1．理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推導(dǎo)；2．能利用垂徑定理進行相關(guān)的計算和證明.
1.如圖，剪一個圓形紙片，折疊使折痕兩旁的部分完全重合，你發(fā)現(xiàn)了什么？
2.圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？你是如何驗證的？
圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸．　
3.現(xiàn)有一張未標明圓心位置的圓形紙片，如何找到它的圓心？動手試一試！
4.如圖， 畫⊙O的直徑AB，作CD⊥AB，垂足為P，猜想在所畫圖中有哪些相等的線段和相等的弧?
4.如圖， 畫⊙O的直徑AB，使AB⊥CD，垂足為P，猜想在所畫圖中有哪些相等的線段和相等的弧?
證明：連接OC、OD.
∵OC=OD，OP⊥CD，
∴∠AOC=∠AOD.
(同圓中，相等的圓心角所對的弧相等).
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
①AB是⊙O的直徑， ②AB⊥CD于點P
垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對的兩條( ).
2.下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明理由.
不是，因為CD沒有過圓心
例1 如圖，在⊙O中，若弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.
解：過點O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA.
解得 OA=5cm.
因此，⊙O的半徑為5cm.
變式1 如圖, OE⊥AB于E, ⊙O的半徑為5cm, OE=3cm, 求AB的長.
∵ OE⊥AB，∴AB=2AE=8cm (垂直于弦的直徑平分弦).
變式2 在⊙O中，弦AB?CD于P，CD為直徑，若AB?8， DP?2，則⊙O的半徑為 .
解：連接OB．設(shè)OB= r，則OP = r-2.
在Rt△OPB中，由勾股定理，得
OP2?BP2?OB2
(r?2)2?42?r2
變式3 ⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，點P在AB上運動.①線段OP的長的最小值為___，最大值為___.②OP的取值范圍是___________.
例2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.你認為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？
你還能想到其他的證明方法嗎？
提示：連接OA，OB，OC，OD．過點O作OP⊥AB于點P， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)．
解：AC與BD相等.過點O作OP⊥AB，垂足為P.∴AP＝BP，CP＝DP (垂直于弦的直徑平分弦.) ∴ AP－CP＝BP－DP 即AC＝BD
1.如圖，以點P為圓心的圓弧與x軸交于A、B兩點，點P的坐標為(4，2)，點A的坐標為(2，0)，則點B的坐標為 .
提示：由垂徑定理可得AQ=BQ=2，所以B點坐標為(6，0).
2cm或12cm
3.如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于E， ∠CEB=30°，DE=9cm，CE=3cm，求弦AB的長.
∵DE=9cm，CE=3cm，
∴OD=OA=6cm，
∵ ∠CEB=30°，
∴ ∠AED=30°.
解：作OF⊥AB于F，連接OA.
∴ OF=1.5cm.
1.垂徑定理中的垂徑可以是_____、_____或過圓心的直線或______，其本質(zhì)是“過圓心”.
3.求弦的長度時，常利用垂徑定理和勾股定理來求.
2.解決和弦有關(guān)的問題時，常過圓心作弦的垂線(段)．
垂徑定理的幾個基本圖形：
①CD過圓心②CD⊥ AB于點E
兩條輔助線：連半徑，作弦心距
構(gòu)造Rt△利用勾股定理計算或建立方程
1. 下列說法正確的是 ( )
A. 弦的垂線平分弦所對的弧
B. 平分弦的直徑垂直于這條弦
C. 過弦中點的直線必過圓心
D. 弦所對兩條弧的中點連線垂直平分弦
2. 如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不成立的是( ).
A.∠COE=∠DOE
3.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為______.
5.⊙O的直徑AB=20cm, ∠BAC=30°，則弦AC=________.
6.已知☉O的半徑為7，AB是☉O的弦，點P在弦AB上.若PA＝4，PB＝6，則OP的長為_______.
7.如圖，過⊙O內(nèi)一點P畫弦AB，使P是AB的中點.
8.在半徑為5的圓中,弦AB∥CD,AB=8,CD=6,試求AB和CD的距離.
解：過O作半徑OD⊥AB于C.
9.在直徑為650mm的圓柱形油罐內(nèi)裝進一些油后，其橫截面如圖.若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.
10.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形．
證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴四邊形ADOE為矩形.
∴ 四邊形ADOE為正方形.
∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，
1.在⊙O中任意畫一條弦CD，它還是軸對稱圖形嗎？若是，你能找到它的對稱軸嗎？
2.如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？
①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？

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初中數(shù)學蘇科版（2024）九年級上冊電子課本 舊教材

2.2 圓的對稱性

版本： 蘇科版（2024）

年級： 九年級上冊

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