．
∴x2+（3﹣2k）x﹣8k﹣6＝0，
∴xQ+xP＝2a﹣4+2b﹣4＝2k﹣3，xQ?xP＝（2a﹣4）（2b﹣4）＝﹣8k﹣6，
解得：ab．
又∵OE＝﹣b，OF＝a，
∴OE?OF＝﹣ab．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于a、b的方程組求得ab的值是解題的關(guān)鍵．
題型七：二次函數(shù)與線段比值問題
例7．拋物線y＝ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方．
（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO＝∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．
【分析】（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：（1）①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
拋物線的解析式為yx2；
②如圖1，
當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí)，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D與P關(guān)于y軸對稱，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時(shí)，延長PD交x軸于點(diǎn)G．
作PH⊥OB于點(diǎn)H，則OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
設(shè)OG＝x，則PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴點(diǎn)G（5，0）．
∴直線PG的解析式為yx
解方程組得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，）．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（，）．
（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是定值，定值為2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，設(shè)P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），則at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OFamt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴2．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②利用函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（2）利用待定系數(shù)法求出E、F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
題型八：二次函數(shù)與倒數(shù)和定值問題
例8．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是在第二象限拋物線上的一點(diǎn)，分別連接BD、BC、BP，若∠CBD＝∠ABP，求m的值；
（3）如圖1，過B、C、O三點(diǎn)的圓上有一點(diǎn)Q，并且點(diǎn)Q在第四象限，連接QO、QB、QC，試猜想線段QO、QB、QC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（4）如圖2，若∠BAC的角平分線交y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)G的直線分別交射線AB、AC于點(diǎn)E、F（不與點(diǎn)A重合），則的值是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可：
（2）如圖，過P作PK⊥AB于K，連接CD，先求解頂點(diǎn)D（1．﹣4），證明∠BCD＝90°，tan∠DBC，則tan∠CBD＝tan∠ABP，再列方程求解即可；
（3）如圖，作O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N，證明四邊形OBNC為正方形，連接QB，QC，QO，QN，再分兩種情況討論：當(dāng)Q在B，N之間時(shí)，當(dāng)Q在C、N之間時(shí)，從而可得答案；
（4）過G作MG∥x軸交AC于M，過F作FT∥x軸交AG于T，過C作CQ∥x軸交AG于Q，如圖：證明ACOA～ACGM，AACQ～AMG，可得，同理可得：理可得：，從而可得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與軸分別交于A（﹣1，0）、B（3.0）兩點(diǎn)，
設(shè)拋物線為：y＝a（x+1）（x﹣3），
∵OB＝OC，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3．解得：a＝1，
所以拋物線為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖，過P作PK⊥AB于K，連接CD，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)D（1，﹣4），
∴CD2＝（1﹣0）2+（﹣4+3）2＝2，
BC2＝32+32＝18，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，tan∠DBC，
∵∠CBD＝∠ABP，
∴tan∠CBD＝tan∠ABP，
∵P（m，n），m＜0，n＞0，
∴AB＝3﹣m，PA﹣n＝m2﹣2m﹣3，
∴，
∴m，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
（3）如圖，作O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N，而OB＝OC﹣3，0B⊥OC，
∴四邊形OBNC為正方形，連接QB，QC，QO，ON，
∴CN＝BN＝OC＝CN＝3，BC⊥ON，BC，ON為圓的直徑，
當(dāng)Q在B，N之間時(shí)（與B不重合），在QC上截取CK＝BQ，
∵∠NBQ＝∠NCQ，
∴ΔΝCΚ≌ΔΝBQ（SAS），
∴∠CNK＝∠BNO，
∴∠BNO+∠BNK＝∠BNK+∠CNK＝∠CNB﹣90°，
∵BC⊥ON，
∴∠KQNx90°＝45°＝∠QKN，
∴QK2＝2QN2，
∴（QC﹣QB）2＝2QN2，
∵ON為直徑，則∠OQN＝90°，
∴QN2＝ON2﹣QO2＝BC2﹣QO2＝18﹣QO2，
∴（QC﹣QB）2＝2（18﹣QO2），
而同理可得：QC2+QB2＝18，
整理得：QO2﹣QC?QB＝9，
當(dāng)Q在C，N之間時(shí)（與C不重合），如圖，
同理可得：QO2﹣QC?QB＝9；
（4）過G作MG∥x軸交AC于M，過F作FT∥x軸交AG于T，過C作CQ∥x軸交AG于Q，如圖：
∵M(jìn)G∥x軸，F(xiàn)T∥x軸，CQ∥x軸，
∴MG∥FT∥CQ∥OA，
∴△COA∽△CGM，△ACQ∽△AMG，
∴，
∴，
∴，
∵AG平分∠BAC，
∴∠CAG＝∠BAG＝∠AQC，
∴AC＝CQ，
∴，
同理可得：，
由（1）可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC，
∴，
∴的值不變，為．
【點(diǎn)評】本題考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
一、解答題
1．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)G，使得的面積是的面積的？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，G的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）依題意，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求．
（2）先求線段所在的直線解析式，求利用點(diǎn)到直線的公式，即可求與的高，利用三角形面積公式即可求．
【詳解】（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為
將點(diǎn)B代入得，得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：
（2）存在點(diǎn)G，
當(dāng)點(diǎn)G在x軸的上方時(shí)，設(shè)直線交x軸于P，設(shè)P（t，0），作于E，于F．
由題意：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴直線DG的解析式為，
由，
解得或，
∴G．
當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí)，如圖2所示，
∵
∴當(dāng)點(diǎn)G在的延長線上時(shí)，存在點(diǎn)G使得，
此時(shí)，的直線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)D代入得，
故，
則有
整理得，，
得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
故點(diǎn)G為．
綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，要學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)如圖1，若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最大值；
(3)如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出的值即可；
（2）過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時(shí)，最大，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，②當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，③當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)分別求解即可．
【詳解】（1）點(diǎn)在拋物線的圖象上，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖
，
，
是等腰直角三角形，
，
軸，
，
是等腰直角三角形，
，
當(dāng)最大時(shí)，最大，
設(shè)直線解析式為，
將代入得，
，
直線解析式為，
設(shè)，，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大為，
此時(shí)最大為，即點(diǎn)到直線的距離值最大；
（3）存在，理由如下：
，
拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
分三種情況：①當(dāng)為平行四邊形對角線時(shí)，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)為平行四邊形對角線時(shí)，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③當(dāng)為平行四邊形對角線時(shí)，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q使最?。咳舸嬖?，請求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)點(diǎn)P為上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【分析】（1）由待定系數(shù)法求解即可；
（2）找到點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)A，連接交對稱軸于一點(diǎn)即為，求所在直線解析式，即可求解；
（3）當(dāng)與相似時(shí)，則或，故分分類討論即可：①若，則，可推出點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，由點(diǎn)為上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，得關(guān)于的一元二次方程，求解并作出取舍則可得答案；②若，則，，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，判定，，由相似三角形的性質(zhì)得比例式，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得直線的解析式，求得直線與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入直線的解析式求得其縱坐標(biāo)，即為此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）存在，如圖：∵，關(guān)于對稱軸對稱，
∴，
∴，
∴的最小值為，
∴與對稱軸的交點(diǎn)即為所求：
由（1）可知，對稱軸為：，，
，，
所在直線解析式為：，
令，，
，；
（3）點(diǎn)，，
，，
在拋物線中，當(dāng)時(shí)，，
，
，
．
，
，
當(dāng)與相似時(shí)，則或，
①若，則，
，
，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
點(diǎn)為上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
，
解得：（不合題意，舍去），，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②若，則，，
，
過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖：
，，
，
，
，
，
，軸，
，
，，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
令，
解得：（不合題意，舍去），，
把代入得：，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一線三直角模型及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，拋物線過點(diǎn)，且與直線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，，的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，因此拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，與對稱軸交于點(diǎn)．，此時(shí)最小；
【詳解】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，
，
的坐標(biāo)為，
將，代入，
解得，，
拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值為2，
此時(shí)，
作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，與對稱軸交于點(diǎn)．
，此時(shí)最小，
，
，
，
即的最小值為；
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
5．拋物線（a，b為常數(shù)，）交x軸于，兩點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合）．
①點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在該拋物線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②E是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），且，連接，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；
（2）①由，得直線解析式為，設(shè)，可得，代入解得（與重合，舍去）或，故；
②過在軸左側(cè)作軸，且，連接，證明，有，故最小時(shí)，最小，此時(shí)，，共線，求出，可得直線解析式為，解即得的坐標(biāo)為．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：①如圖：
由，得直線解析式為，
設(shè)，
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，
，
把代入得：
，
解得（與重合，舍去）或，
∴；
②過在軸左側(cè)作軸，且，連接，如圖：
，
，，
，
，
最小時(shí)，最小，
此時(shí)，，共線，
，，
，
，
由，得直線解析式為，
解得，
的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，對稱變換，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題是（2）的關(guān)鍵．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線交線段于M，過點(diǎn)P作x軸的垂線交線段于N，求的周長的最大值．
(3)若點(diǎn)N為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）將點(diǎn)、代入即可；
（2）求出的解析式，設(shè)，根據(jù)題意得，易得，求得其最大值，易證，可得，，進(jìn)而得的周長為，則當(dāng)最大時(shí)，的周長有最大值，代入最大值即可求解；
（3）根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)可以得到存在點(diǎn)M使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩類考慮，以為對角線，以為邊利用平行四邊形對邊平行且相等求點(diǎn)M的坐標(biāo)，和構(gòu)造直角三角形求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：（1）拋物線過，兩點(diǎn)，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，即：，
則，，，
設(shè)的解析式為：，將，代入可得：
，解得：，
∴的解析式為：，
設(shè)，
∵點(diǎn)P為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線交線段于M，過點(diǎn)P作x軸的垂線交線段于N，
∴，則，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，
則，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為：，
由題意可知，，軸，則，
∴，
則，則，，
的周長為，
則當(dāng)最大時(shí)，的周長有最大值，
即：的周長的最大值為；
（3）存在點(diǎn)，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
①以為對角線，過C作軸交拋物線與M，點(diǎn)N在x軸上，，；
②以為邊，過M作垂直拋物線對稱軸于G，當(dāng)，且時(shí)，四邊形為平行四邊形，M點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，；
③過N作軸，與過M作軸交于H，當(dāng)，時(shí)，四邊形為平行四邊形，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖象與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在對稱軸上，連接、、、．
(1)求點(diǎn)、、的坐標(biāo)（用數(shù)字或含的式子表示）；
(2)當(dāng)?shù)淖钚≈档扔跁r(shí)，求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)?。?）中的值時(shí)，若，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或
【分析】（1）將，，分別代入，計(jì)算求解即可；
（2）如圖1，連接，由題意知，，則，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，計(jì)算的值，然后得出的點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線的解析式，根據(jù)是直線與直線的交點(diǎn)，計(jì)算求解即可；
（3）由（2）知，則，，拋物線的對稱軸為直線，勾股定理逆定理判斷是直角三角形，且，記為直線與軸的交點(diǎn)，如圖2，連接，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，由等邊對等角可得，由三角形外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即與重合，求此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)；過三點(diǎn)作，如圖2，由同弧所對的圓周角相等可知與直線交點(diǎn)即為，設(shè)，由題意知，圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，根據(jù)，可求值，根據(jù)，可求值，進(jìn)而可得此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
（2）解：如圖1，連接，
由題意知，，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，拋物線的對稱軸為直線，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
記為直線與軸的交點(diǎn)，如圖2，連接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與重合，即；
過三點(diǎn)作，如圖2，由同弧所對的圓周角相等可知與直線交點(diǎn)即為，設(shè)，
由題意知，圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與線段、角度綜合，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，同弧所對的圓周角相等，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
8．已知拋物線（為常數(shù)，）的頂點(diǎn)為．
(1)當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若該拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．
①點(diǎn)是該拋物線對稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求該拋物線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．
②連接，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，若，求該拋物線的解析式．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）①點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，易得的最小值即為的長，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出拋物線和直線的解析式，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；②用含的式子表示的坐標(biāo)，求出的長，易得為等腰直角三角形，得到，再根據(jù)，得到，列式計(jì)算求出的值，即可得解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則：，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；
（2）解：①∵拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵關(guān)于對稱軸對稱，為對稱軸上一點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小即為的長，
∵的最小值為，
∴，
∵，
∴，
∴拋物線的解析式為：；
∴，拋物線的對稱軸為，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
②由①知：，，
∴，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，
則：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴拋物線的解析式為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中考壓軸題，同時(shí)考查了軸對稱解決線段和最小問題，以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
9．已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)B．
(1)若，，
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)；
(2)若，直線與拋物線相交于點(diǎn)N，E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)①；②,
(2)
【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，即可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)，則，表示出的長，可得關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解；
（2）由得，，拋物線的解析式為，可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)落在直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，延長與直線相交于點(diǎn)H，則，在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（舍去），即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【詳解】（1）解：①若，，則拋物線，
∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線為，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
∵直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，
設(shè)點(diǎn)，則，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值1，
此時(shí)，點(diǎn)，則；
（2）解：∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，
，
又，
，，
∴拋物線的解析式為．
∴，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∵直線與拋物線相交于點(diǎn)N，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，
得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)落在直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)．
延長與直線相交于點(diǎn)H，則．
在中，，，
∴，
解得，（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，軸對稱求最小值問題，勾股定理等，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))坐標(biāo)分別為，，交軸于點(diǎn)．
(1)求出拋物線解析式：
(2)如圖1，過軸上點(diǎn)做的垂線，交線段于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，把沿翻折，使點(diǎn)剛好落在軸上，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】（1）待定系數(shù)求解析式即可求解；
（2）過點(diǎn)作軸垂線交于，交軸于，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)解析式，待定系數(shù)法求解析式直線，設(shè)，，根據(jù)，建立方程，解方程即可求解；
（3）作軸，交于點(diǎn)K，由翻折得，在，中，勾股定理求得，進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo)為或，過點(diǎn)作軸，則且，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【詳解】（1）解：將，代入表達(dá)式得，
解得，
∴．
（2）解：過點(diǎn)作軸垂線交于，交軸于，
∵，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，
∴，
∴ ，
∵，，
設(shè)直線:，將點(diǎn)代入得，
解得：，
∴直線，
設(shè)，，
∴或，
∴或，
∴, ；，
∴或或或，
其中和兩點(diǎn)所對應(yīng)的點(diǎn)不在線段上，所以舍去，
∴或．
（3）解：如圖，作軸，交于點(diǎn)K，則，
∴，，
在中，，由翻折得，
∴，，
在中，∵ ，，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或，
過點(diǎn)作軸，則且，
設(shè)，
則，，
，
，
解得或，
點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，余弦的定義，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．拋物線與坐標(biāo)軸交于、、三點(diǎn)．點(diǎn)P為拋物線上位于上方的一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連結(jié)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，是否存在點(diǎn)P，使線段的長度是2倍關(guān)系？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在點(diǎn)P，使線段的長度是2倍關(guān)系．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）設(shè)，求出直線的解析式，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，表示出的長，根據(jù)，得到，列得一元二次方程，求解即可；
（3）分兩種情況①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng)時(shí)，利用三角函數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得
∴
∴此拋物線的解析式為：
（2）設(shè)，
設(shè)直線的解析式為，
得，解得，
∴，則，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴或4（舍去），
∴；
（3）存在點(diǎn)P．
①當(dāng)時(shí)，連接，
∴
∴，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，則，
解得或，
∴；
②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F．
則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
聯(lián)立方程組，得或，
∴，
綜上所述，存在點(diǎn)P，使線段的長度是2倍關(guān)系．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段與二次函數(shù)，勾股定理，三角函數(shù)，求直線與拋物線的交點(diǎn)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
12．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．
(1)求拋物線解析式和直線的解析式；
(2)如圖（1），若點(diǎn)P是第四象限拋物線上的一點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖（2），點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過點(diǎn)M作垂直于點(diǎn)H，求的最大值．
【答案】(1)直線的解析式是；拋物線解析式是；
(2)；
(3)．
【分析】（1）可設(shè)拋物線的解析式是交點(diǎn)式，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，進(jìn)而求拋物線的解析式，設(shè)直線的解析式，將A、C兩點(diǎn)代入，進(jìn)一步可求得的解析式；
（2）作，先求出邊上的高為，然后延長至Q，使，求出Q的坐標(biāo)，作，然后求出的解析式，然后求出直線與拋物線的交點(diǎn)即可；
（3）作交于N，可得，所以只需求得的最大值即可，設(shè)M、N的坐標(biāo)，表示出的長，求的最值，進(jìn)而求得的最大值．
【詳解】（1）解：設(shè)，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的解析式是，
，
∴，
∴；
（2）解：如圖1，
作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
延長至Q，使，作軸于D，過Q作，
∴，
∴，
設(shè)的解析式是：，
∴，
解得，
∴的解析式是：，
由得，，
∴，（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
∴；
（3）解：如圖2，
作交于M，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件，間接求直線和拋物線交點(diǎn)．
13．如圖，已知拋物線與一直線相交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線及直線的解析式．
(2)設(shè)點(diǎn)，求使的值最小時(shí)m的值．
(3)若拋物線的對稱軸與直線相交于點(diǎn)B，E為直線上的任意一點(diǎn)，過E作交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為，直線的解析式為
(2)
(3)以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形，，或，或，
【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線與直線的解析式即可；
（2）作直線平行于軸，則在直線上，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，與直線交點(diǎn)為，連接，則，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小且為，待定系數(shù)法求直線的解析式，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入求解的值即可；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)可知，設(shè)，則，則，解方程求滿足要求的值，進(jìn)而可得對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解；將，兩點(diǎn)代入得，，
解得，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
將，兩點(diǎn)代入得，，
解得，
∴，
∴拋物線的解析式為，直線的解析式為；
（2）解：當(dāng)，，
當(dāng)，，
當(dāng)，或，
∴，，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
如圖，作直線平行于軸，則在直線上，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，與直線交點(diǎn)為，連接，
由題意知，，，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小且為，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解得，
∴直線的解析式為，
將代入得，，
∴的值為；
（3）解：將代入得，，
∴，，
設(shè)，則，
∵以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
①當(dāng)，解得，（與重合，舍去），
∴，則，，
②當(dāng)，解得，，
∴，則，，
，則，，
綜上所述，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形，，或，或，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與線段綜合，二次函數(shù)與特殊四邊形綜合等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
14．已知拋物線（）與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且與軸于交于點(diǎn)．
(1)求與的關(guān)系式；
(2)若時(shí)，點(diǎn)在拋物線的對稱軸上；
①若過點(diǎn)的直線：（）與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；證明：直線平分；
②設(shè)過點(diǎn)的直線與拋物線交于，點(diǎn)，則是否為定值，若為定值請求出定值，若不是定值請說明理由．
【答案】(1)
(2)①見解析；②是定值，值為4
【分析】（1）由題意可設(shè)函數(shù)解析式，令，即可得；
（2）①當(dāng)時(shí)，，由題意可得過點(diǎn)的直線：（）與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即，即，解得，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算可得，進(jìn)而得出結(jié)論即可；
②設(shè)過點(diǎn)的直線：，聯(lián)立，設(shè)，N，，則，，代入即可得出答案．
【詳解】（1）由題意可知：
令，
∴
（2）①當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵過點(diǎn)的直線：（）與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴直線：（）
∵過點(diǎn)的直線：（）與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)
∴，即，
整理得，
∴，
解得，
∴直線l：交對稱軸與
∴，，
∴
∴，即，
∴直線平分
②為定值，理由如下，
設(shè)過點(diǎn)的直線：
聯(lián)立
化簡
設(shè)，N，
則，
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)函數(shù)關(guān)系式以及點(diǎn)的坐標(biāo)．
15．如圖1，拋物線，交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)除、外，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形ACFD的面積；
②如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于、兩點(diǎn)．試問，是否為定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，
【分析】（1）根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得，，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①根據(jù)題意得出．進(jìn)而得出，軸，進(jìn)而根據(jù)解析式得出頂點(diǎn)，即可求解；
②設(shè)，得出直線：，：．令得，，即可得出．
【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，，
，是的兩根，，，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：；
（2）①把代入得：，
．
又當(dāng)，，
，
線段軸．
，
，
；
②設(shè)，
直線，
因此可得：或，
解得：或，
直線：，：．
令得，，
∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問題、線段問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)H的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)若拋物線的對稱軸為直線，請用含的式子表示；
(2)若，作直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上方且在線段上時(shí)，直接寫出的取值范圍；
(3)在（1）的條件下，記拋物線與軸的右交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，作直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)并交軸于點(diǎn)，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)且
(3)
【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出，確定拋物線的解析式為，再根據(jù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意和拋物線的解析式可得出，，，再根據(jù)點(diǎn)在軸上方且在線段上，可得出不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論；
（3）如圖，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，由（1）知拋物線的解析式為，結(jié)合中點(diǎn)定義先確定，，得出直線的解析式為，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得出，，從而可求出直線的解析式為，然后根據(jù)和確定直線的解析式為，得出，再通過解二元一次方程組確定，接著利用兩點(diǎn)間距離公式用含的代數(shù)式求出，，根據(jù)建立方程，分兩種情況求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線，
∴，對稱軸，
∵點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)H的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴拋物線的解析式為，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴當(dāng)時(shí)，．
（2）∵拋物線與軸交點(diǎn)為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上，且，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)H的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)在軸上方且在線段上，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，的取值范圍是且．
（3）如圖，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，
∵拋物線的解析式為，的中點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴
由可得：，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得：，（不合題意，舍去），
當(dāng)時(shí)，
解得：（不合題意，舍去），（不合題意，舍去），
綜上所述，的值是．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解二元一次方程組，解不等式組，兩點(diǎn)間距離，解絕對值方程，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類討論、方程的思想．根據(jù)題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．
17．已知拋物線（）與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)直線：與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)（C點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與對稱軸相交于點(diǎn)P，且B、C分布在對稱軸的兩側(cè)．若B點(diǎn)到拋物線對稱軸的距離為n，且（）．
①試探求n與t的數(shù)量關(guān)系；
②求線段BC的最大值，以及當(dāng)BC取得最大值時(shí)對應(yīng)m的值．
【答案】(1)
(2)①②的值最大為，
【分析】（1）根據(jù)（）與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，將點(diǎn)，代入，求出的值即可得解；
（2）①設(shè)直線，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作y軸，x軸的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)，設(shè)與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，易得，，推出，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可得解；②根據(jù)，求出，進(jìn)而得到，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線（）與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)，
∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①設(shè)直線，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作y軸，x軸的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)，設(shè)與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，如圖：
則：，軸，
∴，
∴，
∵B點(diǎn)到拋物線對稱軸的距離為n，
∴，
∵，（），
∴，
∴
∴，
∵與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，即：，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴
；
令：，
∴，
∵，
∴
∵當(dāng)，隨著的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的值最大為，
此時(shí)
∴
∴，即：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．同時(shí)考查了平行線分線段成比例，一次函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
18．如圖1，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
①如圖2，過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)，連接，．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖3，若點(diǎn)在直線上方的拋物線上，連接與交于點(diǎn)，求的最大值．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）將，，代入解析式即可得到答案；
（2）①根據(jù)得到點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的2倍，
求出直線的解析式，過點(diǎn)作的平行線與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)，直線解出的解析式，根據(jù)平移規(guī)律即可得到答案；
②過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，根據(jù)平行得到，表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵的圖像與軸交于點(diǎn)，，
∴，
解得：，
；
（2）①，
點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的2倍，
令，則，
，
，，
直線的解析式為：，
如圖，過點(diǎn)作的平行線與軸交于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，
軸，，
，
在直線上，
，
，
直線的解析式為：，
直線可看作是將直線向上平移2個(gè)單位得到，將直線向下平移4個(gè)單位得到直線：，則它與拋物線的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，
（將直線向上平移4個(gè)單位得到直線，它與拋物線沒有交點(diǎn)）
令，解得：，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②如圖，過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
，
軸，
，
，
，
的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，主要有待定系數(shù)法求解析式，動(dòng)點(diǎn)圍成三角形面積問題及線段問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．
19．拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，且，直線過點(diǎn)，，點(diǎn)是線段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，過作軸交拋物線于點(diǎn)，連接、．
(1)求拋物線與直線的解析式；
(2)求證：為定值；
(3)在第四象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形面積最大，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)見解析
(3)存在，
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，則，，，計(jì)算即可求解；
（3）①當(dāng)是平行四邊形的邊時(shí)，確定以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形面積，故當(dāng)最大時(shí)，平行四邊形的面積最大，計(jì)算的最大值為；②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)，證明該種情況，不符合題設(shè)要求，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：令，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
將點(diǎn)代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
設(shè)直線為，
將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入得，
，解得：，
∴直線的解析式是：；
（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則，則，，，
∴為定值；
（3）解：存在，理由：
①當(dāng)是平行四邊形的邊時(shí)，
如下圖：設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
令，則，解得；
令，則，
∴，，則，
∴，，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
則，
則以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形面積，
其中為常數(shù)，
故當(dāng)最大時(shí)，平行四邊形的面積最大，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
即的最大值為，此時(shí)點(diǎn)；
②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)，如下圖，

同理可得：以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形面積，
此時(shí)，
∵當(dāng)時(shí)，的值隨最大而增大，而，
當(dāng)時(shí)，最大值為，
故該種情況，不符合題設(shè)要求，
綜上，點(diǎn)，即四邊形為平行四邊形時(shí)，符合題設(shè)要求，
設(shè)點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：，
故點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)綜合題目，掌握待定系數(shù)法求解析式、由坐標(biāo)得線段長度、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．
20．如圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)．過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)Q，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2．將地物線沿射線BC的方向平移個(gè)單位長度．得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)G，點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是新拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C、G、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)最大值為，此時(shí)點(diǎn)；
(3)，或，或，或，．
【分析】（1）將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2），則，即可求解；
（3）分是邊、是對角線兩種情況，利用平移的性質(zhì)和中點(diǎn)公式即可求解．
【詳解】（1）將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，
解得．
故拋物線的表達(dá)式為；
（2）由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，，則，則，
則，
則，
，故有最大值，
當(dāng)時(shí)，最大值為，此時(shí)點(diǎn)；
（3）將拋物線沿射線的方向平移個(gè)單位長度，則向左平移了2個(gè)單位，向上平移了1個(gè)單位，
則拋物線的拋物線為②；
聯(lián)立①②并解得，
故點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①當(dāng)是邊時(shí)，
將點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到，
即，解得或，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，；
②當(dāng)是對角線時(shí)，
由中點(diǎn)公式得：，
整理得：，
△，故該方程無解；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圖形的平移等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．

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