根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)確定．
①描點(diǎn)猜想問(wèn)題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問(wèn)題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問(wèn)題．
②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問(wèn)題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．
二、二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題
在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題．解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問(wèn)題
幾何圖形中的二次函數(shù)問(wèn)題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過(guò)解析式可解決一些測(cè)量問(wèn)題或其他問(wèn)題．
題型一：圖形問(wèn)題
一、填空題
1．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在一塊等腰直角三角形ABC的鐵皮上截取一塊矩形鐵皮，要求截得的矩形的邊EF在的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上．已知厘米，設(shè)DG的長(zhǎng)為x厘米，矩形DEFG的面積為y平方厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為__________．（不要求寫出定義域）
【答案】
【分析】根據(jù)題意，列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式即可；
【詳解】解：∵是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴BE⊥DE，
∴BE=DE，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式．
2．（2022·上海浦東新·九年級(jí)期末）在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形中挖去一個(gè)小正方形，使小正方形四周剩下部分的寬度均為x，若剩下陰影部分的面積為y，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是______．
【答案】
【分析】根據(jù)剩下部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積得出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．
【詳解】解：設(shè)剩下部分的面積為y，則：
y=4-(2-2x)2=-4x2+8x（0＜x＜1），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，利用剩下部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積得出是解題關(guān)鍵．
3．（2021·上海市奉賢區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為20，設(shè)其一邊的長(zhǎng)為x，面積為S，則S關(guān)于x的函數(shù)解析式是 ___．
【答案】S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）．
【分析】得出矩形的另一邊長(zhǎng)，則面積＝兩邊長(zhǎng)的乘積，根據(jù)邊長(zhǎng)為正數(shù)可得自變量的取值范圍．
【詳解】解：∵矩形的周長(zhǎng)為20，其一邊的長(zhǎng)為x，
∴另一邊長(zhǎng)為10﹣x，
∴S＝x（10﹣x）=﹣x2+10 x（0＜x＜10）．
故答案為S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）．
【點(diǎn)睛】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式；得到矩形的另一邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．
二、解答題
4．（2022·上海金山·二模）已知：在直角坐標(biāo)系中直線與軸、軸相交于點(diǎn)、，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如果直線與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
(3)是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，與軸相交于點(diǎn)，把沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，如果點(diǎn)在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)是坐標(biāo)是
【分析】（1）先根據(jù)直線求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，代入y=-x+4，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明四邊形為正方形，得點(diǎn)坐標(biāo)是，從而可得方程，求解方程即可得到答案．
（1）
直線與軸、軸相交于點(diǎn)、，
當(dāng)y=0，則-x+4=0，解得，x=4，
當(dāng)x=0，則y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴拋物線的解析式為.
（2）
∵
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)x=1時(shí)，
∴，
∴.
（3）
如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴四邊形為正方形，
∴，
∴點(diǎn)是坐標(biāo)是，
∴，
解得：，（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)是坐標(biāo)是
【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的判定和正方形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中某些特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
5．（2021·上?！ど贤飧街芯拍昙?jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程：有一個(gè)增根為b，另一根為c．二次函數(shù)與x軸交于P和Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊）．在此二次函數(shù)的圖象上求一點(diǎn)M，使得面積最大．
【答案】點(diǎn)，時(shí)，的面積取最大為
【分析】方程可化簡(jiǎn)為．方程只有時(shí)才有增根，可推出；將代入方程得即，再根據(jù)的值求出并確定解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和的取值范圍確定面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：將去分母得：
，
將增根，即代入，
解得：，
再將代入方程，
，
得，
．
二次函數(shù)為，
令，
解得：，
所以軸的交點(diǎn)為，，，
，
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或時(shí)，
的面積可能取最大，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
經(jīng)比較可得時(shí)，的面積取最大，
即點(diǎn)，時(shí)，的面積取最大，為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，分式方程、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)巧妙地利用分式方程的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)要明確增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
6．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校東校九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過(guò)B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；
（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)
【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；
（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函數(shù)的圖象過(guò)B、C兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)解析式為：；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，
設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，
∴EF=-(-m+3)= ，CF=，
∴或，
∴或（舍去）或或（舍去），
∴EF==或；
（3）∵l∥y軸，點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，
∴∠EFC=∠NCG，
∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四邊形NCFE是平行四邊形，
∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y軸，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴=，解得：或（舍去），
∴CN=EF=，
∴ON=+3=，
∴N(0，)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·上海金山·二模）已知直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，3）兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣4ax+b與已知直線交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)），頂點(diǎn)為P．
（1）求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)不在第一象限，求a的取值范圍；
（3）若直線DP與直線AB所成的夾角等于15°，且點(diǎn)P在直線AB的上方，求拋物線y＝ax2﹣4ax+b的表達(dá)式．
【答案】（1）y＝x+2；（2）a≥；（3）y＝﹣x2+2x+2．
【分析】（1）直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（1，3）兩點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入即得答案；
（2）用a表示頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)不在第一象限，列出不等式即可解得a范圍；
（3）延長(zhǎng)PD交 x軸于M，對(duì)稱軸與x軸交于N，首先求出D坐標(biāo)，再根據(jù)直線DP與直線AB所成的夾角等于15°，求出OM長(zhǎng)度，又利用求出 PN列方程即可得答案．
【詳解】解：（1）∵直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，3）兩點(diǎn)，
∴，解得，
∴直線y＝kx+b的表達(dá)式為y＝x+2；
（2）∵b＝2，
∴拋物線y＝ax2﹣4ax+b解析式為y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴頂點(diǎn)是（2，2﹣4a），
∵頂點(diǎn)不在第一象限，且在對(duì)稱軸x＝2上，
∴頂點(diǎn)在第四象限或在x軸上，
∴2﹣4a≤0，即a≥；
（3）延長(zhǎng)PD交x軸于M，對(duì)稱軸與x軸交于N，如圖：
∵P在直線AB的上方，拋物線y＝ax2﹣4ax+b與已知直線交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)），
∴開口向下，
∵直線y＝x+2與拋物線y＝ax2﹣4ax+2都經(jīng)過(guò)（0，2），點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，
∴D（0，2），
∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵直線DP與直線AB所成的夾角等于15°，
∴∠MDO＝30°，
Rt△MDO中，tan∠MDO＝，
∴tan30°＝，解得OM＝，
∵對(duì)稱軸與x軸交于N，
∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，
∴，即，
∴PN＝2+2，
而P（2，2﹣4a），
∴2﹣4a＝2+2，
∴a＝﹣，
∴拋物線y＝ax2﹣4ax+b的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+2．
【點(diǎn)睛】】本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)等綜合知識(shí)，難度較大，解題的關(guān)鍵是利用直線DP與直線AB所成的夾角等于15°，求出OM長(zhǎng)度．
8．（2021·上海楊浦·二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．
【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）Q（3，﹣2）；（3）8
【分析】（1）求出A、B坐標(biāo)代入y＝ax2+6x+c即可得答案；
（2）求出C坐標(biāo)，設(shè)P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)重合可列方程求解；
（3）CD與AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐標(biāo)，再求CN解析式及D坐標(biāo)即可得出答案．
【詳解】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
將A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0），
點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，
設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），
則BP的中點(diǎn)為（，），CQ的中點(diǎn)為（，），
∵四邊形BCPQ是平行四邊形，
∴線段BP的中點(diǎn)即是CQ的中點(diǎn)，
∴，
解得或，
∴Q（3，﹣2）；
（3）設(shè)CD與AB交于N，如圖：
∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），
∴CQ＝2，BQ＝3，
∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴，即＝，
∴QN＝，
設(shè)N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），
∴＝，
∴t＝或t＝，
∵在∠QCB內(nèi)作射線CD，
∴t＝，N（，﹣），
設(shè)CN解析式為y＝kx+b，將N（，﹣），C（1，0）代入得：
，
解得，
∴CN解析式為y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴Q（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、平行四邊形及相似三角形綜合知識(shí)，解題關(guān)鍵是設(shè)出坐標(biāo)，利用相似三角形性質(zhì)求出QN的長(zhǎng)度．
9．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)B在第二象限內(nèi)，AP⊥AB，交x軸于點(diǎn)P，tan∠APB＝2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；
（3）如果拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C，且四邊形ACBP是梯形，求m的值．
【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，2m﹣2）；（2）y＝﹣x2﹣2x﹣2；（3）m＝．
【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點(diǎn)A，可得A（0，-2），過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)P與y軸的平行線于點(diǎn)N，證Rt△BMA∽R(shí)t△ANP，結(jié)合tan∠APB＝2，可得BM和AM的長(zhǎng)，即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，2），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+4）2+2，將A點(diǎn)代入，即可求得拋物線的表達(dá)式；
（3）利用待定系數(shù)法求直線AC的表達(dá)式，利用四邊形ACBP是梯形，AC∥BP，求直線BP的表達(dá)式，代入B點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)求解m．
【詳解】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點(diǎn)A，
∴A（0，-2）
過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)P與y軸的平行線于點(diǎn)N，
∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°，
∴∠BAM＝∠APN，
∴Rt△BMA∽R(shí)t△ANP，
∵tan∠APB＝2，
∴兩個(gè)三角形相似比為2，
則BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2OA＝4，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，2m﹣2）；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，2）
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+4）2+2，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a＝，
故拋物線的表達(dá)式為y＝（x+4）2+2＝x2﹣2x﹣2；
（3）如上圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，0）
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝sx+t，則，解得
故直線AC的表達(dá)式為y＝x﹣2，
∵四邊形ACBP是梯形，
故直線AC∥BP，
故設(shè)直線BP的表達(dá)式為y＝x+p，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式得：0＝m+p，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：2m﹣2＝，
解得m＝．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與幾何綜合．涉及相似三角形的性質(zhì)和證明、三角函數(shù)、梯形的性質(zhì)以及一次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)．是一道綜合性較強(qiáng)的大題．
題型二：圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
一、解答題
1．（2022·上海崇明·二模）如圖，在中，．點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，且，連接EG，以線段EG為對(duì)角線作正方形EDGF，邊ED交AC邊于點(diǎn)M，線段EG交AC邊于點(diǎn)N，邊EF交BC邊于點(diǎn)P．
(1)求證：﹔
(2)設(shè)的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域；
(3)連接NP，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求AE的值．
【答案】(1)見解析
(2)；定義域?yàn)?br>(3)AE的值為，
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作交AC于H ，可得△EHN∽△GCN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，即可求證；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，．從而得到，再由△EHN∽△GCN，可得CN=2HN，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作交BC邊于Q點(diǎn)，即可求解．
(1)
證明：過(guò)點(diǎn)E作交AC于H ，
∴，△EHN∽△GCN，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
(2)
解∶∵
∴．
∴，
∵，
∴．CG=x，
∴，
由（1）得：△EHN∽△GCN，
∴，即CN=2HN，
∵HN+CN=CH，
∴，
∴
∴；
定義域?yàn)椋?br>(3)
解∶當(dāng)時(shí)，則∠PNG=90°，
∴∠PNC+∠CNG=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACG=90°，
∴∠PNC+∠CPN=90°，
∴∠CPN=∠CNG，
∵∠CNG=∠ENH，
∴∠CPN=∠ENH，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠EPN=∠PEN=45°，
∴EN=PN，
∵∠ACB=∠EHN=90°，
∴，
∴，
由（2）得：CN=2HN，
∴，
∴，解得：，
當(dāng)時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作交BC邊于Q點(diǎn)，
∴∠EPQ+∠CPN=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠CPN+∠CNP=90°，
∴∠CNP=∠EPQ，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠PNE=∠PEN=45°，
∴EP=PN，
∵∠ACB=∠EQP=90°，
∴，
∴EQ=CP，PQ=CN，
∵EH⊥AC，BC⊥AC，
∴CH=EQ=AC-AH=，
∴，
∴，
∵EQ⊥BC，
∴EQ∥AC，
∴∠BEQ=30°，
∴，
∴，
解得：．
綜上所述，AE的值或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，求函數(shù)解析式等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·上海黃浦·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)為H（2，4），對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C、P是拋物線上的點(diǎn)，且都在第一象限內(nèi)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸左側(cè)，∠CHB＝∠CAO，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，已知點(diǎn)P位于對(duì)稱軸的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作PQCH，交對(duì)稱軸l于點(diǎn)Q，且，求直線PQ的表達(dá)式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意將拋物線表達(dá)式設(shè)為頂點(diǎn)式，將A、H坐標(biāo)代入即可求出；
（2）過(guò)點(diǎn)C向?qū)ΨQ軸和x軸作垂線，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)角度相等，所以正切值相等，分別在兩個(gè)直角三角形中構(gòu)造線段等比例關(guān)系，以m表示各線段長(zhǎng)度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分別作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即為兩個(gè)三角形的高，因?yàn)榈譖Q相同，所以兩三角形面積比等于OM與AN的比，延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)D，則，得到三角形相似，繼而得到OM與AN的比等于OD與AD的比，從而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镻QCH，先求出CH表達(dá)式為，則可將PQ的表達(dá)式設(shè)為形式，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出表達(dá)式．
(1)
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，
∴設(shè)，
∴，
解得：，
∴，
∴拋物線的表達(dá)式為．
(2)
分別過(guò)點(diǎn)C作，軸，垂足為點(diǎn)G、F，
設(shè)，
則：，，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=1是方程的解，
則，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為．
(3)
延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)D．分別過(guò)點(diǎn)O、A作直線PQ的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)H坐標(biāo)為，
∴設(shè)直線CH的表達(dá)式為，將C、H坐標(biāo)代入得 ，
解得，
∴直線CH表達(dá)式為：，
①當(dāng)、在直線PQ的兩側(cè)時(shí)，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為．
又∵，
∴設(shè)直線PQ的表達(dá)式為，
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解得，
∴PQ表達(dá)式為；
②當(dāng)、在直線PQ的同側(cè)時(shí)，
∵，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∴，
∴此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴設(shè)直線PQ的表達(dá)式為，
將代入解得，
∴直線PQ的表達(dá)式為
綜上所述，滿足條件的直線PQ的表達(dá)式為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需熟練掌握二次函數(shù)數(shù)形結(jié)合的綜合應(yīng)用．
3．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過(guò)A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）①1；②點(diǎn)C的坐標(biāo)是
【分析】(1)將兩點(diǎn)分別代入，得,解方程組即可;
（2）①根據(jù)AB=4,斜邊上的高為2,Q的橫坐標(biāo)為1,計(jì)算點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直線PQ的解析式，設(shè)點(diǎn)A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可.
【詳解】解：（1）將兩點(diǎn)分別代入，得
解得．
所以拋物線的解析式是．
（2）①如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1．
②如圖3，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由，得
解得
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴，
所以．
所以．
將點(diǎn)代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（與點(diǎn)P重合，舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE＝x．
（1）當(dāng)AM＝時(shí)，求x的值；
（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出該定值；
（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值．
【答案】（1）x＝；（2）不變，△MDP的周長(zhǎng)為2；（3），當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，面積的最小值為
【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)得ME＝BE＝x，則AE＝1－x，在根據(jù)勾股定理列式求出x的值；
（2）連接AM、BO，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MN，垂足為H，證明△BAM≌△BHM和Rt△BHP≌Rt△BCP，可以得到△PDM的周長(zhǎng)就等于AD＋DC，是定值；
（3）連接BM，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，證明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，設(shè)AM＝a，根據(jù)勾股定理列式得到a與x的關(guān)系式，表示出CF和BE長(zhǎng)，得到三角形面積表達(dá)式，再求出最值．
【詳解】（1）由折疊可知ME＝BE＝x，
∴AE＝1－x，
在Rt△AEM中，由AM＝，得，
解得x＝；
（2）如圖，連接AM、BO，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MN，垂足為H，
∵EB＝EM，
∴∠EBM＝∠EMB，
∵∠EBC＝∠EMN，
∴∠MBC＝∠BMN，
∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，
∴△BAM≌△BHM，
∴AM＝HM，BH＝AB，
∵BC＝AB，
∴BH＝BC，
∵BP＝BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BCP，
∴HP＝PC，
∴△MDP的周長(zhǎng)＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，
∴△MDP的周長(zhǎng)為2；
（3）如圖，連接BM，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，
則QF＝BC＝AB，
∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，
∴∠BEF＝∠AMB，
∵∠A＝∠EQF，
∴△AMB≌△QEF，
∴AM＝EQ，
設(shè)AM＝a，則，
∴a＝，
∴CF＝x－，
∴S＝(CF＋BE)×1
＝( x－＋x)
＝(2 x－) ，
設(shè)＝t，則，
，
∴當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，面積的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，折疊性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)最值的求解，需要掌握數(shù)形結(jié)合的思想．
5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；
（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣；（3）(1，﹣)或(1，﹣4)
【分析】（1）當(dāng)y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直線l：y＝kx+b過(guò)A（﹣1，0）可得k＝b，即得直線l：y＝kx+k，聯(lián)立拋物線與直線I的解析式為方程組，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，利用根與系數(shù)關(guān)系可得﹣3﹣＝﹣1×4，求出k＝a，即得直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a；
（2）如圖1，過(guò)E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），從而得出EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面積公式，可得S△ACE的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)論．
（3）分兩種情況討論，①如圖2，若AD是矩形ADPQ的一條邊，②如圖3，若AD是矩形APDQ的對(duì)角線，據(jù)此分別解答即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），
∵直線l：y＝kx+b過(guò)A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直線l：y＝kx+k，
∵拋物線與直線l交于點(diǎn)A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a
（2）解：如圖1，過(guò)E作EF∥y軸交直線l于F，
設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
則F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面積的最大值═a，
∵△ACE的面積的最大值為，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣；
（3）解：以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
設(shè)P（1，m），
①如圖2，若AD是矩形ADPQ的一條邊，
則易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣
∴P（1，﹣）；
②如圖3，若AD是矩形APDQ的對(duì)角線，
則易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝18a，則P（1，8a），
∵四邊形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣4），
綜上所述，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD、CD．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）已知M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△MBC是以BC為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）
【分析】（1）拋物線解析式為y＝a（x＋1）（x?3）＝a（x2?2x?3），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入即可求解；
（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解；
（3）分MC是斜邊、MB是斜邊兩種情況，分別求解即可．
【詳解】解：（1）拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2?2x?3），
將點(diǎn)C坐標(biāo)代入,得
-3a＝3，解得：a＝-1，
拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
∵直線BC過(guò)點(diǎn)B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值；
（3）拋物線y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為直線x=1
設(shè)點(diǎn)M（1，m），
則MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①當(dāng)MC是斜邊時(shí)，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②當(dāng)MB是斜邊時(shí)，
同理可得：m＝4，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，﹣2），（1，4）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
7．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、射線上，且，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以、為鄰邊作平行四邊形，設(shè)，平行四邊形的面積為．
（1）當(dāng)平行四邊形為矩形時(shí)，求的正切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線經(jīng)過(guò)平行四邊形一邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出的值．
【答案】（1）；（2）；（3），．
【分析】（1）當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí)，PQ∥AB．根據(jù)tan∠PQM＝求解即可．
（2）如圖1中，延長(zhǎng)QN交AB于K．求出MK，PM，根據(jù)y＝PM?MK求解即可．
（3）分兩種情形：①如圖3?1中，當(dāng)平分MN時(shí)，D為MN的中點(diǎn)，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H，EG⊥BC于G．根據(jù)EG＝PC構(gòu)建方程求解．②如圖3?2中，當(dāng)平分NQ時(shí)，D是NQ的中點(diǎn)，作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H．根據(jù)PC＝GH構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí)，PQ∥AB．
∴tan∠PQM＝＝．
（2）如圖1中，延長(zhǎng)QN交AB于K．
∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，AB=10
∴sinA=csB==,csA=sinB=，
由，得BQ＝6?x，QN＝PM＝APsinA=x，AM＝APcsA=x，KQ＝BQsinB=BQ＝，BK＝BQcsB=BQ＝，
∴MK＝AB?AM?BK＝，
∵QN＜QK，
∴x＜，
∴x＜，
∴y＝PM?MK＝x×=（0≤x＜）．
（3）①如圖3?1中，當(dāng)平分MN時(shí)，D為MN的中點(diǎn)，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H，EG⊥BC于G．
∵PD∥BC，EN∥BC，
∴PD∥NE，
∵PE∥DN，
∴四邊形PDNE是平行四邊形，
∴PE＝DN，
∵DN＝DM，PQ＝MN，
∴PE＝EQ，
∵EG∥PC，
∴CG＝GQ，
∴EG＝PC，
∵四邊形EGHN是矩形，
∵
∴QN⊥AB
則∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90°
∴∠ABC=∠QNH
∴NH＝EG＝NQcs∠QNH= NQcs∠ABC =NQ＝PM＝×x =x，PC＝8?x，
∴x＝?（8?x），
解得x＝．
②如圖3?2中，當(dāng)平分NQ時(shí)，D是NQ的中點(diǎn)，作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H．
∵DH＝PC，
∴8?x＝?x，
解得x＝，
綜上所述，滿足條件x的值為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
8．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3），拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn).
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）.
①當(dāng)為何值時(shí)，得面積最??？
②是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）① ；②
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出b，c的值，求得拋物線的解析式；
（2）①過(guò)點(diǎn)Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，將三角形的面積用含t的式子表示出來(lái)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值；②由于三角形直角的位置不確定，需分情況討論，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式用勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）由題意知：A(0,3),C(4,0)，
∵拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴，解得，，
∴拋物線的表達(dá)式為：．
(2)① ∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；
由，可得，∴D（2,3）．
過(guò)點(diǎn)Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，
∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，
∴△QFA∽△CBA．
∴，
∴．
同理：△CGP∽△CBA，
∴∴，∴，
當(dāng)時(shí)，△DPQ的面積最小.最小值為．
② 由圖像可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3)，AC=5,直線AC的解析式為：．
三角形直角的位置不確定，需分情況討論：
當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理可得出：
，
整理，解方程即可得解；
當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的位置，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C的位置，所需時(shí)間為t=3；
當(dāng)時(shí),同理用勾股定理得出：
；
整理求解可得t的值．
由此可得出t的值為：,,,,．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)與幾何圖形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
9．（2022·上海浦東新·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2x+c與直線y=﹣x+3分別交于x軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD交x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求tan∠BCD；
（3）點(diǎn)P在直線BC上，若∠PEB=∠BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）D（4，﹣1）；（2）；（3）點(diǎn)P（，）或（12，﹣3）．
【詳解】分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EC，BF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（3）分別利用①點(diǎn)P在x軸上方，②點(diǎn)P在x軸下方，分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
詳解：（1）由題意得B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2-2x+c
得，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x2-2x+3
=（x2-8x）+3
=（x-4）2-1，
∴D（4，-1）；
（2）可得點(diǎn)E（3，0），
OE=OC=3，∠OEC=45°，
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F
在Rt△OEC中，EC=，
在Rt△BEF中，BF=BE?sin∠BEF=，
同理，EF=，
∴CF=+=，
在Rt△CBF中，tan∠BCD=；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，?m+3）
∵∠PEB=∠BCD，
∴tan∠PEB=tan∠BCD=，
①點(diǎn)P在x軸上方
∴，
解得：m＝，
∴點(diǎn)P（，），
②點(diǎn)P在x軸下方
∴，
解得：m=12，
∴點(diǎn)P（12，-3），
綜上所述，點(diǎn)P（，）或（12，-3）．
點(diǎn)睛：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，正確分類討論是解題關(guān)鍵．
題型三：拱橋問(wèn)題
一、單選題
1．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB寬為20米，拱橋的最高點(diǎn)O到水面AB的距離為4米．如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，那么CD寬為（ ）
A．4米B．10米C．4米D．12米
【答案】B
【分析】以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線為y軸，過(guò)O點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函數(shù)解析式為y＝﹣ x2，再將y＝﹣1代入解析式，求出C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求CD的長(zhǎng)．
【詳解】解：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線為y軸，過(guò)O點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，
∵O點(diǎn)到水面AB的距離為4米，
∴A、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，
∵水面AB寬為20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
將A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，找對(duì)位置建立坐標(biāo)系再求解二次函數(shù)是關(guān)鍵．
二、解答題
2．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，有一拱橋的橋拱是圓弧形，已知橋拱的水面跨度AB（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為8米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為2米．
（1）求橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)；
（2）如果水面AB上升到EF時(shí)，從點(diǎn)E測(cè)得橋頂D的仰角為α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
【答案】（1）橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米；（2）水面上升的高度為1米
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D是 中點(diǎn)， 知C為AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半徑．
（2） 設(shè)OD與EF相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，進(jìn)而找出EG＝3DG，設(shè)水面上升的高度為x米，即CG＝x，則DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根據(jù)勾股定理求出x即可．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)D是 中點(diǎn)，，
∴AC＝BC，DC經(jīng)過(guò)圓心，
設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
聯(lián)結(jié)OA，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米．
（2）設(shè)OD與EF相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中， ，
∴EG＝3DG，
設(shè)水面上升的高度為x米，即CG＝x，則DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化簡(jiǎn)得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度為1米．
【點(diǎn)睛】此題是關(guān)于圓的綜合性試題，包含的知識(shí)點(diǎn)有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定難度．
3．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）校園景觀設(shè)計(jì)：如圖1，學(xué)校計(jì)劃在流經(jīng)校園的小河上建造一座橋孔為拋物線的小橋，橋孔的跨徑為8m，拱高為6m．
(1)把該橋孔看作一個(gè)二次函數(shù)的圖像，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)施工時(shí)，工人師傅先要制作如圖2的橋孔模型，圖中每個(gè)立柱之間距離相等，請(qǐng)你計(jì)算模型中左側(cè)第二根立柱（AB）的高．
【答案】(1)（建系的方式不同，則答案不定）
(2)
【分析】（1）以橋孔正上方中心為原點(diǎn)O，過(guò)原點(diǎn)的水平線為x軸，過(guò)原點(diǎn)的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)橋孔的跨徑為8m，拱高6m，可知二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)(-4,-6)和(4,-6)兩個(gè)點(diǎn)，代入坐標(biāo)即可求解，
（2）根據(jù)每根立柱的間距相等，由圖可知B點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-6)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)相等也為-2，將x=-2代入表達(dá)式，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，則AB可得．
（1）
以橋孔正上方中心為原點(diǎn)O，過(guò)原點(diǎn)的水平線為x軸，過(guò)原點(diǎn)的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，
根據(jù)橋孔的跨徑為8m，拱高6m，可知二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)(-4,-6)和(4,-6)兩個(gè)點(diǎn)，
將(-4,-6)代入，有-6=16a，
解得：，
即這個(gè)二次函數(shù)的解析式為；
（2）
根據(jù)每根立柱的間距相等，由圖可知B點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-6)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)相等也為-2，
即將x=-2代入得，即A點(diǎn)坐標(biāo)為：，
即，
即模型中左側(cè)第二根立柱AB的高度為．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．
題型四：銷售問(wèn)題
一、填空題
1．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）某品牌裙子，平均每天可以售出20條，每條盈利40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果該品牌每條裙子每降價(jià)1元，那么平均每天可以多售出2條，那么當(dāng)裙子降價(jià)_________元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)__________
【答案】 15 1250
【分析】設(shè)裙子降價(jià)x元，利潤(rùn)為w元，然后由題意可得，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：設(shè)裙子降價(jià)x元，利潤(rùn)為w元，由題意得：
，
∴-2＜0，開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為1250，
∴當(dāng)裙子降價(jià)15元，可獲得最大利潤(rùn)為1250元；
故答案為15，1250．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
二、解答題
2．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）某超市從廠家購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的水杯，兩次購(gòu)進(jìn)水杯的情況如表：
(1)求A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是多少元？
(2)在銷售過(guò)程中，A型水杯因?yàn)槲锩纼r(jià)廉而更受消費(fèi)者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對(duì)B型水杯進(jìn)行降價(jià)銷售，當(dāng)銷售價(jià)為44元時(shí)，每天可以售出20個(gè)，每降價(jià)1元，每天將多售出5個(gè)，請(qǐng)問(wèn)超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)多少元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)A型號(hào)進(jìn)價(jià)20元，B型號(hào)的進(jìn)價(jià)30元
(2)降價(jià)5元時(shí)，最大利潤(rùn)為405元
【分析】（1）設(shè)A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是x元、y元，根據(jù)題意列出方程組即可完成；
（2）設(shè)B型水杯降價(jià)x元，每天銷售的B型水杯的利潤(rùn)為w元，則可得w關(guān)于x的二次函數(shù)，即可求得結(jié)果．
（1）
解：設(shè)A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是x元、y元
由題意得方程組：
化簡(jiǎn)得：
解方程組得：
即A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是20元、30元.
（2）
解：設(shè)B型水杯降價(jià)x元，每天銷售的B型水杯的利潤(rùn)為w元，則每天多售出5x個(gè)，每天的銷售量為(20+5x)個(gè)，每個(gè)水杯的售價(jià)為(44-x)元
由題意得：
整理得：
當(dāng)x=5時(shí)，w最大，且最大值為405
即超市將B型水杯降價(jià)5元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是405元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系列出方程及函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）某電動(dòng)機(jī)加工廠以400元/個(gè)的價(jià)格新接了一批電動(dòng)機(jī)加工業(yè)務(wù)．根據(jù)工廠以往的制造能力，該工廠每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量為x（個(gè)）(200≤x≤500)，且每個(gè)電動(dòng)機(jī)的制造成本y(元)與每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知該工廠每天各項(xiàng)消耗的費(fèi)用是2萬(wàn)元，每天的利潤(rùn)為w元，請(qǐng)求出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)x為多少時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)是多少．
【答案】（1）y=-x+500；（2）w=(x-100)2-25000；當(dāng)x=500時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)為55000元．
【分析】（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，把(200，400)，(500，250)分別代入即可求解；
（2）根據(jù)題意可求得w與x的函數(shù)關(guān)系式：w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20000=(x-100)2-25 000，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x>100時(shí)，w隨x的增大而增大，再結(jié)合200≤x≤500，可知當(dāng)x=500時(shí)，w取得最大值，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)y=kx+b，
將(200，400)，(500，250)分別代入，
得，
解得，
故y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+500；
(2)根據(jù)題意，得w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20 000=(x-100)2-25 000，
∵>0，
∴當(dāng)x>100時(shí)，w隨x的增大而增大，
又∵200≤x≤500，
∴當(dāng)x=500時(shí)，w取得最大值，最大值為×(500-100)2-25000=55000，
答：當(dāng)x=500時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)為55000元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種新商品在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤(rùn)為10元時(shí)，每天可銷售70件；當(dāng)每件商品每漲價(jià)1元，日銷售量就減少1件，但每天的銷售量不得低于35件．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答下列問(wèn)題．
（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利_________元，商品每天可銷售______件；
（2）在商品銷售正常的情況下，每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利為1500元？
（3）若商場(chǎng)的每天盈利能達(dá)到最大，請(qǐng)直接寫出每天的最大盈利為______________．
【答案】（1），；（2）20；（3）1600
【分析】（1）用售價(jià)減去進(jìn)價(jià)即可求得每件利潤(rùn)；銷售量等于原來(lái)銷售量減去減少的銷售量即可；
（2）利用總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量列出方程求解即可；
（3）配方后即可確定最大利潤(rùn)；
【詳解】解：（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利（10+x）元，商品每天可銷售（70-x）件；
（2）根據(jù)題意得：（10+x）（70-x）=1500，
解得：x=20或x=40（不合題意，舍去），
答：每件商品漲20元時(shí)商場(chǎng)每天盈利可達(dá)1500元．
（3）設(shè)總利潤(rùn)為w元，則w=（10+x）（70-x）=-（x-30）2+1600，
∴總利潤(rùn)的最大值為1600元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意列出方程或二次函數(shù)，滲透了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想．
5．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）某淘寶店購(gòu)進(jìn)蘋果若干箱，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于80元/箱，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)定為80元/箱時(shí)，每日銷售20箱；如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元/箱，每日可多銷售2箱．
（1）已知某天售出蘋果70箱，則當(dāng)天的銷售單價(jià)為________元/箱；
（2）該淘寶店現(xiàn)有員工2名，每天支付員工的工資為每人每天100元，每天平均支付運(yùn)費(fèi)及其它費(fèi)用250元，當(dāng)某天的銷售價(jià)為45元/箱時(shí)，收支恰好平衡．
①求蘋果的進(jìn)價(jià)；
②若淘寶店每天的純利潤(rùn)（收入—支出）全部用來(lái)償還一筆15000元的借款，則至少需多少天才能還清借款．
【答案】（1）55；（2）①蘋果的進(jìn)價(jià)為40元/箱；②淘寶店至少需19天才能還清借款.
【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)定為元/箱時(shí)，每日銷售20箱；如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元/箱，每日可多銷售2箱，一共增加了箱，降了元，從而可得某天售出該蘋果箱的銷售單價(jià)為元；
（2）①根據(jù)該淘寶店現(xiàn)有員工2名，每天支付員工的工資為每人每天元，每天平均支付運(yùn)費(fèi)及其它費(fèi)用250元，當(dāng)某天的銷售價(jià)為為45元/箱時(shí)，收支恰好平衡，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得蘋果的進(jìn)價(jià)； ②根據(jù)題意可以求得每天的最大利潤(rùn)，從而可以求得少需多少天才能還清借款．
【詳解】解：（1）某天售出蘋果70箱，則當(dāng)天的銷售單價(jià)為元，
故答案為：55；
（2）①設(shè)蘋果的進(jìn)價(jià)為元/箱，
當(dāng)銷售價(jià)為45元/箱時(shí)，當(dāng)天的銷量為：（箱），
則，
解得，，
即蘋果的進(jìn)價(jià)為40元/箱；
②設(shè)淘寶店某天的銷售單價(jià)為元/箱，每天的收入為元，
則，
∴當(dāng)時(shí)，淘寶店每天的收入最多，最多收入1250元，
設(shè)淘寶店需要天還清借款，
，
解得，，
∵為整數(shù)，
∴.
即淘寶店至少需19天才能還清借款．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
6．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）某企業(yè)接到了一批零件加工任務(wù)，要求在20天內(nèi)完成，這批零件的出廠價(jià)為每個(gè)6元，為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人．6天的培訓(xùn)期內(nèi)，新工人小李第天能加工個(gè)零件；培訓(xùn)后小李第天加工的零件數(shù)量為個(gè)．
（1）小李第幾天加工零件數(shù)量為650個(gè)？
（2）如圖，設(shè)第天每個(gè)零件的加工成本是元，與之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來(lái)刻畫．若小李第天創(chuàng)造的利潤(rùn)為元，求與的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)出廠價(jià)成本價(jià)）
【答案】（1）小李第9天加工零件數(shù)量為650個(gè)；（2）時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；第12天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是640元．
【分析】（1）設(shè)小李第天加工零件數(shù)量為650個(gè)，根據(jù)題意列方程，解方程即可求得；
（2）先根據(jù)圖象求得成本P與x之間的關(guān)系式，再根據(jù)利潤(rùn)等于出廠價(jià)減去成本價(jià)，整理即可得到w與x之間的函數(shù)表達(dá)式； 再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性分別求出w的最大值，比較即可．
【詳解】解：（1）設(shè)小李第天加工零件數(shù)量為650個(gè)，
由題意可知：，解得．
答：小李第9天加工零件數(shù)量為650個(gè)．
（2）由圖象得，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
把點(diǎn)，代入得，
，解得，
所以．
①時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，（元）；
②時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，（元）；
③時(shí)，，
∵，是整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，（元）
綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為640．
答：第12天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是640元．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問(wèn)題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式．
題型五：投球問(wèn)題
一、填空題
1．（2020·上海市回民中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果他的出手處A距地面的距離OA為1m，球路的最高點(diǎn)B(8，9)，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為______，小孩將球拋出了約______米(精確到0.1m).
【答案】，16.5
【詳解】分析：設(shè)出函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式，把點(diǎn)A代入求得解析式，進(jìn)一步求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答．
解答：解：如圖，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，9），圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-8）2+9，
把點(diǎn)A代入解析式得a=-，
因此這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=-（x-8）2+9．
當(dāng)y=0時(shí)，-x2+2x+1=0，
解得x1≈16.5，x2=-0.5（不合題意，舍去）；
因此小孩將球拋出了約16.5米．
故填y=-（x-8）2+9、16.5．
2．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．
【答案】10
【分析】成績(jī)就是當(dāng)高度y=0時(shí)x的值，所以解方程可求解．
【詳解】解：當(dāng)y=0時(shí)，，
解得：（不合題意，舍去），
所以推鉛球的距離是10米；
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，滲透了函數(shù)與方程相結(jié)合的解題思想方法．
二、解答題
3．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）某校九年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高m，與籃圈中心的水平距離為7m，當(dāng)球出手后水平距離為4m時(shí)到達(dá)最大高度4m，設(shè)籃球運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線，籃圈距地面3m．建立如圖所示的平面坐標(biāo)系，求拋物線的解析式并判斷此球能否準(zhǔn)確投中？
【答案】，能
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及球出手時(shí)的坐標(biāo)，可確定拋物線的解析式，令x＝7，求出y的值，與3m比較即可作出判斷．
【詳解】解：由題意得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），
求出手時(shí)的坐標(biāo)為（0，），
設(shè)拋物線解析式為，
將點(diǎn)（0，）代入可得：，
解得：，
則拋物線的解析式為，
當(dāng)x=7時(shí)，，
∵3m=3m，
∴此球能準(zhǔn)確投入．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，注意建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
4．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）一小球從斜坡上的點(diǎn)處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．若小球到達(dá)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式（不寫自變量的取值范圍）；
(2)小球在斜坡上的落點(diǎn)的垂直高度為________米；
(3)若要在斜坡上的點(diǎn)處豎直立一個(gè)高4米的廣告牌，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，請(qǐng)判斷小球能否飛過(guò)這個(gè)廣告牌？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；
(4)求小球在飛行的過(guò)程中離斜坡的最大高度．
【答案】(1)拋物線的解析式為（或）
(2)
(3)能，理由見解析
(4)
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為，再將點(diǎn)代入即可得；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將其代入拋物線的解析式求出的值即可；
（3）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)值，由此即可得出答案；
（4）設(shè)小球在飛行的過(guò)程中離斜坡的高度為米，先根據(jù)拋物線和一次函數(shù)的解析式可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
（1）
解：由題意，設(shè)拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為（或）．
（2）
解：點(diǎn)在一次函數(shù)上，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得：，
解得或（不符題意，舍去），
即小球在斜坡上的落點(diǎn)的垂直高度為米，
故答案為：．
（3）
解：能，理由如下：
對(duì)于一次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，
對(duì)于拋物線，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以小球能飛過(guò)這個(gè)廣告牌．
（4）
解：設(shè)小球在飛行的過(guò)程中離斜坡的高度為米，
則，
整理得：，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
答：小球在飛行的過(guò)程中離斜坡的最大高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
題型六：噴水問(wèn)題
一、單選題
1．（2020·上海楊浦·一模）廣場(chǎng)上水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的高度y（米）關(guān)于水珠和噴頭的水平距離（米）的函數(shù)解析式是，那么水珠的高度達(dá)到最大時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是（ ）
A．1米B．2米C．5米D．6米
【答案】B
【分析】先把函數(shù)關(guān)系式配方，即可求出函數(shù)取最大值時(shí)自變量的值．
【詳解】解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，
∴水珠的高度達(dá)到最大時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是2．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是把二次函數(shù)變形，求出當(dāng)函數(shù)取最大值時(shí)自變量的值，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．
2．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖，一個(gè)移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長(zhǎng)度）是1米．當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時(shí)，達(dá)到最大高度1.8米，水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
【答案】A
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式求得拋物線解析式，進(jìn)而求得與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．
【詳解】解：∵噴水頭的高度（即的長(zhǎng)度）是1米．當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時(shí)，達(dá)到最大高度1.8米，
設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，得
解得
∴拋物線解析式為
令，解得（負(fù)值舍去）
即，
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵．
二、解答題
3．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入即可求解；
（2）將代入（1）的解析式，求得的值，進(jìn)而求與點(diǎn)的距離即可求解．
（1）
解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得，
拋物線的解析式為，
（2）
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，
當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）廣場(chǎng)上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上的水珠高度（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平距離（米）的函數(shù)解析式是：，請(qǐng)求出當(dāng)水珠的高度達(dá)到最大時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是多少？最大高度是多少？
【答案】2米；6米．
【分析】根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，用配方法求出當(dāng)x等于何值時(shí)函數(shù)有最大值以及最大值是多少．
【詳解】解：由題意得，，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
答：當(dāng)水珠的高度達(dá)到最大時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是2米，最大高度是6米．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握求二次函數(shù)最值的方法．
題型七：增長(zhǎng)率問(wèn)題
一、填空題
1．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬(wàn)噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為萬(wàn)噸，如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式為_________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得2020年的蔬菜產(chǎn)量為，2021年的蔬菜產(chǎn)量為，2021年的蔬菜產(chǎn)量為y萬(wàn)噸，由此即可得．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：2020年的蔬菜產(chǎn)量為，
2021年的蔬菜產(chǎn)量為，
∴，
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
2．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）某廠七月份的產(chǎn)值是10萬(wàn)元，設(shè)第三季度每個(gè)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率相同，都為x（x＞0），九月份的產(chǎn)值為y萬(wàn)元，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_______．（不要求寫定義域）
【答案】y＝10(1+x)2
【分析】利用該廠九月份的產(chǎn)值=該廠七月份的產(chǎn)值×（1+增長(zhǎng)率）2，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵該廠七月份的產(chǎn)值是10萬(wàn)元，且第三季度每個(gè)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率相同，均為x，
∴該廠八月份的產(chǎn)值是10（1+x）萬(wàn)元，九月份的產(chǎn)值是10（1+x）2萬(wàn)元，
∴y＝10（1+x）2．
故答案為：y＝10（1+x）2．
【點(diǎn)睛】本題考查了由根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）某商場(chǎng)四月份的營(yíng)業(yè)額是200萬(wàn)元，如果該商場(chǎng)第二季度每個(gè)月營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，都為，六月份的營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，那么關(guān)于的函數(shù)解式是______．
【答案】或
【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出五月份的營(yíng)業(yè)額，再根據(jù)題意表示出六月份的營(yíng)業(yè)額，即可列出方程求解．
【詳解】解：設(shè)增長(zhǎng)率為x，則
五月份的營(yíng)業(yè)額為：，
六月份的營(yíng)業(yè)額為：；
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中增長(zhǎng)率問(wèn)題，若原來(lái)的數(shù)量為a，平均每次增長(zhǎng)或降低的百分率為x，經(jīng)過(guò)第一次調(diào)整，就調(diào)整到a×（1±x），再經(jīng)過(guò)第二次調(diào)整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增長(zhǎng)用“+”，下降用“”．
題型八：其他問(wèn)題
一、單選題
1．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）（0°＜x≤90°）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用節(jié)能燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o的旋轉(zhuǎn)角度約為（ ）
A．33°B．36°C．42°D．49°
【答案】C
【分析】據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以確定出對(duì)稱x的取值范圍，從而可以解答本題．
【詳解】解：由圖象可知，物線開口向上，
該函數(shù)的對(duì)稱軸x＞且x＜54，
∴36＜x＜54，
即對(duì)稱軸位于直線x＝36與直線x＝54之間且靠近直線x＝36，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
二、填空題
2．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）一人乘雪橇沿坡角為30°的斜坡筆直滑下，滑下的距離S（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系式為S=10t+t2，若滑坡底的時(shí)間為2秒，則此人下滑的高度為________
【答案】12米
【分析】由S=10t+t2可求得滑下的距離S，結(jié)合坡角為30°，通過(guò)三角函數(shù)計(jì)算從而得到答案．
【詳解】∵S=10t+t2且
∴S=20+4=24
∵坡角為30°且sin30°=
∴此人下滑的高度為
故答案為：12米．
【點(diǎn)睛】本題考察了一元二次函數(shù)和三角函數(shù)的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，熟練掌握并運(yùn)用一元二次函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．
三、解答題
3．（2018·上海普陀·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+2ax+c（其中a、c為常數(shù)，且a＜0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，此拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果點(diǎn)P是x軸上的一點(diǎn)，且∠ABP＝∠CAO，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，0）
【分析】(1) 先求得拋物線的對(duì)稱軸方程, 然后再求得點(diǎn)C的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）2+4,將點(diǎn) (-3, 0) 代入求得a的值即可;
(2) 先求得A、 B、 C的坐標(biāo), 然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得到BC、AB,AC的長(zhǎng),然后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°,最后,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可;
(3) 連接BC,可證得△AOB是等腰直角三角形，△ACB∽△BPO，可得代入個(gè)數(shù)據(jù)可得OP的值，可得P點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解：（1）由題意得，拋物線y＝ax2+2ax+c的對(duì)稱軸是直線，
∵a＜0，拋物線開口向下，又與x軸有交點(diǎn)，
∴拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的上方，
由于拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4，因此頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣1，4）．
可設(shè)此拋物線的表達(dá)式是y＝a（x+1）2+4，
由于此拋物線與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），可得a＝﹣1．
因此，拋物線的表達(dá)式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如圖1，
點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3）．連接BC．
∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20，
得AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，
所以tan∠CAB=．
即∠CAB的正切值等于．
（3）如圖2，連接BC，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAP＝∠ABO＝45°，
∵∠CAO＝∠ABP，
∴∠CAB＝∠OBP，
∵∠ABC＝∠BOP＝90°，
∴△ACB∽△BPO，
∴，
∴，OP＝1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，0）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，綜合性大.
4．（2020·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，2），它的頂點(diǎn)為D（1，m），且tan∠COD＝．
（1）求m的值及拋物線的表達(dá)式；
（2）將此拋物線向上平移后與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB．若點(diǎn)A是由原拋物線上的點(diǎn)E平移所得，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)（位于x軸上方），且∠APB＝45°．求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）（2）E（3,-1）（3）
【分析】（1）作DH⊥y軸,根據(jù)，求出m的值，再根據(jù)對(duì)稱軸是x＝1，和C,D兩點(diǎn)求出拋物線的表達(dá)式即可；
（2）設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，然后得出OA＝OB,得出B（0,2＋k），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2＋k,0），然后代入求出k的值即可；
（3）設(shè)P（1,y），設(shè)對(duì)稱軸與AB的交點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為H，則H（1,0），由（2）得出A,B的坐標(biāo)，然后得出△BMP∽△BPA，然后根據(jù)
【詳解】解：（1）作DH⊥y軸，垂足為H，∵D（1,m）（），∴DH＝ m，HO＝1.
∵，∴，∴m＝3.
∴拋物線的頂點(diǎn)為D（1,3）.
又∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,2），
∴（2∴∴拋物線的表達(dá)式為.
（2）∵將此拋物線向上平移，
∴設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為.
則它與y軸交點(diǎn)B（0,2＋k）.
∵平移后的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，且OA＝OB，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2＋k,0）.
∴.∴.
∵，∴.
∴A（3,0），拋物線向上平移了1個(gè)單位.
∵點(diǎn)A由點(diǎn)E向上平移了1個(gè)單位所得，∴E（3,－1）.
（3）由（2）得A（3,0），B（0, 3），∴.
∵點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)（位于x軸上方），且∠APB＝45°,原頂點(diǎn)D（1,3）,
∴設(shè)P（1,y），設(shè)對(duì)稱軸與AB的交點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)為H，則H（1,0）.
∵A（3,0），B（0, 3），∴∠OAB＝45°, ∴∠AMH＝45°.
∴M（1,2）. ∴.
∵∠BMP＝∠AMH, ∴∠BMP＝45°.
∵∠APB＝45°, ∴∠BMP＝∠APB.
∵∠B＝∠B，∴△BMP∽△BPA.
∴.∴
∴.∴（舍）.
∴
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，且OB＝3OA，與y軸交于點(diǎn)C，此拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)E是y軸上的一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），當(dāng)BE⊥DE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)F是拋物線上的一點(diǎn)．且∠FBD＝135°，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】（1）D(1,-4)；（2）E（0，1）；（3）（-4，21）.
【分析】（1）根據(jù)已知得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將A,B坐標(biāo)代入拋物線解析式，進(jìn)而確定出拋物線的解析式.再根據(jù)解析式求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
（2）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理，BE2＋DE2＝BD2，解出t的值，從而得到E點(diǎn)坐標(biāo).
（3）構(gòu)造三角形，求出直線BF的方程式，再由方程式和拋物線解析式求解得點(diǎn)F 的坐標(biāo).
【詳解】⑴ ，
∴D（1，－4）；
⑵ 設(shè)E（0，t）,
則,
∴E(0,－1)；
⑶ 又⑵得∠BCD＝90°,
∴△BCD≌△BEG,EG＝CD＝,BE＝BC＝,
∠DBG＝135°,
∴G(,),
又B（3，0），
∴BF:，
∴.
故答案為（1）D(1，－4)；（2）E（0，1）；（3）（－4，21）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的相關(guān)原理及其應(yīng)用，掌握該原理是解答本題的關(guān)鍵.
6．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，拋物線與軸交于點(diǎn)A(-2，0)和點(diǎn)B(4，0) ．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)C在線段OB上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥軸，垂足為點(diǎn)C，交拋物線與點(diǎn)D，E是BD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE并延長(zhǎng)，與軸交于點(diǎn)F．
①當(dāng)D恰好是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②聯(lián)結(jié)BF，當(dāng)△DBC的面積是△BCF面積的時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】(1) ,x=1;(2)①F的坐標(biāo)是（0，）；②C坐標(biāo)是.
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解；
（2）①求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出DC、OC、BC長(zhǎng)度，在Rt△DCB和Rt△OFC中，利用三角函數(shù)求出OF值即可；
②通過(guò)面積比找到DC與OF比值，證明△DCB∽△FOC，借助比例式求解OB，從而得到OC長(zhǎng)．
【詳解】（1）由題意得，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)和點(diǎn)B(4，0)，
代入得 解得
因此，這條拋物線的表達(dá)式是.
它的對(duì)稱軸是直線.
（2）①由拋物線的表達(dá)式，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，）.
∴.
∵D是拋物線頂點(diǎn)，CD⊥軸，E是BD中點(diǎn)，∴. ∴.
∵，∴.
在Rt△中，，．
在Rt△中，，．
∴，．∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（0，）．
②∵，， ∴．
∵△DBC的面積是△BCF面積的， ∴．
由①得，又，
∴△∽△．∴．
又OB=4，∴，∴．即點(diǎn)C坐標(biāo)是.
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與x軸交點(diǎn)、二次函數(shù)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
7．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，其中.
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的夾角為15o，求線段CD的長(zhǎng)度；
（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1），；（2）CD=或；（3）的坐標(biāo)為或或或.
【分析】（1）將A、C坐標(biāo)代入拋物線，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;
（2）求出直線BC的解析式為，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別以B、C、P為直角頂點(diǎn)，進(jìn)行分類討論，再運(yùn)用勾股定理得到方程式進(jìn)行求解.
【詳解】解：（1）根據(jù)對(duì)稱軸x=-1,A（1,0），得出B為(-3,0)
依題意得：，解之得：，
∴拋物線的解析式為.
（2）∵對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過(guò)，∴
∴直線BC的解析式為. ∠CBA=45°
∵直線BD和直線BC的夾角為15o， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°
在△BOD，，BO=3
∴DO=或，∴CD=或.
（3）設(shè)，又，，
∴，，，
①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，
②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，
③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：
，.
綜上所述的坐標(biāo)為或或或.
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
8．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x2-4x-5，與y軸的交點(diǎn)為P，與x軸交于A、B兩點(diǎn)．（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）
（1）當(dāng)y=0時(shí)，求x的值．
（2）點(diǎn)M（6，m）在二次函數(shù)y=x2-4x-5的圖像上，設(shè)直線MP與x軸交于點(diǎn)C，求ct∠MCB的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）當(dāng)y=0，則x2-4x-5=0，解方程即可得到x的值.
(2) 由題意易求M，P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出MP的直線方程，可得ct∠MCB.
【詳解】（1）把代入函數(shù)解析式得，
即，
解得：，.
（2）把代入得，即得，
∵二次函數(shù)，與軸的交點(diǎn)為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為.
設(shè)直線的解析式為，代入，得解得，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
在中,又∵
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì).
進(jìn)貨批次
A型水杯（個(gè)）
B型水杯（個(gè)）
總費(fèi)用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000

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