2024年中考數(shù)學幾何模型專項復習講與練模型41 相似形——射影定理模型-原卷版+解析-試卷下載-教習網(wǎng)

DC2＝DA?DB
AC2＝AD?AB
BC2＝BD?BA
AC?BC＝AB?CD
◎結論：如圖，∠ACB＝90o，CD⊥AB，則：

多個垂直先導角，相等互余少不了
∠1＝∠2，∠3＝∠4
△ACD∽△CBD∽△ABC
以△ACD∽△CBD為例
＝, DC2＝DA?DB
記：DC用了兩次，D能寫出兩條共線線段
同理：AC2＝AD?AB
BC2＝BD?BA
等面積：AC?BC＝AB?CD

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
公共邊2＝共線邊乘積
1． (2023·山東淄博·八年級期末）如圖，在中，，于點D，下列結論錯誤的有（）個
①圖中只有兩對相似三角形；②；③若，AD＝8，則CD＝4．
A．1個B．2個C．3個D．0個

1． (2023·全國·九年級課時練習）如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．
2． (2023·全國·九年級專題練習）【問題情境】如圖1，在中，，垂足為D，我們可以得到如下正確結論：①；②；③，這些結論是由古希酷著名數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》最先提出的，我們稱之為“射影定理”，又稱“歐幾里德定理”．
(1)請證明“射影定理”中的結論③．
(2)【結論運用】如圖2，正方形的邊長為6，點O是對角線、的交點，點E在上，過點C作，垂足為F，連接．
①求證：．
②若，求的長．
1．（1）問題情境：如圖1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用與相似證明AC2＝AD?AB，這個結論我們稱之為射影定理，試證明這個定理．
（2）結論運用：如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，試利用射影定理證明．
2．如圖所示，△ABC被平行光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出圖中AC的投影是什么？CD與BC的投影呢？
(2)探究：當△ABC為直角三角形(∠ACB＝90°)時，易得AC2＝AD·AB，此時有如下結論：直角三角形一直角邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊的乘積，這一結論我們稱為射影定理．通過上述結論的推理，請證明以下兩個結論．
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．
相似形
模型（四十一）——射影定理模型
DC2＝DA?DB
AC2＝AD?AB
BC2＝BD?BA
AC?BC＝AB?CD
◎結論：如圖，∠ACB＝90o，CD⊥AB，則：

多個垂直先導角，相等互余少不了
∠1＝∠2，∠3＝∠4
△ACD∽△CBD∽△ABC
以△ACD∽△CBD為例
＝, DC2＝DA?DB
記：DC用了兩次，D能寫出兩條共線線段
同理：AC2＝AD?AB
BC2＝BD?BA
等面積：AC?BC＝AB?CD

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
公共邊2＝共線邊乘積

1． (2023·山東淄博·八年級期末）如圖，在中，，于點D，下列結論錯誤的有（）個
①圖中只有兩對相似三角形；②；③若，AD＝8，則CD＝4．
A．1個B．2個C．3個D．0個
【答案】A
【分析】①根據(jù)相似三角形判定判斷；②利用面積法證明即可；③利用相似三角形的性質求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴，
∵，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①錯誤，
∵S△ACB=AC?BC=AB?CD，
∴BC?AC=AB?CD，故②正確，
∵△CBD∽△ABC，
∴，
∴，
∴BD=2或-10（舍棄），
在Rt△CDB中，CD=，故③正確，
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．
1． (2023·全國·九年級課時練習）如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．
【答案】
【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質列式計算即可．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴,
∵
∴BC＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質，牢記相關知識點并能結合圖形靈活應用是解題關鍵．
2． (2023·全國·九年級專題練習）【問題情境】如圖1，在中，，垂足為D，我們可以得到如下正確結論：①；②；③，這些結論是由古?？嶂麛?shù)學家歐幾里得在《幾何原本》最先提出的，我們稱之為“射影定理”，又稱“歐幾里德定理”．
(1)請證明“射影定理”中的結論③．
(2)【結論運用】如圖2，正方形的邊長為6，點O是對角線、的交點，點E在上，過點C作，垂足為F，連接．
①求證：．
②若，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)①見解析；②．
【分析】（1）由AA證明，再由相似三角形對應邊稱比例得到，繼而解題；
（2）①由“射影定理”分別解得，，整理出，再結合即可證明；
②由勾股定理解得，再根據(jù)得到，代入數(shù)值解題即可．
（1）
證明：
（2）
①四邊形ABCD是正方形
②在中，
在，
．
【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，涉及勾股定理、正方形等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
1．（1）問題情境：如圖1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用與相似證明AC2＝AD?AB，這個結論我們稱之為射影定理，試證明這個定理．
（2）結論運用：如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，試利用射影定理證明．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）由AA證明，再結合相似三角形對應邊成比例即可解題；
（2）根據(jù)正方形的性質及射影定理解得BC2＝BO?BD，BC2＝BF?BE，再運用SAS證明△BOF∽△BED即可．
【詳解】證明：（1）如圖1，
（2）如圖2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO?BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF?BE，
∴BO?BD＝BF?BE，即，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED．
【點睛】本題考查射影定理、相似三角形的判定與性質、正方形的性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
2．如圖所示，△ABC被平行光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出圖中AC的投影是什么？CD與BC的投影呢？
(2)探究：當△ABC為直角三角形(∠ACB＝90°)時，易得AC2＝AD·AB，此時有如下結論：直角三角形一直角邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊的乘積，這一結論我們稱為射影定理．通過上述結論的推理，請證明以下兩個結論．
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．
【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的投影是BD；(2)證明見解析.
【詳解】試題分析：（1）在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影，根據(jù)正投影的定義求解即可；
（2）①，結合兩角對應相等的兩三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可證明結論；
②同理可證△ACD∽△CBD，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可證明結論成立．
試題解析：
解：（1）∵CD⊥AB，
而平行光線垂直AB，
∴AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的投影為BD；
（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BD?AB；
②同理可得：△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD?BD．
點睛：本題考查了正投影的定義和相似三角形的判定與性質，熟記正投影的定義是解決（1）的關鍵，結合圖形得出相似三角形是解決（2）的關鍵．