新疆是我國棉花的主要產(chǎn)地之一.近年來，機械化采棉已經(jīng)成為新疆棉采摘的主要方式.某種棉大戶租用6臺大、小兩種型號的采棉機，1h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉機1h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉機1h完成1 hm2棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺?
在這個問題中，要求的是兩個未知數(shù).如果用一元一次方程來解決，列方程時，要用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù).能不能根據(jù)題意直接設(shè)兩個未知數(shù)，使列方程變得容易呢?我們從這個想法出發(fā)開始本章的學(xué)習(xí).
10.1 二元一次方程組
1.了解二元一次方程（組）及其解的定義．2.會檢驗一對數(shù)值是不是某個二元一次方程組的解.（重點）3.能根據(jù)簡單的實際問題列出二元一次方程組.（難點）
含有未知數(shù)的等式叫做方程.如：2x＋3＝5,x＋y＝8.
在一個方程中，只含有一個未知數(shù)(元),并且未知數(shù)的指數(shù)是 1 (次),這樣的方程叫做一元一次方程.如：2x＋3＝5,y＋6＝8.
1.什么叫方程?2.什么叫一元一次方程?
章引言 新疆是我國棉花的主要產(chǎn)地之一.近年來，機械化采棉已經(jīng)成為新疆棉采摘的主要方式.某種棉大戶租用 6 臺大、小兩種型號的采棉機，1 h 就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉機 1 h 完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉機 1 h 完成 1 hm2棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺?
思考 （1）問題包含了哪些必須同時滿足的相等關(guān)系？
大型采棉機臺數(shù)＋小型采棉機臺數(shù)＝總臺數(shù)；
大型采棉機 1 h 采摘面積＋小型采棉機1 h 采摘面積＝ 1 h 采摘總面積.
思考 （2）若設(shè)這個種棉大戶租用了 x 臺大型采棉機，y 臺小型采棉機，你能用方程把這些相等關(guān)系表示出來嗎？
x＋y＝6， 2x＋y＝8.
觀察 x＋y＝6， 2x＋y＝8.（1）上面兩個方程有什么特點？（2）它們與一元一次方程有什么不同？
①含有兩個未知數(shù)( x 和 y )；
②含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1.
方程含有兩個未知數(shù),且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1 ,像這樣的方程叫作二元一次方程.
?注意 1.“一次”是指含未知數(shù)的項的次數(shù)是 1，而不是未知數(shù)的次數(shù).2.方程的左右兩邊都是整式.
（2）2m＋n＝2m－3
（5）－5x＝4y＋2
（6）7＋a＝2b＋11c
1.判斷下列方程是不是二元一次方程？
?歸納 判斷一個方程是否為二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有兩個未知數(shù)；二看整理化簡后的方程是否具備兩個未知數(shù)的系數(shù)都不為0，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1.
例1 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，則m＋n＝_____．
解析：根據(jù)題意得 |m|＝1且 |m－1|≠0，2n－1＝1， 解得 m＝－1，n＝1， 所以 m＋n＝0.
?歸納 由方程是二元一次方程可知： (1)未知數(shù)的系數(shù)不為0； (2)未知數(shù)的次數(shù)都是1.
這個方程組含有幾個未知數(shù)？含有未知數(shù)的項的次數(shù)是多少？
?二元一次方程組的特點：①方程組中共有 2 個不同的未知數(shù)；②方程組有 2 個整式方程；③一般用大括號把 2 個方程連起來.
方程組中含有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.
二元一次方程組的概念：
探究 滿足方程 x＋y＝6，且符合問題的實際意義的 x、y的值有哪些？把它們填入表中.
如果不考慮方程表示的實際意義，還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
x，y 還可以取小數(shù)，如x＝0.5，y＝5.5；有無數(shù)組這樣的值.
一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.
二元一次方程的解的概念：
探究 滿足方程 x＋y＝6，且符合問題的實際意義的 x、y 的值有哪些？把它們填入表中.
上表中哪對 x，y 的值還滿足方程 2x＋y＝8？
?注意 判斷一對數(shù)值是不是二元一次方程組的解的方法 判斷一對數(shù)值是不是二元一次方程組的解，只需將這對數(shù)值分別代入方程組中的每一個方程進行檢驗，若滿足每一個方程，則這對數(shù)值就是這個方程組的解；若不滿足其中任何一個方程，則這對數(shù)值就不是這個方程組的解.
一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
?歸納 一般地，二元一次方程有無數(shù)組解，而二元一次方程組只有一組解.
例3 加工某種產(chǎn)品須經(jīng)兩道工序，第一道工序每人每天可完成900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.現(xiàn)有 7 位工人參加這兩道工序，應(yīng)怎樣安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件數(shù)相等？請列出符合題意的二元一次方程組.
解：設(shè)安排第一道工序為 x 人，第二道工序為 y 人.根據(jù)題意得
2.二元一次方程組 的解是( )A. B. C. D.
x＋ ＝1，y＋x＝2
1.下列不是二元一次方程組的是( 　 )
x＋y＝3，x－y＝1
6x＋4y＝9，y＝3x＋4
3.關(guān)于 x、y 的方程 ax2＋bx＋2y＝3 是一個二元一次方程，則 a、b 的值分別為（ ）A. a＝0 且 b＝0 B. a＝0 或 b＝0 C. a＝0 且 b≠0 D. a≠0 且 b≠0
4.小劉同學(xué)用 10 元錢購買了兩種不同的賀卡共 8 張， 單價分別是 1 元與 2 元．設(shè)他購買了 1 元的賀卡 x 張，2 元的賀卡 y 張，那么可列方程組(　　) A. B. C. D.
5.已知 是方程2x－4y＋2a＝3的一組解，則a＝____.6.若方程 2x2m＋3＋3y3n－7＝0 是關(guān)于 x,y 的二元一次方程，則m＝______，n＝______.

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10.1 二元一次方程組的概念

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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