一、解答題
1．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）某淘寶店購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果若干箱，物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不高于80元/箱，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)定為80元/箱時(shí)，每日銷(xiāo)售20箱；如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元/箱，每日可多銷(xiāo)售2箱．
（1）已知某天售出蘋(píng)果70箱，則當(dāng)天的銷(xiāo)售單價(jià)為_(kāi)_______元/箱；
（2）該淘寶店現(xiàn)有員工2名，每天支付員工的工資為每人每天100元，每天平均支付運(yùn)費(fèi)及其它費(fèi)用250元，當(dāng)某天的銷(xiāo)售價(jià)為45元/箱時(shí)，收支恰好平衡．
①求蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)；
②若淘寶店每天的純利潤(rùn)（收入—支出）全部用來(lái)償還一筆15000元的借款，則至少需多少天才能還清借款．
2．(2023·上海中考模擬）如圖，已知對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，其中.
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的夾角為15o，求線段CD的長(zhǎng)度；
（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
3．(2023·上海市行知實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E、F、P分別是AB、CD、AD上的點(diǎn)（均不與正方形頂點(diǎn)重合）且PE=PF,PE⊥PF.
（1）求證：AE+DF=6
（2）設(shè)AE=，五邊形EBCFP的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的取值范圍.
4．(2023·上海市市西初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）水果市場(chǎng)的甲、乙兩家商店中都有批發(fā)某種水果，批發(fā)該種水果x千克時(shí)，在甲、乙兩家商店所花的錢(qián)分別為y1元和y2元，已知y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖象分別為如圖所示的折線OAB和射線OC．
（1）當(dāng)x的取值為 時(shí)，在甲乙兩家店所花錢(qián)一樣多？
（2）當(dāng)x的取值為 時(shí)，在乙店批發(fā)比較便宜？
（3）如果批發(fā)30千克該水果時(shí)，在甲店批發(fā)比在乙店批發(fā)便宜50元，求射線AB的表達(dá)式，并寫(xiě)出定義域．
5．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如果兩個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，我們就稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”，如圖所示二次函數(shù)y1 = x2 + 2x + 2與y2 = x2 - 2x + 2是“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”．
（1）二次函數(shù)y = 2（x + 2）2 + 1的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為 ；二次函數(shù)y = a（x - h）2 + k的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為 ；
（2）如備用圖，平面直角坐標(biāo)系中，記“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的圖象與y軸的交點(diǎn)為A，它們的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B，C，且BC=6，順次連接點(diǎn)A，B，O，C得到一個(gè)面積為24的菱形，求“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式．
（3）在第（2）題的情況下，如果M是兩個(gè)拋物線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A，O，C，M為頂點(diǎn)能否構(gòu)成梯形. 若能，求出此時(shí)M坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.
6．(2023·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為.
（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，求的正切值；
（3）將拋物線向上平移個(gè)單位，使頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果，求的值.
7．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）的圖象交于點(diǎn)A（1，a）和點(diǎn)B（﹣1，﹣a）．
（1）求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）要使上述反比例函數(shù)和二次函數(shù)在某一區(qū)域都是y隨著x的增大而增大，求a應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)Q在以AB為直徑的圓上時(shí)，求a的值．
8．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，過(guò)點(diǎn)A（5，）的拋物線y＝ax2+bx的對(duì)稱軸是x＝2，點(diǎn)B是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求a、b的值；
（2）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求△OBC的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P在直線OA下方且在拋物線y＝ax2+bx上，點(diǎn)M、N在拋物線的對(duì)稱軸上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝2，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線OA于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形BQMN的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)．
9．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACO＝∠CBO．
（1）求線段OC的長(zhǎng)度；
（2）若點(diǎn)D在第四象限的拋物線上，連接BD、CD，求△BCD的面積的最大值；
（3）若點(diǎn)P在平面內(nèi)，當(dāng)以點(diǎn)A、C、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
10．(2023·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)期中）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本 16 元，工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價(jià) y（元）與一次性批發(fā)量 x（件）（x為正整數(shù)）之間滿 足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫(xiě)出 y與 x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍；
（2）若一次性批發(fā)量不低于 20 且不超過(guò) 60 件時(shí)，求獲得的利潤(rùn) w 與 x 的函數(shù) 關(guān)系式，同時(shí)當(dāng)批發(fā)量為多少件時(shí)，工廠獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？
11．(2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把以拋物線上的動(dòng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線叫做這條拋物線的“子拋物線”．如圖，已知某條“子拋物線”的二次項(xiàng)系數(shù)為，且與y軸交于點(diǎn)C．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m＞0），過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求這條“子拋物線”的解析式；
（2）用含m的代數(shù)式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC=135°，求m的值．
12．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一拱橋的橋拱是圓弧形，已知橋拱的水面跨度AB（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為8米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為2米．
（1）求橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)；
（2）如果水面AB上升到EF時(shí)，從點(diǎn)E測(cè)得橋頂D的仰角為α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
13．(2023·上海九年級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）和B（2，6），其頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）求△ABD的面積；
（3）設(shè)C為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，如果△OCH與△ABD相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
14．(2023·上海華二紫竹雙語(yǔ)學(xué)?；蛉A二雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)月考）已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2，
（1）如圖：P為AD上的一點(diǎn)，滿足；
① ；
② 求AP的長(zhǎng)
（2）如果點(diǎn)P在AD上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足，PE交直線與BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么
① 當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP = x，CQ = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
② 當(dāng)CE = 1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出解題過(guò)程）
15．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，－5）和（0，3），且與x軸交于點(diǎn)M（－1，0）和N，
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）如果這二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPN的面積．
（3）如果點(diǎn)R與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，判定以M、N、P、R為頂點(diǎn)的四邊形的邊之間的位置與度量關(guān)系．
16．(2023·上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，8），該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為A，M是這個(gè)二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，是原點(diǎn)
（1）不等式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)是△AMO的面積，求滿足的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）將（2）中符號(hào)條件的點(diǎn)M聯(lián)結(jié)起來(lái)構(gòu)成怎樣的特殊圖形？寫(xiě)出兩條這個(gè)特殊圖形的性質(zhì)．
17．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)以每件40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷(xiāo)售量m（件）與每件的銷(xiāo)售價(jià)x(元）滿足一次函數(shù)m=-2x+160．
（1）寫(xiě)出商場(chǎng)買(mǎi)出這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件的銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)解析式；
（2）如果商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)，那么每件商品的售價(jià)定位多少元最合適？最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少元？
18．(2023·上海民辦蘭生復(fù)旦中學(xué)九年級(jí)月考）廣場(chǎng)上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上的水珠高度（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平距離（米）的函數(shù)解析式是：，請(qǐng)求出當(dāng)水珠的高度達(dá)到最大時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是多少？最大高度是多少？
19．（江西省吉安市2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內(nèi)接矩形．
（1）當(dāng)矩形DEFG是正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．
（2）設(shè)EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)S有最大值，并求出最大值．
20．(2023·上海）商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種新商品在試銷(xiāo)期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤(rùn)為10元時(shí)，每天可銷(xiāo)售70件；當(dāng)每件商品每漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量就減少1件，但每天的銷(xiāo)售量不得低于35件．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答下列問(wèn)題．
（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利_________元，商品每天可銷(xiāo)售______件；
（2）在商品銷(xiāo)售正常的情況下，每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利為1500元？
（3）若商場(chǎng)的每天盈利能達(dá)到最大，請(qǐng)直接寫(xiě)出每天的最大盈利為_(kāi)_____________．
21．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）某電動(dòng)機(jī)加工廠以400元/個(gè)的價(jià)格新接了一批電動(dòng)機(jī)加工業(yè)務(wù)．根據(jù)工廠以往的制造能力，該工廠每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量為x（個(gè)）(200≤x≤500)，且每個(gè)電動(dòng)機(jī)的制造成本y(元)與每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知該工廠每天各項(xiàng)消耗的費(fèi)用是2萬(wàn)元，每天的利潤(rùn)為w元，請(qǐng)求出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)x為多少時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)是多少．
22．(2023·上海中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為.
（1）求這條拋物線表達(dá)式；
（2）將該拋物線向右平移，平移后的新拋物線頂點(diǎn)為，它與軸交點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示的正切值；
（3）聯(lián)結(jié)，在（2）的條件下，射線平分，求點(diǎn)到直線的距離.
23．(2023·河南鄭州市·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)九年級(jí)其他模擬）如圖，矩形中，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3），拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn).
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）.
①當(dāng)為何值時(shí)，得面積最??？
②是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
24．(2023·上海中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過(guò)A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
25．(2023·上海市市八初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）一倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施，該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米，上部△CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)?！鱁MN是由電腦控制其變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN（MN可與CD重合）是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持與AB平行的伸縮橫桿。（當(dāng)MN在DC上方時(shí)，MD的長(zhǎng)度是MN到DC距離的倍）
（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，求此時(shí) △EMN的面積；
（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，求△EMN的面積S（平方米）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探究△EMN的面積S（平方米）有無(wú)最大值，若有，求出這個(gè)最大值；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由。
26．(2023·上海市魯迅初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊于點(diǎn)D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊于點(diǎn)E。
（1）以點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求BE的長(zhǎng)
（2）當(dāng)PD=PE時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，四邊形CDPE的面積為y，求出y與x的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍。
27．(2023·上海）如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(3, 0)、點(diǎn)B(0, 3)．點(diǎn)M(m, 0)在線段OA上（與點(diǎn)A、O不重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)P，與拋物線交于點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)BQ．
（1）求拋物線表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)OP，當(dāng)∠BOP＝∠PBQ時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí)，求m的值．
28．(2023·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BF=EF，AB=12，設(shè)AE=x，BF=y．
（1）當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，求BF的長(zhǎng)；
（2）求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）把△ABE沿著直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，試探索：△A′BF能否為等腰三角形？如果能，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
29．(2023·上海上外附中八年級(jí)期中）如圖，在梯形中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3），，求的面積關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系和自變量的取值范圍．

30．(2023·上海）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、射線上，且，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以、為鄰邊作平行四邊形，設(shè)，平行四邊形的面積為．
（1）當(dāng)平行四邊形為矩形時(shí)，求的正切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線經(jīng)過(guò)平行四邊形一邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的值．
31．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）的拋物線y＝ax2+2ax﹣3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，D為該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）直接寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸以及點(diǎn)B的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)、點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AD、DC、CB，求四邊形ABCD的面積；
（3）聯(lián)結(jié)AC．如果點(diǎn)E在該拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為H，線段EH交線段AC于點(diǎn)F．當(dāng)EF＝2FH時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
32．(2023·上海九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；
（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
33．(2023·山東九年級(jí)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE＝x．
（1）當(dāng)AM＝時(shí)，求x的值；
（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出該定值；
（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值．
34．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求以點(diǎn)A、點(diǎn)C及點(diǎn)D圍成的的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
35．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O、點(diǎn)B（1，3），又與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，與拋物線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若∠BMP=∠AOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)N、C，若△ANC的面積等于△PMN的面積的2倍，求的值．
36．(2023·上海楊浦區(qū)·）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．
37．(2023·江蘇九年級(jí)期末）如圖①拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），點(diǎn)C三點(diǎn)．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D（3，m）在第一象限的拋物線上，連接BC，BD．試問(wèn)，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
二、填空題
38．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2的圖象如圖，點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2，A3…An在y軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3…Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，點(diǎn)C1，C2，C3…?n在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3C3…四邊形An﹣1BnAn?n都是正方形，則正方形An﹣1BnAn?n的周長(zhǎng)為_(kāi)____．
39．(2023·上海）某商場(chǎng)四月份的營(yíng)業(yè)額是200萬(wàn)元，如果該商場(chǎng)第二季度每個(gè)月?tīng)I(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，都為，六月份的營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，那么關(guān)于的函數(shù)解式是______．
40．(2023·上海黃浦區(qū)·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上．設(shè)DE，矩形DEFG的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是______． （不需寫(xiě)出x的取值范圍）．
專題07實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)重難點(diǎn)專練（解析版）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、解答題
1．某淘寶店購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果若干箱，物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不高于80元/箱，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)定為80元/箱時(shí)，每日銷(xiāo)售20箱；如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元/箱，每日可多銷(xiāo)售2箱．
（1）已知某天售出蘋(píng)果70箱，則當(dāng)天的銷(xiāo)售單價(jià)為_(kāi)_______元/箱；
（2）該淘寶店現(xiàn)有員工2名，每天支付員工的工資為每人每天100元，每天平均支付運(yùn)費(fèi)及其它費(fèi)用250元，當(dāng)某天的銷(xiāo)售價(jià)為45元/箱時(shí)，收支恰好平衡．
①求蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)；
②若淘寶店每天的純利潤(rùn)（收入—支出）全部用來(lái)償還一筆15000元的借款，則至少需多少天才能還清借款．
【來(lái)源】專題2.1 一元一次方程-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)精選考點(diǎn)專項(xiàng)突破題集（上海專用）
答案:（1）55；（2）①蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為40元/箱；②淘寶店至少需19天才能還清借款.
分析：
（1）根據(jù)銷(xiāo)售單價(jià)定為元/箱時(shí)，每日銷(xiāo)售20箱；如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元/箱，每日可多銷(xiāo)售2箱，一共增加了箱，降了元，從而可得某天售出該蘋(píng)果箱的銷(xiāo)售單價(jià)為元；
（2）①根據(jù)該淘寶店現(xiàn)有員工2名，每天支付員工的工資為每人每天元，每天平均支付運(yùn)費(fèi)及其它費(fèi)用250元，當(dāng)某天的銷(xiāo)售價(jià)為為45元/箱時(shí)，收支恰好平衡，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)； ②根據(jù)題意可以求得每天的最大利潤(rùn)，從而可以求得少需多少天才能還清借款．
【詳解】
解：（1）某天售出蘋(píng)果70箱，則當(dāng)天的銷(xiāo)售單價(jià)為元，
故答案為：55；
（2）①設(shè)蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為元/箱，
當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為45元/箱時(shí)，當(dāng)天的銷(xiāo)量為：（箱），
則，
解得，，
即蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為40元/箱；
②設(shè)淘寶店某天的銷(xiāo)售單價(jià)為元/箱，每天的收入為元，
則，
∴當(dāng)時(shí)，淘寶店每天的收入最多，最多收入1250元，
設(shè)淘寶店需要天還清借款，
，
解得，，
∵為整數(shù)，
∴.
即淘寶店至少需19天才能還清借款．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
2．如圖，已知對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，其中.
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的夾角為15o，求線段CD的長(zhǎng)度；
（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【來(lái)源】【區(qū)級(jí)聯(lián)考】上海市寶山區(qū)2019屆九年級(jí)下學(xué)期二模試卷數(shù)學(xué)試題
答案:（1），；（2）CD=或；（3）的坐標(biāo)為或或或.
解析：
分析：
（1）將A、C坐標(biāo)代入拋物線，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;
（2）求出直線BC的解析式為，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別以B、C、P為直角頂點(diǎn)，進(jìn)行分類(lèi)討論，再運(yùn)用勾股定理得到方程式進(jìn)行求解.
【詳解】
解：（1）根據(jù)對(duì)稱軸x=-1,A（1,0），得出B為(-3,0)
依題意得：，解之得：，
∴拋物線的解析式為.
（2）∵對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過(guò)，∴
∴直線BC的解析式為. ∠CBA=45°
∵直線BD和直線BC的夾角為15o， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°
在△BOD，，BO=3
∴DO=或，∴CD=或.
（3）設(shè)，又，，
∴，，，
①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，
②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，
③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：
，.
綜上所述的坐標(biāo)為或或或.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E、F、P分別是AB、CD、AD上的點(diǎn)（均不與正方形頂點(diǎn)重合）且PE=PF,PE⊥PF.
（1）求證：AE+DF=6
（2）設(shè)AE=，五邊形EBCFP的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的取值范圍.
【來(lái)源】2017-2018學(xué)年上海市寶山區(qū)行知實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)第二學(xué)期期中試卷
答案:（1）證明見(jiàn)解析；
（2）y＝x2?6x＋36，y的取值范圍是27≤y＜36．
分析：
（1）根據(jù)∠A＝∠D＝∠EPF＝90°和PE＝PF的條件，易證△AEP與△DPF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）可以用x表示PD進(jìn)而表示AP，五邊形面積y等于正方形面積減去兩個(gè)全等三角形的面積，寫(xiě)得y的函數(shù)解析式．把函數(shù)解析式寫(xiě)出頂點(diǎn)式，結(jié)合x(chóng)的取值范圍求出y的取值范圍．,
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEP＋∠APE＝90°，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF＝90°，
∴∠APE＋∠DPF＝90°，
∴∠AEP＝∠DPF，
在△AEP與△DPF中，
，
∴△AEP≌△DPF（AAS），
∴AE=DP AP=DF，
∴DP+AP=AD=6；
（2）∵△AEP≌△DPF，
∴S△AEP＝S△DPF，DP＝AE＝x，
∴AP＝AD?DP＝6?x，
∴y＝S正方形ABCD?S△AEP＝S△DPF＝S正方形ABCD?2S△AEP＝AB2?2?AE?AP＝36?x（6?x）＝x2?6x＋36＝（x?3）2＋27，
∵0＜x＜6，
∴x＝3時(shí)，y最小值為27；x＝0或6時(shí)，y＝（0?3）2＋27＝36，
∴27≤y＜36，
∴y＝x2?6x＋36，y的取值范圍是27≤y＜36．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．求二次函數(shù)值的范圍時(shí)，要把解析式寫(xiě)成頂點(diǎn)式，再根據(jù)x的范圍來(lái)確定y的范圍．
4．水果市場(chǎng)的甲、乙兩家商店中都有批發(fā)某種水果，批發(fā)該種水果x千克時(shí)，在甲、乙兩家商店所花的錢(qián)分別為y1元和y2元，已知y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖象分別為如圖所示的折線OAB和射線OC．
（1）當(dāng)x的取值為 時(shí)，在甲乙兩家店所花錢(qián)一樣多？
（2）當(dāng)x的取值為 時(shí)，在乙店批發(fā)比較便宜？
（3）如果批發(fā)30千克該水果時(shí)，在甲店批發(fā)比在乙店批發(fā)便宜50元，求射線AB的表達(dá)式，并寫(xiě)出定義域．
【來(lái)源】上海市市西初級(jí)中學(xué)2018-2019學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
答案:(1)20;(2) 0＜x＜20;(3) y＝5x+100（x≥10）
分析：
（1）利用兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)y2的圖像在y1的下方，觀察圖像即可解決問(wèn)題；（3）設(shè)AB的解析式為y=kx+b，由題意OC的函數(shù)解析式為y=10x，可得方程組，解方程組即可
【詳解】
（1）由圖象可知，x＝20千克時(shí)，y1＝y(tǒng)2，故答案為20千克．
（2）由圖象可知，0＜x＜20時(shí)，在乙店批發(fā)比較便宜．故答案為0＜x＜20．
（3）設(shè)AB的解析式為y＝kx+b，由題意OC的函數(shù)解析式為y＝10x，
∴，
解得，
∴射線AB的表達(dá)式y(tǒng)＝5x+100（x≥10）．
【點(diǎn)睛】
本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖像解答問(wèn)題
5．如果兩個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，我們就稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”，如圖所示二次函數(shù)y1 = x2 + 2x + 2與y2 = x2 - 2x + 2是“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”．
（1）二次函數(shù)y = 2（x + 2）2 + 1的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為 ；二次函數(shù)y = a（x - h）2 + k的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為 ；
（2）如備用圖，平面直角坐標(biāo)系中，記“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的圖象與y軸的交點(diǎn)為A，它們的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B，C，且BC=6，順次連接點(diǎn)A，B，O，C得到一個(gè)面積為24的菱形，求“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式．
（3）在第（2）題的情況下，如果M是兩個(gè)拋物線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A，O，C，M為頂點(diǎn)能否構(gòu)成梯形. 若能，求出此時(shí)M坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.
【來(lái)源】上海卷04-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第3步中考熱身卷
答案:（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
分析：
（1）根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”的定義即可求解；
（2）根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”，菱形的面積，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，圖象與y軸的交點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）根據(jù)題意分①若AO∥CM， ②若AC∥OM，③若OC∥AM，分別聯(lián)立函數(shù)求解即可.
【詳解】
（1）二次函數(shù)y = 2（x + 2）2 + 1的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為y = 2（x - 2）2 + 1；二次函數(shù)y = a（x - h）2 + k的“關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)”解析式為y = a（x + h）2 + k，
故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ；
（2）由BC=6，順次連接點(diǎn)A，B，O，C得到一個(gè)面積為24的菱形，由菱形面積公式得OA=8，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），
∵菱形ABOC
∴ - xB = xC yB = yA
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，4），
設(shè)一個(gè)拋物線的解析式為y=a（x+3）2+4，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得9a+4=8，
解得a=，
∴y=（x+3）2+4關(guān)于y軸對(duì)稱二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=（x-3）2+4．
（3）①若AO∥CM，則xM = xC = 3，
把xM = 3代入上述兩個(gè)拋物線解析式，解得y1 = 20， y2 = 4
∵C（3,4），∴y2 = 4舍去，
∴M1（3,20）
②若AC∥OM，
∵lAC：，∴l(xiāng)OM：
與拋物線聯(lián)立方程或
或無(wú)解
∵B（-3,4），∴舍去，
∴M2（-6,8）
③若OC∥AM
∵lOC：，∴l(xiāng)AM：
同②解得
∵A（0，8）
∴M3（9,20）
綜上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
【點(diǎn)睛】
此題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知新定義的函數(shù)性質(zhì)及菱形、梯形的性質(zhì).
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為.
（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，求的正切值；
（3）將拋物線向上平移個(gè)單位，使頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果，求的值.
【來(lái)源】2020年上海市奉賢區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末（一模）數(shù)學(xué)試題
答案:（1），；（2）3；（3）
分析：
(1)根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；
(2)根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，由OD=，OB=5，可得：∠OBD=∠ODB，即可求解；
(3)根據(jù)題意：可得：BE=，BF=t，列出關(guān)于t的方程，即可求解.
【詳解】
（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式是：，
即：，
∴；
（2）∵拋物線的對(duì)稱軸是：直線x=3，點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（4，-3），
∴OD=，
∵OB=5，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，則DE=3，BE=5-4=1，
∴tan∠ODB=tan∠OBD==3；
（3）∵拋物線向上平移個(gè)單位，使頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
∴E（3，-4+t），F(xiàn)（5，t），
∴BE==，BF=t，
∵，
∴=t，解得：t=.
【點(diǎn)睛】
本題主要考察二次函數(shù)的圖象和平面幾何圖形的綜合，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，列出方程，是解題的關(guān)鍵.
7．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）的圖象交于點(diǎn)A（1，a）和點(diǎn)B（﹣1，﹣a）．
（1）求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）要使上述反比例函數(shù)和二次函數(shù)在某一區(qū)域都是y隨著x的增大而增大，求a應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)Q在以AB為直徑的圓上時(shí)，求a的值．
【來(lái)源】考點(diǎn)11 函數(shù)綜合問(wèn)題-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第1步小題夯基礎(chǔ)
答案:（1）求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）；（2）a＜0且x≤﹣；（3）a＝±．
分析：
（1）由待定系數(shù)法可求直線AB解析式，即可求解；
（2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，可得a＜0，又由二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）的對(duì)稱軸為x＝﹣，可得x≤﹣時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大；
（3）先求點(diǎn)Q坐標(biāo)，由OQ＝OA，可得方程，即可求a的值．
【詳解】
（1）設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，
由題意可得
∴b＝0，k＝a，
∴直線AB的解析式為：y＝ax，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，
∴直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）；
（2）∵反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)A（1，a），
∴反比例函數(shù)解析式為：y＝，
∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，
∴a＜0．
∵二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）＝a（x+）2﹣a，
∴對(duì)稱軸為：直線x＝﹣．
要使二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對(duì)稱軸的左邊，即x≤﹣時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大．
綜上所述，a＜0且x≤﹣；
（3）∵二次函數(shù)y＝a（x2+x﹣1）＝a（x+）2﹣a，
∴頂點(diǎn)Q（﹣，﹣a），
∵Q在以AB為直徑的圓上，
∴OA＝OQ，
∴（﹣）2+（﹣）2＝12+a2，
∴a＝±
【點(diǎn)睛】
此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
8．如圖，過(guò)點(diǎn)A（5，）的拋物線y＝ax2+bx的對(duì)稱軸是x＝2，點(diǎn)B是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求a、b的值；
（2）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求△OBC的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P在直線OA下方且在拋物線y＝ax2+bx上，點(diǎn)M、N在拋物線的對(duì)稱軸上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝2，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線OA于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形BQMN的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)．
【來(lái)源】熱點(diǎn)06 二次函數(shù)綜合題-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第2步大題奪高分
答案:（1）（2）當(dāng)△BDC為直角三角形時(shí)，△OBC的面積是或；（3）點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)分別為，，．
分析：
（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用對(duì)稱軸方程，聯(lián)立方程組，解方程組求得a、b的值;
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，m）．由于沒(méi)有指明直角△BCD中的直角，所以需要分類(lèi)討論：當(dāng)∠CBD=90°、∠CDB=90°、∠BCD=90°時(shí)，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，通過(guò)解方程求得m的值；然后利用三角形的面積公式解答；
（3）利用待定系數(shù)法確定直線OA解析式為．由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和兩點(diǎn)間的距離公式求得：PQ＝x?(x2?3x)＝?x2+x＝?(x?)2+，所以利用二次函數(shù)最值的求得推知：當(dāng)PQ最大時(shí)，線段BQ為定長(zhǎng)．又因?yàn)镸N=2，所以要使四邊形BQMN的周長(zhǎng)最小，只需QM+BN最?。幂S對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題得到點(diǎn)Q．最后利用方程思想解答．
【詳解】
解：（1）∵過(guò)點(diǎn)A(5， )的拋物線y＝ax2+bx的對(duì)稱軸是x＝2，
∴ ，
解之，得；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，m）．由（1）可得拋物線，
∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，﹣3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．
當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，有BC2+BD2＝CD2．
∴ ，
解之，得，
∴；
當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，有CD2+BD2＝BC2．
∴，
解之，得，
∴；
當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，有CD2+BC2＝BD2．
∴，此方程無(wú)解．
綜上所述，當(dāng)△BDC為直角三角形時(shí)，△OBC的面積是或；
（3）設(shè)直線y＝kx過(guò)點(diǎn)A(5， )，可得直線．
由（1）可得拋物線，
∴PQ=x?(x2?3x)＝?x2+x＝?(x?)2+，
∴當(dāng)x=時(shí)，PQ最大，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
∴PQ最大時(shí)，線段BQ為定長(zhǎng)．
∵M(jìn)N＝2，
∴要使四邊形BQMN的周長(zhǎng)最小，只需QM+BN最?。?br>將點(diǎn)Q向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線BQ2與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)N，此時(shí)四邊形BQMN的周長(zhǎng)最?。?br>設(shè)直線y＝cx+d過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)B（4，0），
則,
解之，得,
∴直線過(guò)點(diǎn)Q2和點(diǎn)B．
解方程組 得,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)分別為 ， ，．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，解這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí).
9．如圖，拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACO＝∠CBO．
（1）求線段OC的長(zhǎng)度；
（2）若點(diǎn)D在第四象限的拋物線上，連接BD、CD，求△BCD的面積的最大值；
（3）若點(diǎn)P在平面內(nèi)，當(dāng)以點(diǎn)A、C、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【來(lái)源】考點(diǎn)13 代數(shù)幾何綜合問(wèn)題（一）（二次函數(shù)與其他知識(shí)綜合）-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第1步小題夯基礎(chǔ)
答案:（1）2；（2）2；（3）(2，2)，(6，﹣2)或(﹣6，﹣2)
分析：
（1）由拋物線的解析式先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再證△AOC∽△COB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出CO的長(zhǎng)；
（2）先求出拋物線的解析式，再設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)（m，m2﹣m﹣2），用含m的代數(shù)式表示出△BCD的面積，利用函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；
（3）分類(lèi)討論，分三種情況由平移規(guī)律可輕松求出點(diǎn)P的三個(gè)坐標(biāo)．
【詳解】
（1）在拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）中，
當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
∴AO＝2，BO＝4，
∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，即，
∴CO＝2；
（2）由（1）知，CO＝2，
∴C（0，﹣2）
將C（0，﹣2）代入y＝a（x+2）（x﹣4），
得，a＝，
∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2，
如圖1，連接OD，
設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），
則S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△BOC
＝×2m+×4（﹣m2+m+2）﹣×4×2
＝﹣m2+2m
＝﹣（m﹣2）2+2，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)m＝2時(shí)，△BCD的面積有最大值2；
（3）如圖2﹣1，當(dāng)四邊形ACBP為平行四邊形時(shí)，由平移規(guī)律可知，點(diǎn)C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，所以點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P，因?yàn)锳（﹣2，0），所以P1（2，2）；
同理，在圖2﹣2，圖2﹣3中，可由平移規(guī)律可得P2（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）；
綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)A、C、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積及平移規(guī)律等，解題關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)及熟練運(yùn)用平移規(guī)律．
10．某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本 16 元，工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價(jià) y（元）與一次性批發(fā)量 x（件）（x為正整數(shù)）之間滿 足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫(xiě)出 y與 x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍；
（2）若一次性批發(fā)量不低于 20 且不超過(guò) 60 件時(shí)，求獲得的利潤(rùn) w 與 x 的函數(shù) 關(guān)系式，同時(shí)當(dāng)批發(fā)量為多少件時(shí)，工廠獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？
【來(lái)源】上海市奉賢區(qū)2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
答案:（1）當(dāng)且x為整數(shù)時(shí)，；當(dāng)且x為整數(shù)時(shí)，；當(dāng)且x為整數(shù)時(shí)，y=20；（2）一次批發(fā)34件時(shí)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是578元
分析：
（1）認(rèn)真觀察圖象，分別寫(xiě)出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，定義域取值全部是整數(shù)；
（2）根據(jù)利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×件數(shù)，列出利潤(rùn)的表達(dá)式，求出最值．
【詳解】
（1）當(dāng)且x為整數(shù)時(shí)，；
當(dāng)且x為整數(shù)時(shí)，；
當(dāng)且x為整數(shù)時(shí)，；
（2）當(dāng)且x為整數(shù)時(shí)，，
∴，
∴
∴
∵
∴當(dāng)x=34時(shí)，w最大，最大值為578
答：一次批發(fā)34件時(shí)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是578元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式并熟練運(yùn)用性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把以拋物線上的動(dòng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線叫做這條拋物線的“子拋物線”．如圖，已知某條“子拋物線”的二次項(xiàng)系數(shù)為，且與y軸交于點(diǎn)C．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m＞0），過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求這條“子拋物線”的解析式；
（2）用含m的代數(shù)式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC=135°，求m的值．
【來(lái)源】2021年上海市浦東新區(qū)第四教育署中考數(shù)學(xué)5月調(diào)研試題
答案:（1）；（2）；（3）m的值為2
分析：
（1）先求出m=1時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到這條“子拋物線”的解析式；
（2）先根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)求出“子拋物線”的解析式和AB,OB的長(zhǎng)度，然后令x = 0求出y值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出BC的長(zhǎng)度，最后利用即可求解；
（3）過(guò)O點(diǎn)作OD⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線分別交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F, 首先證明△AED≌△DFO，則有AE=DF，DE=OF，設(shè)AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED，通過(guò)OB=EF得到，然后再通過(guò)得到，將兩個(gè)關(guān)于m,n的方程聯(lián)立即可求出m的值．
【詳解】
解：（1）∵點(diǎn)A在上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
∴A（m，m2），
當(dāng)m =1時(shí)， ，
∴A（1，1），
∴這條“子拋物線”的解析式為．
（2）由A（m，m2），且AB⊥y軸，可得AB=m，OB= m2．
∴“子拋物線”的解析式為．
令x = 0，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，），，
∴．
在Rt△ABC中，
．
（3）如圖，過(guò)O點(diǎn)作OD⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線分別交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
∵∠OAC=135°，
∴∠OAD=45°．
又∵OD⊥CA，

∴∠AOD=∠OAD=45°，
∴AD=OD，
，
．
，
∴△AED≌△DFO，
∴AE=DF，DE=OF．
設(shè)AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED．
又∵OB=EF，
∴．
又，
∴∠BCA=∠ADE，
∴．
解方程組，得，（舍去）
∴ m的值為2．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，子拋物線的定義，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，有一拱橋的橋拱是圓弧形，已知橋拱的水面跨度AB（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為8米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為2米．
（1）求橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)；
（2）如果水面AB上升到EF時(shí)，從點(diǎn)E測(cè)得橋頂D的仰角為α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
【來(lái)源】考點(diǎn)07 銳角三角函數(shù)-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第1步小題夯基礎(chǔ)
答案:（1）橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米；（2）水面上升的高度為1米
分析：
（1）根據(jù)點(diǎn)D是 中點(diǎn)， 知C為AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半徑．
（2） 設(shè)OD與EF相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，進(jìn)而找出EG＝3DG，設(shè)水面上升的高度為x米，即CG＝x，則DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根據(jù)勾股定理求出x即可．
【詳解】
解：（1）∵點(diǎn)D是 中點(diǎn)，，
∴AC＝BC，DC經(jīng)過(guò)圓心，
設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
聯(lián)結(jié)OA，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米．
（2）設(shè)OD與EF相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中， ，
∴EG＝3DG，
設(shè)水面上升的高度為x米，即CG＝x，則DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化簡(jiǎn)得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度為1米．
【點(diǎn)睛】
此題是關(guān)于圓的綜合性試題，包含的知識(shí)點(diǎn)有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定難度．
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）和B（2，6），其頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）求△ABD的面積；
（3）設(shè)C為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，如果△OCH與△ABD相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【來(lái)源】2020年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題
答案:（1）y＝x2+2x；（2）12；（3）點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣10，30）或（﹣，）
分析：
（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式：得AB，AD，BD的值，從而得BD2＝AB2+AD2，則△ABD為直角三角形，△ABD的面積＝AB×AD，即可求解；
（3）由△OCH與△ABD相似，得tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝＝或3，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x；
（2）對(duì)于y＝x2+2x，頂點(diǎn)D(﹣2，﹣2)，
∴AD＝，
同理：AB＝6，BD＝4，
∴BD2＝AB2+AD2，
∴△ABD為直角三角形，
∴△ABD的面積＝AB×AD＝×6×2＝12；
（3）在△ABD中，tan∠ABD＝，
∵△OCH與△ABD相似，
∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠COH＝tan∠ADB，
即：tan∠COH＝或3，
設(shè)點(diǎn)C(m，m2+2m)，則tan∠COH＝＝或3，
解得：m＝﹣10或﹣（不合題意的值已舍去），
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(﹣10，30)或(﹣，)．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與相似三角形的綜合，涉及二次函數(shù)的待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間距離公式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)定理以及三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)定理以及三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．
14．已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2，
（1）如圖：P為AD上的一點(diǎn)，滿足；
① ；
② 求AP的長(zhǎng)
（2）如果點(diǎn)P在AD上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足，PE交直線與BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么
① 當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP = x，CQ = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
② 當(dāng)CE = 1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出解題過(guò)程）
【來(lái)源】上海市華師大二附中紫竹雙語(yǔ)學(xué)校2019-2020學(xué)年九上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題
答案:（1）① 見(jiàn)解析；② AP的長(zhǎng)為1或4；（2）① y=3x-2（1 < x < 4）；② AP的長(zhǎng)為2．
分析：
（1）①當(dāng)∠BPC＝∠A時(shí)，∠A＋∠APB＋∠ABP＝180°，而∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，因此∠ABP＝∠DPC，此時(shí)三角形APB與三角形DPC相似．
②利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長(zhǎng)．
（2）①與（1）的方法類(lèi)似，只不過(guò)把DC換成了DQ，那么只要用DC＋CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．
②和①的方法類(lèi)似，但是要多一步，要先通過(guò)平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長(zhǎng)，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進(jìn)行求解即可．
【詳解】
（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC．
∴∠A＝∠D
∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A
∴∠ABP＝∠DPC，
∴△ABP∽△DPC．
②∵△ABP∽△DPC，
∴，即：，
解得：AP＝1或AP＝4．
（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴，即：，
∴y＝?x2＋x?2（1＜x＜4）．
②當(dāng)CE＝1時(shí)，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴，即或，
∵y＝?x2＋x?2，
解得：x＝2或3?，
∴PA＝2或3?．
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題，考查了圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二元二次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
15．二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，－5）和（0，3），且與x軸交于點(diǎn)M（－1，0）和N，
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）如果這二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPN的面積．
（3）如果點(diǎn)R與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，判定以M、N、P、R為頂點(diǎn)的四邊形的邊之間的位置與度量關(guān)系．
【來(lái)源】熱點(diǎn)08 二次函數(shù)-2021年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（上海專用）
答案:（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6；（3）該四邊形（兩組）對(duì)邊（分別）平行，四條邊都相等
分析：
（1）將已知的三點(diǎn)代入，利用待定系數(shù)法即可解答；
（2）先求得點(diǎn)P和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再得出線段ON的長(zhǎng)度以及ON邊上的高，最后運(yùn)用三角形面積公式解答即可；
（3）先畫(huà)出圖形，再說(shuō)明四邊形MRNP是菱形，然后運(yùn)用菱形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c，
∴，
可以解得a＝－1，b＝2，c＝3 ．
∴y＝－x2＋2x＋3；
（2）如圖：由題意可知二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為點(diǎn)P（1，4），點(diǎn)N（3，0），
∴ON＝3, ON邊上的高為4
∴S△OPN＝3×4÷2=6 ．
（3）如圖:∵點(diǎn)R與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱
∴MN垂直平分PR
∵PR是二次函數(shù)的圖像對(duì)稱軸
∴PR垂直平分MN
∴PR互相MN垂直平分，
∴PMRN為菱形
∴該四邊形（兩組）對(duì)邊（分別）平行，四條邊都相等
【點(diǎn)睛】
本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積以及菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，確定二次函數(shù)解析式以及點(diǎn)N和點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．
16．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，8），該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為A，M是這個(gè)二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，是原點(diǎn)
（1）不等式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)是△AMO的面積，求滿足的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）將（2）中符號(hào)條件的點(diǎn)M聯(lián)結(jié)起來(lái)構(gòu)成怎樣的特殊圖形？寫(xiě)出兩條這個(gè)特殊圖形的性質(zhì)．
【來(lái)源】2020年上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)中考三模數(shù)學(xué)試題
答案:（1）成立，理由見(jiàn)解析；（2） ；（3）這是一個(gè)等腰梯形，性質(zhì)1：等腰梯形同一底的兩個(gè)底角相等；性質(zhì)2：等腰梯形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
分析：
（1）求出函數(shù)解析式，確定b，c的值，即可做出判斷；
（2）表示出點(diǎn)A、M坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；
（3）連接四個(gè)點(diǎn)，結(jié)合四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的軸對(duì)稱性即可得．
【詳解】
（1）由題意得，
∴
把（3,8）代入中，解得
∴解析式為，
∴，
∴不等式成立；
（2）由題意得點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,0)，設(shè)M()
即
∴
∴
①當(dāng)
解得
∴
②當(dāng)
解得
∴滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為： ；
（3）如圖，順次鏈接（2）中四個(gè)點(diǎn)，由（2）得M1M2∥M3M4，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得M1M4=M2M3，∴四邊形M1M2M3M4是一個(gè)等腰梯形，
性質(zhì)1：等腰梯形同一底的兩個(gè)底角相等；
性質(zhì)2：等腰梯形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了求函數(shù)解析式方法和二次函數(shù)與面積問(wèn)題，求出二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，解題時(shí)注意表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)后，求面積時(shí)三角形的高為，這是易錯(cuò)點(diǎn)．
17．某商場(chǎng)以每件40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷(xiāo)售量m（件）與每件的銷(xiāo)售價(jià)x(元）滿足一次函數(shù)m=-2x+160．
（1）寫(xiě)出商場(chǎng)買(mǎi)出這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件的銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)解析式；
（2）如果商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)，那么每件商品的售價(jià)定位多少元最合適？最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少元？
【來(lái)源】上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.3二次函數(shù)的圖像
答案:（1）y與每件的銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)解析式是；（2）每件商品的售價(jià)定位60元最合適，最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)為800元．
分析：
（1）此題可以按等量關(guān)系“每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)＝（銷(xiāo)售價(jià)?進(jìn)價(jià)）×每天的銷(xiāo)售量”列出函數(shù)關(guān)系式，并由售價(jià)大于進(jìn)價(jià)，且銷(xiāo)售量大于零求得自變量的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）所得的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求二次函數(shù)的最值即可得出答案．
【詳解】
（1）由題意得，每件商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為（x-40）元，那么m件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y＝m（x-40），又∵m＝?2x+160，
∴，
∴y與每件的銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)解析式是；
（2）由（1可得），
可得每件商品的售價(jià)定位60元最合適，最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)為800元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系：“每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)＝（銷(xiāo)售價(jià)?進(jìn)價(jià)）×每天的銷(xiāo)售量”列出函數(shù)關(guān)系式，另外要熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法．
18．廣場(chǎng)上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上的水珠高度（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平距離（米）的函數(shù)解析式是：，請(qǐng)求出當(dāng)水珠的高度達(dá)到最大時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是多少？最大高度是多少？
【來(lái)源】上海市蘭生復(fù)旦2018-2019學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期 9月月考數(shù)學(xué)試題
答案:2米；6米．
分析：
根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，用配方法求出當(dāng)x等于何值時(shí)函數(shù)有最大值以及最大值是多少．
【詳解】
解：由題意得，，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
答：當(dāng)水珠的高度達(dá)到最大時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是2米，最大高度是6米．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握求二次函數(shù)最值的方法．
19．如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內(nèi)接矩形．
（1）當(dāng)矩形DEFG是正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．
（2）設(shè)EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)S有最大值，并求出最大值．
【來(lái)源】江西省吉安市2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
答案:（1）；（2），當(dāng)x＝4時(shí)，S有最大值20
分析：
（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出GF＝10?x，求出矩形的面積，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題．
【詳解】
（1）設(shè)HK＝y(tǒng)，則AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四邊形DEFG為矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵當(dāng)矩形DEFG是正方形時(shí)，GF＝KH＝y(tǒng)，
∴(8﹣y)：8＝y(tǒng)：10，
解得：y＝；
（2）設(shè)EF＝x，則KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF?EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴當(dāng)x＝4時(shí)S有最大值，并求出最大值20．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)邊相等且平行，相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，題目是一道中等題，難度適中．
20．商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種新商品在試銷(xiāo)期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件利潤(rùn)為10元時(shí)，每天可銷(xiāo)售70件；當(dāng)每件商品每漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量就減少1件，但每天的銷(xiāo)售量不得低于35件．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答下列問(wèn)題．
（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利_________元，商品每天可銷(xiāo)售______件；
（2）在商品銷(xiāo)售正常的情況下，每件商品漲價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利為1500元？
（3）若商場(chǎng)的每天盈利能達(dá)到最大，請(qǐng)直接寫(xiě)出每天的最大盈利為_(kāi)_____________．
【來(lái)源】專題06 一元二次方程及其應(yīng)用（考點(diǎn)專練）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1），；（2）20；（3）1600
分析：
（1）用售價(jià)減去進(jìn)價(jià)即可求得每件利潤(rùn)；銷(xiāo)售量等于原來(lái)銷(xiāo)售量減去減少的銷(xiāo)售量即可；
（2）利用總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)量列出方程求解即可；
（3）配方后即可確定最大利潤(rùn)；
【詳解】
解：（1）設(shè)每件漲了x元時(shí)，每件盈利（10+x）元，商品每天可銷(xiāo)售（70-x）件；
（2）根據(jù)題意得：（10+x）（70-x）=1500，
解得：x=20或x=40（不合題意，舍去），
答：每件商品漲20元時(shí)商場(chǎng)每天盈利可達(dá)1500元．
（3）設(shè)總利潤(rùn)為w元，則w=（10+x）（70-x）=-（x-30）2+1600，
∴總利潤(rùn)的最大值為1600元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意列出方程或二次函數(shù)，滲透了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想．
21．某電動(dòng)機(jī)加工廠以400元/個(gè)的價(jià)格新接了一批電動(dòng)機(jī)加工業(yè)務(wù)．根據(jù)工廠以往的制造能力，該工廠每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量為x（個(gè)）(200≤x≤500)，且每個(gè)電動(dòng)機(jī)的制造成本y(元)與每天制造電動(dòng)機(jī)的數(shù)量x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知該工廠每天各項(xiàng)消耗的費(fèi)用是2萬(wàn)元，每天的利潤(rùn)為w元，請(qǐng)求出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)x為多少時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)是多少．
【來(lái)源】上海卷01-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第3步中考熱身卷
答案:（1）y=-x+500；（2）w=(x-100)2-25000；當(dāng)x=500時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)為55000元．
分析：
（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，把(200，400)，(500，250)分別代入即可求解；
（2）根據(jù)題意可求得w與x的函數(shù)關(guān)系式：w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20000=(x-100)2-25 000，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x>100時(shí)，w隨x的增大而增大，再結(jié)合200≤x≤500，可知當(dāng)x=500時(shí)，w取得最大值，代入計(jì)算即可．
【詳解】
解：(1)根據(jù)題意，設(shè)y=kx+b，
將(200，400)，(500，250)分別代入，
得，
解得，
故y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+500；
(2)根據(jù)題意，得w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20 000=(x-100)2-25 000，
∵>0，
∴當(dāng)x>100時(shí)，w隨x的增大而增大，
又∵200≤x≤500，
∴當(dāng)x=500時(shí)，w取得最大值，最大值為×(500-100)2-25000=55000，
答：當(dāng)x=500時(shí)，w最大，最大日利潤(rùn)為55000元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為.
（1）求這條拋物線表達(dá)式；
（2）將該拋物線向右平移，平移后的新拋物線頂點(diǎn)為，它與軸交點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示的正切值；
（3）聯(lián)結(jié)，在（2）的條件下，射線平分，求點(diǎn)到直線的距離.
【來(lái)源】【區(qū)級(jí)聯(lián)考】上海市靜安區(qū)2019屆九年級(jí)下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題
答案:（1）；（2）；（3）6
解析：
分析：
可設(shè)頂點(diǎn)式解析式，把點(diǎn)代入，求得a，從而得拋物線的解析式；
畫(huà)圖，把放到直角三角形中來(lái)考慮，分別用點(diǎn)P、點(diǎn)H、點(diǎn)B的相關(guān)坐標(biāo)來(lái)表示這個(gè)直角三角形中的直角邊長(zhǎng)即可求解；
設(shè)PB與x軸交于點(diǎn)M，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，利用點(diǎn)P坐標(biāo)，得出AP長(zhǎng)度，利用角平分線即軸，推得，從而得出AP和AM的長(zhǎng)度；
求出直線PB得解析式，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BH的長(zhǎng)度，再利用角平分線的性質(zhì)定理即可得點(diǎn)B到直線AP的距離就等于BH的長(zhǎng)度．
【詳解】
解：設(shè)拋物線表達(dá)式為：
把代入得，
拋物線的表達(dá)式：．
設(shè)PQ與y軸交點(diǎn)為H．
，，
，，
在中，．
故的正切值為：．
設(shè)PB與x軸交于點(diǎn)M．
由得點(diǎn)A坐標(biāo)為．
又，
．
射線PB平分，
．
軸，，
，
，
．
設(shè)直線PB為，把點(diǎn)，代入，得：，
點(diǎn)B為．
．
射線PB平分，，
點(diǎn)B到直線AP的距離為6．
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)的綜合題，分別考查了待定系數(shù)法求解析式、構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值、利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)線段長(zhǎng)度，以及角平分線的性質(zhì)定理來(lái)得點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．
23．如圖，矩形中，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3），拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn).
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）.
①當(dāng)為何值時(shí)，得面積最?。?br>②是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【來(lái)源】2020年河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)中考第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題
答案:（1）；（2）① ；②
分析：
（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出b，c的值，求得拋物線的解析式；
（2）①過(guò)點(diǎn)Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，將三角形的面積用含t的式子表示出來(lái)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值；②由于三角形直角的位置不確定，需分情況討論，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式用勾股定理求解即可．
【詳解】
解：（1）由題意知：A(0,3),C(4,0)，
∵拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴，解得，，
∴拋物線的表達(dá)式為：．
(2)① ∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；
由，可得，∴D（2,3）．
過(guò)點(diǎn)Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，
∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，
∴△QFA∽△CBA．
∴，
∴．
同理：△CGP∽△CBA，
∴∴，∴，
當(dāng)時(shí)，△DPQ的面積最小.最小值為．
② 由圖像可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3)，AC=5,直線AC的解析式為：．
三角形直角的位置不確定，需分情況討論：
當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理可得出：
，
整理，解方程即可得解；
當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的位置，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C的位置，所需時(shí)間為t=3；
當(dāng)時(shí),同理用勾股定理得出：
；
整理求解可得t的值．
由此可得出t的值為：,,,,．
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)與幾何圖形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
24．已知拋物線過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過(guò)A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
【來(lái)源】上海市2021年中考數(shù)學(xué)真題
答案:（1）；（2）①1；②點(diǎn)C的坐標(biāo)是
分析：
(1)將兩點(diǎn)分別代入，得,解方程組即可;
（2）①根據(jù)AB=4,斜邊上的高為2,Q的橫坐標(biāo)為1,計(jì)算點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直線PQ的解析式，設(shè)點(diǎn)A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可.
【詳解】
解：（1）將兩點(diǎn)分別代入，得
解得．
所以拋物線的解析式是．
（2）①如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1．
②如圖3，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由，得
解得
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴，
所以．
所以．
將點(diǎn)代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（與點(diǎn)P重合，舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
25．一倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施，該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米，上部△CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)?！鱁MN是由電腦控制其變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN（MN可與CD重合）是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持與AB平行的伸縮橫桿。（當(dāng)MN在DC上方時(shí)，MD的長(zhǎng)度是MN到DC距離的倍）
（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，求此時(shí) △EMN的面積；
（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，求△EMN的面積S（平方米）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探究△EMN的面積S（平方米）有無(wú)最大值，若有，求出這個(gè)最大值；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由。
【來(lái)源】上海市黃浦區(qū)市八初級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
答案:（1）0.5平方米；（2）；（3）S有最大值，最大值為平方米
分析：
（1）根據(jù)題意得出當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN應(yīng)位于DC下方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米,可得出三角形EMN的面積．
（2）分兩種情況解答（0＜x≤；＜x＜2）．①當(dāng)0＜x≤時(shí)，可直接得出三角形的面積函數(shù)；②當(dāng)＜x＜時(shí)，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，先求FG，再證△MNG∽△DCG，繼而得出△EMN面積與x的函數(shù)；
（3）分兩種情況解答：①當(dāng)0＜x≤時(shí)， S=x，由一次函數(shù)性質(zhì)可得S的最大值；②當(dāng)＜x＜2時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在對(duì)稱軸時(shí)取得最大值，比較大小即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN應(yīng)位于DC下方如圖1
此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米．
在ABCD是矩形中，AB=CD=MN=2米，BC=AD=米，
∴S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面積為0.5平方米．
（2）①如圖1所示，當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即0＜x≤時(shí)，
△EMN的面積S=×2×x=x；
②如圖2所示，當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即＜x＜時(shí)，
連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴F為CD中點(diǎn)，GF⊥CD，且FG=．
∴EG=
，
∴MN＝4-
∴△EMN的面積S=
∴
（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)， S=x，
∴0＜S≤；
∴S的最大值=
②當(dāng)＜x＜時(shí)，
S=
當(dāng)時(shí)，S有最大值，且最大值為：
∴綜上所述：S有最大值，最大值為平方米．
【點(diǎn)睛】
本題二次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)生要學(xué)會(huì)利用圖形，數(shù)形相結(jié)合解答函數(shù)問(wèn)題，和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．
26．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊于點(diǎn)D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊于點(diǎn)E。
（1）以點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求BE的長(zhǎng)
（2）當(dāng)PD=PE時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，四邊形CDPE的面積為y，求出y與x的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍。
【來(lái)源】上海市虹口區(qū)魯迅初級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題
答案:（1）；（2）；（3），.
分析：
（1）根據(jù)勾股定理可求出AC和BC的長(zhǎng)，從而知AD的長(zhǎng)度，在中可求出AP的長(zhǎng)，則，又因可知，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得BE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)，由題（1）可知，在和中可以求出AP和BP的長(zhǎng)，再根據(jù)求解即可得；
（3）由可得DP、BP的長(zhǎng)，從而得BE和EP的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式可列出等式：，化簡(jiǎn)即可得，最后根據(jù)和聯(lián)立求x的取值范圍.
【詳解】
（1）由題意可得，在中，
點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)
在中可得，
又
在中，；
（2）設(shè)
由題（1）可知，在中，
在中，
又，即
解得
；
（3）設(shè)，則
在中，
在中，
即
化簡(jiǎn)得
由題意得，即
又，即
聯(lián)立解得
故出y與x的函數(shù)解析式為，自變量的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角三角形的定義和性質(zhì)（直角三角形中，所對(duì)直角邊等于斜邊的一半）、勾股定理、三角形的面積公式、一元二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.
27．如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(3, 0)、點(diǎn)B(0, 3)．點(diǎn)M(m, 0)在線段OA上（與點(diǎn)A、O不重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)P，與拋物線交于點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)BQ．
（1）求拋物線表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)OP，當(dāng)∠BOP＝∠PBQ時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí)，求m的值．
【來(lái)源】專題19 二次函數(shù)（二）（考點(diǎn)專練）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:(1) y＝x2＋2x＋3；(2) ；(3) m的值為2、或1.
分析：
（1）將點(diǎn)A (3, 0)、點(diǎn)B (0, 3) 分別代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2＋bx＋c，化簡(jiǎn)求出b，c的值即可；
（2）根據(jù)∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可證△OBP ∽△BPQ，可設(shè)Q（x，x2＋2x＋3），求出直線AB的解析式，則可得P 的坐標(biāo)為(x，3－x)，可得BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成立比例即可求解；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，②當(dāng)BP＝PQ時(shí)，③當(dāng)BP＝BQ時(shí)，然后分別求解即可.
【詳解】
（1）∵將點(diǎn)A (3, 0)、點(diǎn)B (0, 3) 分別代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2＋bx＋c得
，解之得：
∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x＋3
（2）
∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB
∴∠OBP ＝∠BPQ
∴△OBP ∽△BPQ
設(shè)Q（x，x2＋2x＋3）
∵P點(diǎn)在直線AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)，
則直線AB的解析式為：
∴ P (x，3－x)
∴BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x
∴ 即
∴（0舍去）
∴
（3）∵M(jìn)（m，0），P（m，3－m），Q（m，m2＋2m＋3）
∴BP＝m，PQ＝m2＋3m且∠BPQ＝45°
∴當(dāng)△BPQ為等腰三角形時(shí)，存在如下情況：
①如圖1，當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，即∠PBQ＝∠BPQ＝45°
∴△BPQ為等腰直角三角形 ∴m2＋2m＋3＝3
∴m＝2
②當(dāng)BP＝PQ時(shí),即m＝m2＋3m，即（0舍去）
③如圖2，當(dāng)BP＝BQ時(shí)，∠BQP＝∠BPQ＝45°
根據(jù)，，可得
則有 ，
∴m＝1
綜上所述，m的值為2、或1.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合，三角形的相似，特殊角使用，以及等線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化問(wèn)題，懂得綜合討論是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BF=EF，AB=12，設(shè)AE=x，BF=y．
（1）當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，求BF的長(zhǎng)；
（2）求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）把△ABE沿著直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，試探索：△A′BF能否為等腰三角形？如果能，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【來(lái)源】上海市浦東新區(qū)第四教育署2018-2019學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
答案:（1）；（2）（0＜x＜12）；（3）能，
分析：
（1）當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，求得∠ABE=30°，則可解Rt△ABE，求得BF即BE的長(zhǎng)．
（2）作EG⊥BF，垂足為點(diǎn)G，則四邊形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．即y2=（y-x）2+122．故可求得y與x的關(guān)系．
（3）當(dāng)把△ABE沿著直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，應(yīng)有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF-A′E=y-x=12，繼而結(jié)合（2）得到的y與x的關(guān)系式建立方程即可求得AE的值．
【詳解】
（1）當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，∠EBF=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，
∴BE=2AE，
設(shè)AE=x，則BE=2x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即122+x2=(2x)2，解得x=
∴AE=，BE=，
∴BF=BE=．
（2）作EG⊥BF，垂足為點(diǎn)G，
根據(jù)題意，得EG=AB=12，F(xiàn)G=y-x，EF=y，0＜AE＜12，
在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．
∴y2=（y-x）2+122，
∴所求的函數(shù)解析式為（0＜x＜12）．
（3）∵AD∥BC
∴∠AEB=∠FBE
∵折疊
∴∠AEB=∠FEB，
∴∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴點(diǎn)A′落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴-x=12．
整理得x2+24x-144=0，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)：都原方程的根，
但不符合題意，舍去，
當(dāng)AE=時(shí)，△A'BF為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形綜合題，涉及了等邊三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，函數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在梯形中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3），，求的面積關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系和自變量的取值范圍．

【來(lái)源】上海市外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2018-2019學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
答案:（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5秒時(shí)，；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）
分析：
（1）根據(jù)、可判定四邊形為平行四邊形，此時(shí)，可得方程，解方程即可得解；
（2）分別從當(dāng)在上時(shí)，四邊形為平行四邊形和當(dāng)在上時(shí)，四邊形為平行四邊形兩方面分析求解即可求得答案；
（3）分別從當(dāng)在線段上時(shí)、當(dāng)與重合時(shí)、當(dāng)在線段上時(shí)、當(dāng)在線段上時(shí)四方面進(jìn)行討論，從而確定的面積關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系和自變量的取值范圍．
【詳解】
解：（1）如圖示，
∵，
∴四邊形為平行四邊形
∴
又∵，
∴．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5秒時(shí)，．
（2）由題意知，此時(shí)有兩種情況，在上或在上，
①當(dāng)在上時(shí)，四邊形為平行四邊形
此時(shí)，
又∵，
∴
∴
∴滿足題意
②當(dāng)在上時(shí)，四邊形為平行四邊形
此時(shí)．
又∵，
∴
∴
∴滿足題意；
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，．
∵，
∴
∴．
∴
①如圖（1），
當(dāng)在線段上時(shí)，．
此時(shí)，，即：
．
②當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)不存在；
③當(dāng)在線段上時(shí)，如圖（2）
此時(shí)，且
即：
④當(dāng)在線段上時(shí)，如圖（3），聯(lián)結(jié)，過(guò)作，交于點(diǎn)
此時(shí)，且，即：．
梯形
又∵
∴
∴
∴．
∴
綜上所述，的面積關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍為
故答案是：（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5秒時(shí)，；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了動(dòng)點(diǎn)形成的幾何圖形綜合問(wèn)題，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大屬壓軸題目，需靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形認(rèn)真審題是解題的關(guān)鍵．
30．如圖，已知在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、射線上，且，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以、為鄰邊作平行四邊形，設(shè)，平行四邊形的面積為．
（1）當(dāng)平行四邊形為矩形時(shí)，求的正切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線經(jīng)過(guò)平行四邊形一邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的值．
【來(lái)源】專題02 分類(lèi)討論-決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品（上海專用）
答案:（1）；（2）；（3），．
分析：
（1）當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí)，PQ∥AB．根據(jù)tan∠PQM＝求解即可．
（2）如圖1中，延長(zhǎng)QN交AB于K．求出MK，PM，根據(jù)y＝PM?MK求解即可．
（3）分兩種情形：①如圖3?1中，當(dāng)平分MN時(shí)，D為MN的中點(diǎn)，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H，EG⊥BC于G．根據(jù)EG＝PC構(gòu)建方程求解．②如圖3?2中，當(dāng)平分NQ時(shí)，D是NQ的中點(diǎn)，作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H．根據(jù)PC＝GH構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】
（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí)，PQ∥AB．
∴tan∠PQM＝＝．
（2）如圖1中，延長(zhǎng)QN交AB于K．
∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，AB=10
∴sinA=csB==,csA=sinB=，
由，得BQ＝6?x，QN＝PM＝APsinA=x，AM＝APcsA=x，KQ＝BQsinB=BQ＝，BK＝BQcsB=BQ＝，
∴MK＝AB?AM?BK＝，
∵QN＜QK，
∴x＜，
∴x＜，
∴y＝PM?MK＝x×=（0≤x＜）．
（3）①如圖3?1中，當(dāng)平分MN時(shí)，D為MN的中點(diǎn)，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H，EG⊥BC于G．
∵PD∥BC，EN∥BC，
∴PD∥NE，
∵PE∥DN，
∴四邊形PDNE是平行四邊形，
∴PE＝DN，
∵DN＝DM，PQ＝MN，
∴PE＝EQ，
∵EG∥PC，
∴CG＝GQ，
∴EG＝PC，
∵四邊形EGHN是矩形，
∵
∴QN⊥AB
則∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90°
∴∠ABC=∠QNH
∴NH＝EG＝NQcs∠QNH= NQcs∠ABC =NQ＝PM＝×x =x，PC＝8?x，
∴x＝?（8?x），
解得x＝．
②如圖3?2中，當(dāng)平分NQ時(shí)，D是NQ的中點(diǎn)，作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H．
∵DH＝PC，
∴8?x＝?x，
解得x＝，
綜上所述，滿足條件x的值為或．
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
31．在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）的拋物線y＝ax2+2ax﹣3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，D為該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）直接寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸以及點(diǎn)B的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)、點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AD、DC、CB，求四邊形ABCD的面積；
（3）聯(lián)結(jié)AC．如果點(diǎn)E在該拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為H，線段EH交線段AC于點(diǎn)F．當(dāng)EF＝2FH時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【來(lái)源】熱點(diǎn)06 二次函數(shù)綜合題-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第2步大題奪高分
答案:（1）對(duì)稱軸為x＝﹣1，點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)依次為（1，0），（0，﹣3），（﹣1，﹣4）；（2）9；（3）（﹣2，﹣3）．
分析：
（1）由題意可知該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣1，而點(diǎn)A（-3，0），求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；
（2）根據(jù)題意將四邊形ABCD的面積分解為△DAM、梯形DMOC、△BOC的面積和，即可求解；
（3）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)E（x，x2+2x-3），則點(diǎn)F（x，-x-1），求出EF、FH長(zhǎng)度的表達(dá)式，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣1，而點(diǎn)A（﹣3，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∵c＝﹣3，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），
∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝﹣1，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB，垂足為M，
則OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（3）設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，
故直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3，
設(shè)點(diǎn)E（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)F（x，﹣x﹣1），
則EF＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，F(xiàn)H＝x+3，
∵EF＝2FH，
∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），
故m＝﹣2.
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣3）．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．
32．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；
（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【來(lái)源】2020年上海市寶山區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)二模試題
答案:（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣；（3）(1，﹣)或(1，﹣4)
分析：
（1）當(dāng)y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直線l：y＝kx+b過(guò)A（﹣1，0）可得k＝b，即得直線l：y＝kx+k，聯(lián)立拋物線與直線I的解析式為方程組，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，利用根與系數(shù)關(guān)系可得﹣3﹣＝﹣1×4，求出k＝a，即得直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a；
（2）如圖1，過(guò)E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），從而得出EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面積公式，可得S△ACE的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)論．
（3）分兩種情況討論，①如圖2，若AD是矩形ADPQ的一條邊，②如圖3，若AD是矩形APDQ的對(duì)角線，據(jù)此分別解答即可．
【詳解】
解：（1）當(dāng)y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），
∵直線l：y＝kx+b過(guò)A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直線l：y＝kx+k，
∵拋物線與直線l交于點(diǎn)A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a
（2）解：如圖1，過(guò)E作EF∥y軸交直線l于F，
設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
則F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面積的最大值═a，
∵△ACE的面積的最大值為，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣；
（3）解：以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
設(shè)P（1，m），
①如圖2，若AD是矩形ADPQ的一條邊，
則易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣
∴P（1，﹣）；
②如圖3，若AD是矩形APDQ的對(duì)角線，
則易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝18a，則P（1，8a），
∵四邊形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣4），
綜上所述，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
33．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE＝x．
（1）當(dāng)AM＝時(shí)，求x的值；
（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出該定值；
（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值．
【來(lái)源】2021年山東省臨沂市蒙陰縣九年級(jí)一模數(shù)學(xué)試題
答案:（1）x＝；（2）不變，△MDP的周長(zhǎng)為2；（3），當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，面積的最小值為
分析：
（1）利用折疊的性質(zhì)得ME＝BE＝x，則AE＝1－x，在根據(jù)勾股定理列式求出x的值；
（2）連接AM、BO，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MN，垂足為H，證明△BAM≌△BHM和Rt△BHP≌Rt△BCP，可以得到△PDM的周長(zhǎng)就等于AD＋DC，是定值；
（3）連接BM，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，證明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，設(shè)AM＝a，根據(jù)勾股定理列式得到a與x的關(guān)系式，表示出CF和BE長(zhǎng)，得到三角形面積表達(dá)式，再求出最值．
【詳解】
（1）由折疊可知ME＝BE＝x，
∴AE＝1－x，
在Rt△AEM中，由AM＝，得，
解得x＝；
（2）如圖，連接AM、BO，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MN，垂足為H，
∵EB＝EM，
∴∠EBM＝∠EMB，
∵∠EBC＝∠EMN，
∴∠MBC＝∠BMN，
∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，
∴△BAM≌△BHM，
∴AM＝HM，BH＝AB，
∵BC＝AB，
∴BH＝BC，
∵BP＝BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BCP，
∴HP＝PC，
∴△MDP的周長(zhǎng)＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，
∴△MDP的周長(zhǎng)為2；
（3）如圖，連接BM，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，
則QF＝BC＝AB，
∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，
∴∠BEF＝∠AMB，
∵∠A＝∠EQF，
∴△AMB≌△QEF，
∴AM＝EQ，
設(shè)AM＝a，則，
∴a＝，
∴CF＝x－，
∴S＝(CF＋BE)×1
＝( x－＋x)
＝(2 x－) ，
設(shè)＝t，則，
，
∴當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，面積的最小值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，折疊性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)最值的求解，需要掌握數(shù)形結(jié)合的思想．
34．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求以點(diǎn)A、點(diǎn)C及點(diǎn)D圍成的的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【來(lái)源】專題3.5 二次函數(shù)-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)精選考點(diǎn)專項(xiàng)突破題集（上海專用）
答案:（1），頂點(diǎn)（1,-4）（2）3（3）2+，2+．
分析：
（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)割補(bǔ)法即可求解三角形的面積；
（3）根據(jù)題意作圖，求出CP的傾斜角，再求出其解析式，聯(lián)立二次函數(shù)即可求解．
【詳解】
（1）把A,C坐標(biāo)代入得
解得
∴拋物線的解析式為=
∴頂點(diǎn)D（1,-4）；
（2）∵A（3,0），C（0,-3），D（1,-4）
∴的面積為3×4-×2×4-×1×1-×3×3=12-4--=3
（3）①當(dāng)P點(diǎn)在直線AC下方時(shí)，
∵OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，又∵∠PCA=15°
∴∠OCP=45°+15°=60°
故直線PC的傾斜角為90°-60°=30°，
設(shè)直線PC的解析式為y=x+b
把C（0，-3）代入得-3=b
∴直線PC的解析式為y=x-3
聯(lián)立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
②當(dāng)P’點(diǎn)在直線AC上方時(shí)，
∵∠OCA=45°，∠P’CA=15°
∴∠OCP’=45°-15°=30°
故直線P’C的傾斜角為90°-30°=60°，
設(shè)直線P’C的解析式為y=x+n
把C（0，-3）代入得-3=n
∴直線PC的解析式為y=x-3
聯(lián)立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
綜上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2+，2+．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法、割補(bǔ)法及二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的解析式求解方法．
35．如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O、點(diǎn)B（1，3），又與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，與拋物線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若∠BMP=∠AOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)N、C，若△ANC的面積等于△PMN的面積的2倍，求的值．
【來(lái)源】專題19 二次函數(shù)（二）（考點(diǎn)）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1）；（2）；（3）．
分析：
（1）過(guò)點(diǎn)B作 軸，垂足為點(diǎn)，由點(diǎn)B坐標(biāo)與可得點(diǎn)A坐標(biāo)，再分別代入拋物線方程即可求得；
（2）根據(jù)條件求得M坐標(biāo)，進(jìn)而得直線的表達(dá)式與直線的表達(dá)式，再求兩直線交點(diǎn)即可；
（3）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，則，求得與根據(jù)關(guān)系求得最后結(jié)果．
【詳解】
解：（1）
過(guò)點(diǎn)B作 軸，垂足為點(diǎn)，
，
，
，，
，
拋物線過(guò)原點(diǎn) 、點(diǎn)、，設(shè)拋物線的表達(dá)式為 ，

，
則拋物的線表達(dá)式為；
（2）
，
，
又 ，
`，
，
，
設(shè)，
在拋物線上，
，
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 、，
直線的表達(dá)式為，
且直線過(guò)點(diǎn)，
直線的表達(dá)式為，
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、 ，
直線的表達(dá)式為 ，

（3）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則
，


，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法與三角形有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
36．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．
【來(lái)源】2021年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題
答案:（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）Q（3，﹣2）；（3）8
分析：
（1）求出A、B坐標(biāo)代入y＝ax2+6x+c即可得答案；
（2）求出C坐標(biāo)，設(shè)P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)重合可列方程求解；
（3）CD與AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐標(biāo)，再求CN解析式及D坐標(biāo)即可得出答案．
【詳解】
解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
將A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0），
點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，
設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），
則BP的中點(diǎn)為（，），CQ的中點(diǎn)為（，），
∵四邊形BCPQ是平行四邊形，
∴線段BP的中點(diǎn)即是CQ的中點(diǎn)，
∴，
解得或，
∴Q（3，﹣2）；
（3）設(shè)CD與AB交于N，如圖：
∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），
∴CQ＝2，BQ＝3，
∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴，即＝，
∴QN＝，
設(shè)N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），
∴＝，
∴t＝或t＝，
∵在∠QCB內(nèi)作射線CD，
∴t＝，N（，﹣），
設(shè)CN解析式為y＝kx+b，將N（，﹣），C（1，0）代入得：
，
解得，
∴CN解析式為y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴Q（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)、平行四邊形及相似三角形綜合知識(shí)，解題關(guān)鍵是設(shè)出坐標(biāo)，利用相似三角形性質(zhì)求出QN的長(zhǎng)度．
37．如圖①拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），點(diǎn)C三點(diǎn)．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D（3，m）在第一象限的拋物線上，連接BC，BD．試問(wèn)，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【來(lái)源】江蘇省淮安市2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（二）
答案:（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣，）．（3）
分析：
（1）將A,B,C三點(diǎn)代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可確定表達(dá)式；
（2）在y軸上取點(diǎn)G，使CG＝CD＝3，構(gòu)建△DCB≌△GCB，求直線BG的解析式，再求直線BG與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即為P點(diǎn)，
（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，利用平移的性質(zhì)列出方程求解，分情況討論.
【詳解】
解：如圖：
（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），點(diǎn)C三點(diǎn)．
∴ 解得
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4．
（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+．
∵點(diǎn)D（3，m）在第一象限的拋物線上，
∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
連接CD，∴CD∥x軸，
∴∠DCB＝∠OBC＝45°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y軸上取點(diǎn)G，使CG＝CD＝3，
再延長(zhǎng)BG交拋物線于點(diǎn)P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，
∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
設(shè)直線BP解析式為yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得
k＝﹣，b＝1，
∴BP解析式為yBP＝﹣x+1．
yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+3x+4
當(dāng)y＝y(tǒng)BP 時(shí)，﹣x+1＝﹣x2+3x+4，
解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），
∴y＝，∴P（﹣，）．
（3） 理由如下，如圖
B(4，0),C(0，4) ，拋物線對(duì)稱軸為直線，
設(shè)N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)
第一種情況：當(dāng)MN與BC為對(duì)邊關(guān)系時(shí)，MN∥BC,MN=BC,
∴4-=0-m，∴m=
∴﹣m2+3m+4=,
∴；
或∴0-=4-m，
∴m=
∴﹣m2+3m+4=,
∴；
第二種情況：當(dāng)MN與BC為對(duì)角線關(guān)系，MN與BC交點(diǎn)為K,則K(2,2)，
∴
∴m=
∴﹣m2+3m+4=
∴
綜上所述，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)與圖形的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，方程思想及分類(lèi)討論思想是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題
38．二次函數(shù)y＝x2的圖象如圖，點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2，A3…An在y軸的正半軸上，點(diǎn)B1，B2，B3…Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，點(diǎn)C1，C2，C3…?n在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3C3…四邊形An﹣1BnAn?n都是正方形，則正方形An﹣1BnAn?n的周長(zhǎng)為_(kāi)____．
【來(lái)源】熱點(diǎn)08 二次函數(shù)-2021年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（上海專用）
答案:4n
分析：
根據(jù)四邊形A0B1A1C1是正方形，可得知△A0B1A1是等腰直角三角形，結(jié)合拋物線的解析式求出△A0B1A1的直角邊長(zhǎng)，同理求出直角△A1B2A2的直角邊長(zhǎng)……，找到直角三角形△An﹣1BnAn的直角邊長(zhǎng)的規(guī)律即可求出周長(zhǎng).
【詳解】
解：∵四邊形A0B1A1C1是正方形，∠A0B1A1＝90°，
∴△A0B1A1是等腰直角三角形．
設(shè)△A0B1A1的直角邊長(zhǎng)為m1，則B1（m，m）；
代入拋物線的解析式中得：（m）2＝m，
解得m1＝0（舍去），m1＝；
故△A0B1A1的直角邊長(zhǎng)為，
同理可求得等腰直角△A1B2A2的直角邊長(zhǎng)為2，
…
依此類(lèi)推，等腰直角△An﹣1BnAn的直角邊長(zhǎng)為n，
故正方形An﹣1BnAn?n的周長(zhǎng)為4n．
故答案是：4n．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及利用拋物線解析式求直角邊長(zhǎng)，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
39．某商場(chǎng)四月份的營(yíng)業(yè)額是200萬(wàn)元，如果該商場(chǎng)第二季度每個(gè)月?tīng)I(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，都為，六月份的營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，那么關(guān)于的函數(shù)解式是______．
【來(lái)源】上海市靜安區(qū)2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
答案:或
分析：
增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出五月份的營(yíng)業(yè)額，再根據(jù)題意表示出六月份的營(yíng)業(yè)額，即可列出方程求解．
【詳解】
解：設(shè)增長(zhǎng)率為x，則
五月份的營(yíng)業(yè)額為：，
六月份的營(yíng)業(yè)額為：；
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中增長(zhǎng)率問(wèn)題，若原來(lái)的數(shù)量為a，平均每次增長(zhǎng)或降低的百分率為x，經(jīng)過(guò)第一次調(diào)整，就調(diào)整到a×（1±x），再經(jīng)過(guò)第二次調(diào)整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增長(zhǎng)用“+”，下降用“”．
40．如圖，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上．設(shè)DE，矩形DEFG的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是______． （不需寫(xiě)出x的取值范圍）．
【來(lái)源】上海市黃浦區(qū)2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
答案:；
分析：
根據(jù)題意和三角形相似，可以用含的代數(shù)式表示出，然后根據(jù)矩形面積公式，即可得到與的函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】
解：四邊形是矩形，，上的高，，矩形的面積為，
，
，
，
得，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

相關(guān)試卷

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題16平面向量的線性運(yùn)算重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)：

這是一份滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題16平面向量的線性運(yùn)算重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)，共73頁(yè)。試卷主要包含了單選題，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題09利用相似求坐標(biāo)重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)：

這是一份滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題09利用相似求坐標(biāo)重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)，共47頁(yè)。試卷主要包含了單選題，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題07解直角三角形重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)：

這是一份滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題07解直角三角形重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)，共83頁(yè)。試卷主要包含了解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題07利用三角形的性質(zhì)求解重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題07利用三角形的性質(zhì)求解重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)
滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題02比例線段重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題02比例線段重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)
滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題01相似形重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題01相似形重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)
滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題01二次函數(shù)的定義重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題01二次函數(shù)的定義重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部