【考點(diǎn)1 二次函數(shù)的概念】
二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．

【例1】（2019秋?泰興市校級(jí)月考）下列函數(shù)關(guān)系式中，是的二次函數(shù)是　　
A． B．
C． D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得答案．
【答案】解：A、a＝0時(shí)，不是二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
B、不是二次函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
C、是二次函數(shù)，故C正確；
D、不含二次項(xiàng)，不是二次函數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：C．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)：y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)．
【變式1-1】（2019秋?文水縣期中）已知函數(shù)：①；②；③；④．其中，二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為　　
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)為二次函數(shù)即可得到結(jié)論．
【答案】解：根據(jù)定義②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2是二次函數(shù)
故選：B．
【方法總結(jié)】本題考查二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵正確理解二次函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
【變式1-2】（2019秋?蒼溪縣期中）已知函數(shù)，其圖象是拋物線， 則的取值是　　
A ． B ． C ． D ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)最高次數(shù)是二次，二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【答案】解：∵函數(shù)y＝（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其圖象是拋物線，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2．
故選：B．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義：形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函數(shù)，注意二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零是解題關(guān)鍵．
【變式1-3】（2019秋?南康區(qū)期中）若是二次函數(shù)，則等于　　
A． B．2 C． D．不能確定
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．
【答案】解：由題意，得
m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2，
故選：A．
【考點(diǎn)2 二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象】
【例2】（2019秋?花都區(qū)期中）在同一直角坐標(biāo)系中與圖象大致為　　
A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】本題由一次函數(shù)y＝ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象相比較看是否一致．
【答案】解：A、由拋物線可知，a＜0，b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項(xiàng)正確；
B、由拋物線可知，a＜0，b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由拋物線可知，a＞0，b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由拋物線可知，a＞0，b＞0，由直線可知，a＜0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
【方法總結(jié)】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象．解答該題時(shí)，一定要熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．
【變式2-1】（2018秋?廈門期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)圖形中給出的一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào)，進(jìn)而運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷圖形中給出的二次函數(shù)的圖象是否符合題意，根據(jù)選項(xiàng)逐一討論解析，即可解決問(wèn)題．
【答案】解：A、對(duì)于直線y＝﹣bx+a來(lái)說(shuō)，由圖象可以判斷，a＞0，b＜0；而對(duì)于拋物線y＝ax2+bx來(lái)說(shuō)，對(duì)稱軸x＝﹣＞0，在y軸的右側(cè)，符合題意，圖形正確．
B、對(duì)于直線y＝﹣bx+a來(lái)說(shuō)，由圖象可以判斷，a＜0，b＞0；而對(duì)于拋物線y＝ax2+bx來(lái)說(shuō)，圖象應(yīng)開(kāi)口向下，故不合題意，圖形錯(cuò)誤．
C、對(duì)于直線y＝﹣bx+a來(lái)說(shuō)，由圖象可以判斷，a＜0，b＜0；而對(duì)于拋物線y＝ax2+bx來(lái)說(shuō)，對(duì)稱軸＝﹣＜0，應(yīng)位于y軸的左側(cè)，故不合題意，圖形錯(cuò)誤，
D、對(duì)于直線y＝﹣bx+a來(lái)說(shuō)，由圖象可以判斷，a＞0，b＜0；而對(duì)于拋物線y＝ax2+bx來(lái)說(shuō)，圖象應(yīng)開(kāi)口向下，故不合題意，圖形錯(cuò)誤．
故選：A．
【方法總結(jié)】此主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的方法是首先根據(jù)其中一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào)，進(jìn)而判斷另一個(gè)函數(shù)的圖象是否符合題意；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)來(lái)分析、判斷、解答．
【變式2-2】（2019秋?沂水縣期中）在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為　　
A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】本題形數(shù)結(jié)合，一次函數(shù)y＝ax+b，可判斷a、c的符號(hào)；根據(jù)二次函數(shù)y＝a（x+c）2的圖象位置，可得a，c．經(jīng)歷：圖象位置﹣系數(shù)符號(hào)﹣圖象位置．
【答案】解：A、函數(shù)y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A錯(cuò)誤；
B、函數(shù)y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故B正確；
C、函數(shù)y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C錯(cuò)誤；
D、函數(shù)y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
【方法總結(jié)】此題考查二次函數(shù)圖象，利用一次函數(shù)，二次函數(shù)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)與圖象位置之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】（2016秋?工業(yè)園區(qū)期中）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象相交于、兩點(diǎn)，則函數(shù)的圖象可能是　　

A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】由直線y＝x與拋物線y＝ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)可知：方程ax2+bx+c＝x，即ax2+（b﹣1）x+c＝0有兩個(gè)同為異號(hào)的實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的根之間的關(guān)系即可得．
【答案】解：由圖象知直線y＝x與拋物線y＝ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，
∴方程ax2+bx+c＝x，即ax2+（b﹣1）x+c＝0有兩個(gè)同為異號(hào)的實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x+c的圖象與x軸的負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
故選：B．
【方法總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的根之間的關(guān)系，由題目已知圖象得出方程ax2+bx+c＝x，即ax2+（b﹣1）x+c＝0有兩個(gè)同為異號(hào)的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 二次函數(shù)的增減性】
【例3】（2018春?利津縣期末）設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為　　
A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】由二次函數(shù)解析式可知拋物線開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸為x＝﹣1．根據(jù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)距離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近來(lái)判斷縱坐標(biāo)的大小．
【答案】解：∵二次函數(shù)線y＝﹣（x+1）2+k，
∴該二次函數(shù)的拋物線開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸為：x＝﹣1．
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+k上的三點(diǎn)，
而三點(diǎn)橫坐標(biāo)離對(duì)稱軸x＝3的距離按由近到遠(yuǎn)為：
（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴y1＞y2＞y3
故選：A．
【方法總結(jié)】本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時(shí)考查了函數(shù)的對(duì)稱性及增減性．
【變式3-1】（2019秋?宣威市校級(jí)月考）已知二次函數(shù)，若自變量分別取，，，且，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，，的大小關(guān)系正確的是　　
A ． B ． C ． D ．
【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到拋物線對(duì)稱軸，則x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減小，于是由0＜x1＜x2＜x3即可得到y(tǒng)1，y2，y3的大小關(guān)系．
【答案】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣，
而拋物線開(kāi)口向下，
所以當(dāng)x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減小，
所以當(dāng)0＜x1＜x2＜x3時(shí)，y1＞y2＞y3．
故選：A．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
【變式3-2】（2018秋?建昌縣期中）已知拋物線過(guò)，，，四點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是　　
A． B． C． D．不能確定
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)可確定拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)開(kāi)口方向，C、D兩點(diǎn)與對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近，判斷y1與y2的大小關(guān)系．
【答案】解：∵拋物線過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝﹣1，
∵a＜0，拋物線開(kāi)口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
比較可知C點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值小，
即y1＜y2．
故選：C．
【方法總結(jié)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較拋物線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小，關(guān)鍵是確定對(duì)稱軸，開(kāi)口方向，兩點(diǎn)與對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近．
【變式3-3】（2018?南海區(qū)期中）已知二次函數(shù)中，其函數(shù)與自變量之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：


0
1
2
3



5
2
1
2

點(diǎn)，、，在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)，時(shí)，與的大小關(guān)系正確的是　　
A．y1≥y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意知圖象過(guò)（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程組，求出方程組的解即可得到拋物線的解析式，化成頂點(diǎn)式得到拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性得到A的對(duì)稱點(diǎn)，利用增減性即可得出答案．
【答案】解：根據(jù)題意知圖象過(guò)（0，5）（1，2）（2，1），
代入得：且，
解得：a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴拋物線的解析式是y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)在3和4之間，
當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故選：B．
【方法總結(jié)】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性判斷兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小是解此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)4 二次函數(shù)圖象的平移】
【例4】（2018秋?花都區(qū)期中）拋物線經(jīng)過(guò)平移得到，平移方法是　　
A．向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
B．向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
C．向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
D．向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
【思路點(diǎn)撥】由拋物線y＝﹣2x2得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），而平移后拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化尋找平移方法．
【答案】解：∵拋物線y＝﹣2x2得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
而平移后拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∴平移方法為向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位．
故選：D．
【方法總結(jié)】本題考查了拋物線的平移規(guī)律．關(guān)鍵是確定平移前后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，尋找平移規(guī)律．
【變式4-1】（2019?天津校級(jí)期中）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為．平移該拋物線，使點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸上，點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸上，則平移后的拋物線解析式為　　
A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】直接利用拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)求法分別得出A，B，M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出平移方向和距離，即可得出平移后解析式．
【答案】解：當(dāng)y＝0，則0＝x2﹣4x+3，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
y＝x2﹣4x+3
＝（x﹣2）2﹣1，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，﹣1），
∵平移該拋物線，使點(diǎn)M平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M'落在x軸上，點(diǎn)B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在y軸上，
∴拋物線向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度即可，
∴平移后的解析式為：y＝（x+1）2＝x2+2x+1．
故選：A．
【方法總結(jié)】此題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法以及二次函數(shù)的平移，正確得出平移方向和距離是解題關(guān)鍵．
【變式4-2】（2018秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線不動(dòng)，而把軸、軸分別向下、向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式為　　
A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移確定出拋物線的頂點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．
【答案】解：拋物線y＝2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
∵把x軸、y軸分別向下、向右平移2個(gè)單位，
∴在新坐標(biāo)系中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），
∴拋物線的解析式為y＝2（x+2）2﹣2．
故選：D．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式的變化更簡(jiǎn)便易懂．
【變式4-3】（2018秋?襄州區(qū)期中）將二次函數(shù)的圖象先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到二次函數(shù)的圖象，用，的值分別是　　
A．， B．， C．， D．，
【思路點(diǎn)撥】把二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝x2+bx+c的圖象．
【答案】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
把點(diǎn)（1，0）先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，﹣2），
∴原拋物線解析式為y＝（x﹣4）2﹣2，即y＝x2﹣8x+14，
即b＝﹣8，c＝14．
故選：C．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．
【考點(diǎn)5 二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系】
【例5】（2018秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）已知二次函數(shù)的圖象如下所示，下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤的實(shí)數(shù)），其中正確的結(jié)論有　　

A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【思路點(diǎn)撥】由拋物線對(duì)稱軸的位置判斷ab的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【答案】解：①∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，
∴ab＜0，
由圖象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正確；
②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a﹣c＞0，
故②正確；
③由對(duì)稱知，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
∴4a+c＞﹣2b，
故③正確；
④∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a+c＜0，
故④不正確；
⑤當(dāng)x＝1時(shí)，y的值最大．此時(shí)，y＝a+b+c，
而當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正確．
故②③⑤正確，
故選：C．
【方法總結(jié)】本題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
【變式5-1】（2018秋?蒼溪縣期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　　）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4
【思路點(diǎn)撥】利用二次函數(shù)圖象的相關(guān)知識(shí)與函數(shù)系數(shù)的聯(lián)系，需要根據(jù)圖形，逐一判斷．
【答案】解：∵拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正確；
∵把x＝1代入拋物線得：y＝a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3b+2c＜0，∴②正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c的值最大，
即把x＝m代入得：y＝am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm+b≤a，
即m（am+b）+b≤a，∴③正確；
∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，
則（a+c）2﹣b2＜0，
即（a+c）2＜b2，故④正確；
故選：D．
【方法總結(jié)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，在解題時(shí)要注意二次函數(shù)的系數(shù)與其圖象的形狀，對(duì)稱軸，特殊點(diǎn)的關(guān)系，也要掌握在圖象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法，同時(shí)注意特殊點(diǎn)的運(yùn)用．
【變式5-2】（2018秋?江岸區(qū)期中）已知二次函數(shù)，過(guò)，，．
①若時(shí)，則
②若時(shí)，則
③若，，且，則
④若，，且，則拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限
上述四個(gè)判斷正確的有　　個(gè)．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路點(diǎn)撥】①若y1＞0時(shí)，當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝a+b+c，此時(shí)，確定不了y的值，∴a+b+c＞0，正確；
②若a＝b時(shí)，即函數(shù)的對(duì)稱軸是x＝﹣，分兩種情況，a＝b＞0，則y2＞y1，否則，故y1＜y2，故錯(cuò)誤；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，a＞0，正確；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c的值代入上式得：a＞1，則b＞1，c＞﹣2，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解，正確．
【答案】解：①若y1＞0時(shí)，當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝a+b+c＞0此時(shí)，正確；
②若a＝b時(shí)，即函數(shù)的對(duì)稱軸是x＝﹣，也確定不了y1、y2的大小，故y1＜y2，錯(cuò)誤；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，
解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正確；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，
即：a+b+c＞0，
把b、c的值代入上式得：a＞1，
則b＞1，c＞﹣2，
頂點(diǎn)的x坐標(biāo)＝﹣＜0，頂點(diǎn)的y坐標(biāo)＝＝﹣2﹣＜0，
故頂點(diǎn)一定在第三象限，正確；
故選：C．
【方法總結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，涉及到函數(shù)基本性質(zhì)、解不等式等相關(guān)知識(shí)，難度較大．
【變式5-3】（2019?涼山州）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【思路點(diǎn)撥】①對(duì)稱軸為x＝﹣，得b＝3a；
②函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得△＝b2﹣4ac＞0；
③當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＞0，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；
④由對(duì)稱性可知x＝1時(shí)對(duì)應(yīng)的y值與x＝﹣4時(shí)對(duì)應(yīng)的y值相等，當(dāng)x＝1時(shí)a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；
【答案】解：由圖象可知a＜0，c＞0，對(duì)稱軸為x＝﹣，
∴x＝﹣＝﹣，
∴b＝3a，
①正確；
∵函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
②正確；
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＞0，
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，9a﹣3b+c＞0，
∴10a﹣4b+2c＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，
③正確；
由對(duì)稱性可知x＝1時(shí)對(duì)應(yīng)的y值與x＝﹣4時(shí)對(duì)應(yīng)的y值相等，
∴當(dāng)x＝1時(shí)a+b+c＜0，
∵b＝3a，
∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，
∴4b+3c＜0，
④錯(cuò)誤；
故選：A．
【方法總結(jié)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握從函數(shù)圖象獲取信息，將信息與函數(shù)解析式相結(jié)合解題是關(guān)鍵．
【考點(diǎn)6 二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系】
【例6】（2019春?天心區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)的圖象如圖所示，那么關(guān)于一元二次方程的根的情況是　　

A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【思路點(diǎn)撥】由圖可知ax2+bx+c﹣2＝0的根的情況即圖中圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)．
【答案】解：∵函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
∴直線y＝3與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴y＝ax2+bx+c﹣2，相當(dāng)于函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象向下平移2個(gè)單位，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0的根為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的知識(shí)，關(guān)鍵是通過(guò)看圖象直線y＝3與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【變式6-1】（2019春?安吉縣期中）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，若關(guān)于的一元二次方程為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是　　

A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5
【思路點(diǎn)撥】先利用拋物線的對(duì)稱軸方程求出m得到拋物線解析式為y＝﹣x2+4x，配方得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），再計(jì)算出當(dāng)x＝1或3時(shí)，y＝3，結(jié)合函數(shù)圖象，利用拋物線y＝﹣x2+4x與直線y＝t在1＜x＜3的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)可確定t的范圍．
【答案】解：∵拋物線y＝﹣x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴﹣＝2，解得m＝4，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+4x，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x2+4x＝3；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣x2+4x＝3，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜3的范圍內(nèi)有解，
∴拋物線y＝﹣x2+4x與直線y＝t在1＜x＜3的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)，
∴3＜t≤4．
故選：B．
【方法總結(jié)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
【變式6-2】（2018秋?福清市期中）函數(shù)中與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，方程兩實(shí)數(shù)根中有一個(gè)正根，下列對(duì)的估值正確的是　　


0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75






0.0725
0.19
0.3125

A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】利用x＝0.6時(shí)，y＝x2+x﹣1＝﹣0.04；x＝0.65時(shí)，y＝x2+x﹣1＝0.0725，從而可判斷當(dāng)0.6＜x＜0.65時(shí)，y＝x2+x﹣1的值能等于0，從而得到方程x2+x﹣1＝0一個(gè)正根x1的范圍．
【答案】解：∵x＝0.6時(shí)，y＝x2+x﹣1＝﹣0.04；x＝0.65時(shí)，y＝x2+x﹣1＝0.0725，
∴當(dāng)0.6＜x＜0.65時(shí)，y＝x2+x﹣1的值能等于0，
∴方程x2+x﹣1＝0兩實(shí)數(shù)根中有一個(gè)正根x1，則0.6＜x1＜0.65．
故選：C．
【方法總結(jié)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
【變式6-3】（2019秋?蕭山區(qū)期中）已知關(guān)于的方程，存在，是方程的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)，，，的大小關(guān)系可能是　　
A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】令拋物線解析式中y＝0，得到方程的解為a，b，即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，b，再由拋物線開(kāi)口向上得到a＜x＜b時(shí)y小于0，得到x＝m與n時(shí)函數(shù)值大于0，即可確定出m，n，a，b的大小關(guān)系．
【答案】解：令函數(shù)y＝2+（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn+2，
∴拋物線開(kāi)口向上，
令y＝0，根據(jù)題意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝﹣2的兩個(gè)根為a，b，
∵當(dāng)x＝m或n時(shí)，y＝2＞0，
∴實(shí)數(shù)m，n，a，b的大小關(guān)系為m＜a＜b＜n．
故選：A．
【方法總結(jié)】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，難度較大，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)7 二次函數(shù)解析式】
【例7】經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線解析式是　?。?br /> 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)A與B坐標(biāo)特點(diǎn)設(shè)出拋物線解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣4），把C坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出解析式．
【答案】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a＝3，即a＝﹣，
則拋物線解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，
故答案為y＝﹣x2+x+3．
【方法總結(jié)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
【變式7-1】若二次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：











3
5
3
則二次函數(shù)的解析式為　 ?。?br /> 【思路點(diǎn)撥】取三組對(duì)應(yīng)值（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c的值，從而得到拋物線解析式．
【答案】解：把（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得．
所以拋物線解析式為y＝﹣2x2﹣12x﹣13．
故答案為y＝﹣2x2﹣12x﹣13．
【方法總結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．
【變式7-2】（2019秋?榮成市期中）二次函數(shù)在時(shí)，有最小值，且函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為　 ?。?br /> 【思路點(diǎn)撥】由條件可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），可設(shè)頂點(diǎn)式，再把點(diǎn)（0，2）代入可求得函數(shù)的解析式．
【答案】解：∵二次函數(shù)在x＝時(shí)，有最小值，
∴拋物線的頂點(diǎn)是（，），
∴設(shè)此函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣）2﹣，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），
∴2＝a（0﹣）2﹣，
解得a＝1，
∴此函數(shù)的解析式為y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x+2．
故答案為y＝x2﹣3x+2．
【方法總結(jié)】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，在已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，通常用頂點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)的解析式．
【變式7-3】（2013秋?潛山縣校級(jí)月考）拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)為，，其形狀與拋物線相同，則拋物線解析式為　 ?。?br /> 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線形狀相同則a的值相同，再將（﹣1，0），（3，0）代入拋物線求出b，c的值即可．
【答案】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0），其形狀與拋物線y＝2x2相同，
∴或，
∴解得：或，
∴拋物線解析式為：y＝2x2﹣4x﹣6或y＝﹣2x2+4x+6．
故答案為：y＝2x2﹣4x﹣6或y＝﹣2x2+4x+6．
【方法總結(jié)】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，得出a的值是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)8 二次函數(shù)的應(yīng)用—銷售問(wèn)題】
【例8】（2018秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）某公司投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件15元的護(hù)眼臺(tái)燈．銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：，在銷售過(guò)程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，而每件的利潤(rùn)不高于成本價(jià)的．
（1）設(shè)該公司每月獲得利潤(rùn)為（元，求每月獲得利潤(rùn)（元與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍．
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，利潤(rùn)＝（定價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量，從而列出關(guān)系式；
（2）首先確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)其增減性確定最大利潤(rùn)即可；
【答案】解：（1）由題意，得：w＝（x﹣15）?y＝（x﹣15）?（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，
即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；

（2）對(duì)于函數(shù)w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的圖象的對(duì)稱軸是直線x＝27.5
又∵a＝﹣20＜0，拋物線開(kāi)口向下．
∴當(dāng)15≤x≤24時(shí)，W隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝24時(shí)，W＝2880，
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為24元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是2880元．
【方法總結(jié)】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查拋物線的基本性質(zhì)，另外將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．
【變式8-1】（2019春?宿豫區(qū)期中）某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，設(shè)襯衫的單價(jià)降元，每天獲利元．
（1）如果商場(chǎng)里這批襯衫的庫(kù)存只有44件，那么襯衫的單價(jià)應(yīng)降多少元，才能使得這批襯衫一天內(nèi)售完，且獲利最大，最大利潤(rùn)是多少？
（2）如果商場(chǎng)銷售這批襯衫要保證每天盈利不少于1200元，那么襯衫的單價(jià)應(yīng)降多少元？
【思路點(diǎn)撥】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)題意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
【答案】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，
∵20+2x≥44，
∴x≥12，
∵y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝12時(shí)，獲利最大值1232；
答：如果商場(chǎng)里這批襯衫的庫(kù)存只有44件，那么襯衫的單價(jià)應(yīng)12元，才能使得這批襯衫一天內(nèi)售完，且獲利最大1232元；
（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
當(dāng)y＝1200時(shí)，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴x＝10或x＝20，
∵當(dāng)x＜15時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞15時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)10≤x≤20時(shí)，y≥1200，
答：如果商場(chǎng)銷售這批襯衫要保證每天盈利不少于1200元，那么襯衫的單價(jià)應(yīng)降不少于10元且不超過(guò)20元；
【方法總結(jié)】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)；能夠從情境中列出函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；
【變式8-2】（2019春?安吉縣期中）為建設(shè)美麗家園，某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為的空地進(jìn)行綠化，一部分種草，剩余部分栽花，設(shè)種草部分的面積為，種草所需費(fèi)用（元與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，栽花所需費(fèi)用（元與的函數(shù)關(guān)系式為．
（1）求（元與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)這塊空地的綠化總費(fèi)用為（元，請(qǐng)利用與的函數(shù)關(guān)系式，求綠化總費(fèi)用的最大值．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法即可求得y1（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式
（2）總費(fèi)用為W＝y(tǒng)1+y2，列出函數(shù)關(guān)系式即可求解
【答案】解：
（1）依題意
當(dāng)0≤x≤600時(shí)，y1＝k1x，將點(diǎn)（600，18000）代入得18000＝600k1，解得k1＝30
∴y1＝30x
當(dāng)600＜x≤1000時(shí)，y1＝k2x+b，將點(diǎn)（600，18000），（1000，26000）代入得
，解得
∴y1＝20x+600
綜上，y1（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為：
（2）總費(fèi)用為：W＝y(tǒng)1+y2
∴W＝
整理得
故綠化總費(fèi)用W的最大值為32500元
【方法總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)在生活中的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)函數(shù)解析式即可求最大值，但要注意自變量的取值范圍．
【變式8-3】（2019秋?沂源縣期末）某公司生產(chǎn)的某種商品每件成本為20元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商
品在未來(lái)40天內(nèi)的日銷售量（件與時(shí)間（天的關(guān)系如下表：
時(shí)間（天
1
3
5
10
36

日銷售量（件
94
90
86
76
24

未來(lái)40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y1（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y1＝t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格y2（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）．
下面我們就來(lái)研究銷售這種商品的有關(guān)問(wèn)題：
（1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的（件與（天之間的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來(lái)40天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？
【思路點(diǎn)撥】（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤(rùn)＝日銷售量×每件利潤(rùn)，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論．
【答案】解：（1）經(jīng)分析知：m與t成一次函數(shù)關(guān)系．設(shè)m＝kt+b（k≠0），
將t＝1，m＝94，t＝3，m＝90
代入，
解得，
∴m＝﹣2t+96；

（2）前20天日銷售利潤(rùn)為P1元，后20天日銷售利潤(rùn)為P2元，
則P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，
∴當(dāng)t＝14時(shí)，P1有最大值，為578元．
P2＝（﹣2t+96）?（t+40﹣20）＝﹣t2+8t+1920＝（t﹣44）2﹣16，
∵當(dāng)21≤t≤40時(shí)，P2隨t的增大而減小，
∴t＝21時(shí)，P2有最大值，為513元．
∵513＜578，
∴第14天日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為578元．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性；（2）最值問(wèn)題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．同時(shí)注意自變量的取值范圍．
【考點(diǎn)9 二次函數(shù)的應(yīng)用—面積問(wèn)題】
【例9】（2018秋?開(kāi)封期中）如圖，用長(zhǎng)的籬笆沿墻建造一邊靠墻的矩形菜園，已知墻長(zhǎng)，設(shè)矩形的寬為．
（1）用含的代數(shù)式表示矩形的長(zhǎng)；
（2）設(shè)矩形的面積為，用含的代數(shù)式表示矩形的面積，并求出自變量的取值范圍；
（3）這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)菜園的寬AB為xm，于是得到BC為（30﹣2x）m；
（2）由面積公式寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出x的取值范圍；
（3）利用二次函數(shù)求最值的知識(shí)可得出菜園的最大面積．
【答案】解：（1）∵AB＝CD＝xm，
∴BC＝（30﹣2x）m，

（2）由題意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；

（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴當(dāng)x＝7.5時(shí)，S有最大值，S最大＝112.5，
此時(shí)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為15m、寬為7.5m．
答：這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為15m、7.5m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是112.5m2．
【方法總結(jié)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般，應(yīng)注意配方法求最大值在實(shí)際中的應(yīng)用．
【變式9-1】（2018秋?洛陽(yáng)期中）為了節(jié)省材料，小浪底水庫(kù)養(yǎng)殖戶小李利用水庫(kù)的岸堤（足夠長(zhǎng)）為一邊，用總長(zhǎng)為120米的網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)的長(zhǎng)度為，矩形區(qū)域的面積為．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量的取值范圍；
（2）請(qǐng)你幫養(yǎng)殖戶小李計(jì)算一下邊多長(zhǎng)時(shí)，養(yǎng)殖區(qū)面積最大，最大面積為多少？

【思路點(diǎn)撥】（1）三個(gè)矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；
（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．
【答案】解：（1）∵三個(gè)矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，
∴BC×DF＝BC×FC，
∴2FC＝DC，
2BC+8FC＝120，
∴FC＝，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），
即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；
（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675
可知：當(dāng)BC為30米是，養(yǎng)殖區(qū)ABCD面積最大，最大面積為675平方米．
【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大值的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答．
【變式9-2】（2018秋?洪山區(qū)期中）如圖，是一塊邊長(zhǎng)為8米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形的形狀，其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，設(shè)的長(zhǎng)為米，改造后苗圃的面積為平方米．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不需寫自變量的取值范圍）；
（2）若改造后的矩形苗圃的面積與原正方形苗圃的面積相等，此時(shí)的長(zhǎng)為　　米．
（3）當(dāng)為何值時(shí)改造后的矩形苗圃的最大面積？并求出最大面積．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面積可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)題意可得正方形苗圃ABCD的面積為64，進(jìn)而可得矩形苗圃AEFG的面積為64，進(jìn)而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【答案】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，
故答案為：y＝﹣2x2+8x+64；

（2）根據(jù)題意可得：﹣2x2+8x+64＝64，
解得：x1＝4，x2＝0（不合題意，舍去），
答：BE的長(zhǎng)為4米；
故答案為：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；
（3）解析式變形為：y＝﹣2（x﹣2）2+72，
所以當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值，
∴當(dāng)x為2時(shí)改造后的矩形苗圃AEFG的最大面積，最大面積為72平方米．
【方法總結(jié)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．
【變式9-3】（2018秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為，用長(zhǎng)為的籬笆圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，設(shè)花圃的一邊的長(zhǎng)為，面積為．
（1）若與之間的函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍；
（2）若要圍成的花圃的面積為，則的長(zhǎng)應(yīng)為多少？

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式以及x的取值范圍；
（2）令y＝45代入（1）中的函數(shù)解析式，即可求得x的值，注意x的取值范圍．
【答案】解：（1）由題意可得，
y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵24﹣3x≤10，3x＜24，
解得，x≥且x＜8，
∴，
即y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣3x2+24x（）；
（2）當(dāng)y＝45時(shí)，
45＝﹣3x2+24x，
解得，x1＝3（舍去），x2＝5，
答：AB的長(zhǎng)應(yīng)為5m．
【方法總結(jié)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【考點(diǎn)10 二次函數(shù)的應(yīng)用—拋物線問(wèn)題】
【例10】（2019秋?南海區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知排球場(chǎng)的長(zhǎng)度為18米，位于球場(chǎng)中線處球網(wǎng)的高度為2.4米，一隊(duì)員站在點(diǎn)處發(fā)球，排球從點(diǎn)的正上方1.6米的點(diǎn)向正前方飛出，當(dāng)排球運(yùn)行至離點(diǎn)的水平距離為6米時(shí)，到達(dá)最高點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)球上升的最大高度為3.4米時(shí)，對(duì)方距離球網(wǎng)的點(diǎn)處有一隊(duì)員，他起跳后的最大高度為3.1米，問(wèn)這次她是否可以攔網(wǎng)成功？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．
（2）若隊(duì)員發(fā)球既要過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，問(wèn)排球飛行的最大高度的取值范圍是多少？（排球壓線屬于沒(méi)出界）

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)此時(shí)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3.4），設(shè)解析式為y＝a（x﹣6）2+3.4，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入即可求得；由解析式求得x＝9.4時(shí)y的值，與他起跳后的最大高度為3.1米比較即可得；
（2）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+h，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入得到用h表示a的式子，再根據(jù)球既要過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界即x＝9時(shí)，y＞2.4且x＝18時(shí)，y≤0得出關(guān)于h的不等式組，解之即可得．
【答案】解：（1）根據(jù)題意知此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，3.4），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+3.4，
將點(diǎn)C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，
解得：a＝﹣，
∴排球飛行的高度y與水平距離x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣（x﹣6）2+；
由題意當(dāng)x＝9.5時(shí)，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，
故這次她可以攔網(wǎng)成功；

（3）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+h，
將點(diǎn)C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝，
∴此時(shí)拋物線解析式為y＝（x﹣6）2+h，
根據(jù)題意，得：，
解得：h≥3.025，
答：排球飛行的最大高度h的取值范圍是h≥3.025．
【方法總結(jié)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用題，求范圍的問(wèn)題，可以利用臨界點(diǎn)法求出自變量的值，再根據(jù)題意確定范圍．
【變式10-1】（2019秋?臺(tái)安縣期中）一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心距離底面的距離為．
（1）求球在空中運(yùn)行的最大高度為多少？
（2）如果該運(yùn)動(dòng)員跳投時(shí)，球出手離地面的高度為，要想投入籃筐，則問(wèn)他距離藍(lán)筐中心的水平距離是多少？

【思路點(diǎn)撥】（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得；
（2）分別求出y＝3.05和y＝2.25時(shí)x的值即可得出答案．
【答案】解：（1）∵y＝﹣x2+的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
∴球在空中運(yùn)行的最大高度為m；

（2）當(dāng)y＝3.05時(shí)，﹣0.2x2+3.5＝3.05，
解得：x＝±1.5，
∵x＞0，
∴x＝1.5；
當(dāng)y＝2.25時(shí)，﹣0.2x2+3.5＝2.25，
解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，
由1.5+2.5＝4（m），
故他距離籃筐中心的水平距離是4米．
【方法總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在點(diǎn)正上方的處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度與水平距離之間滿足函數(shù)表達(dá)式，已知點(diǎn)與球網(wǎng)的水平距離為，球網(wǎng)的高度為．
（1）當(dāng)時(shí)，①求的值；②通過(guò)計(jì)算判斷此球能否過(guò)網(wǎng)．
（2）若甲發(fā)球過(guò)網(wǎng)后，羽毛球飛行到與點(diǎn)的水平距離為，離地面的高度為的處時(shí)，乙扣球成功，求的值．

【思路點(diǎn)撥】（1）①將點(diǎn)P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5時(shí)，y的值，與1.55比較即可得出判斷；
（2）將（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．
【答案】解：（1）①當(dāng)a＝﹣時(shí)，y＝﹣（x﹣4）2+h，
將點(diǎn)P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，
解得：h＝；
②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能過(guò)網(wǎng)；

（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：
，
解得：，
∴a＝﹣．
【方法總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2019秋?蕭山區(qū)期中）小明跳起投籃，球出手時(shí)離地面，球出手后在空中沿拋物線路徑運(yùn)動(dòng)，并在距出手點(diǎn)水平距離處達(dá)到最高．已知籃筐中心距地面，與球出手時(shí)的水平距離為，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）此次投籃，球能否直接命中籃筐中心？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，在出手的角度和力度都不變的情況下，球出手時(shí)距離地面多少米可使球直接命中籃筐中心？
（3）在籃球比賽中，當(dāng)進(jìn)攻方球員要投籃時(shí)，防守方球員常借身高優(yōu)勢(shì)及較強(qiáng)的彈跳封殺對(duì)方，這就是平常說(shuō)的蓋帽．（注：蓋帽應(yīng)在球達(dá)到最高點(diǎn)前進(jìn)行，否則就是“干擾球”，屬犯規(guī)．若此時(shí)，防守方球員乙前來(lái)蓋帽，已知乙的最大摸球高度為，則乙在進(jìn)攻方球員前多遠(yuǎn)才能蓋帽成功？

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，4），設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手時(shí)離地面m，可知拋物線與y軸交點(diǎn)為（0，），代入可求出a的值，寫出解析式；
（2）先計(jì)算當(dāng)x＝8時(shí)，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球經(jīng)過(guò)（8，3），則拋物線得向上平移3﹣＝個(gè)單位，即球出手時(shí)距離地面3米可使球直接命中籃筐中心；
（3）將由y＝3.19代入函數(shù)的解析式求得x值，進(jìn)而得出答案．
【答案】（本題12分）
（1）設(shè)拋物線為y＝a（x﹣4）2+4，
將（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，
解得a＝﹣，
∴所求的解析式為y＝﹣（x﹣4）2+4；

（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝≠3，
∴拋物線不過(guò)點(diǎn)（8，3），
故不能正中籃筐中心；
∵拋物線過(guò)點(diǎn)（8，），
∴要使拋物線過(guò)點(diǎn)（8，3），可將其向上平移7/9個(gè)單位長(zhǎng)度，故小明需向上多跳m再投籃（即球出手時(shí)距離地面3米）方可使球正中籃筐中心．
（3）由（1）求得的函數(shù)解析式，
當(dāng)y＝3.19時(shí)，3.19＝﹣19（x﹣4）2+4
解得：x1＝6.7（不符合實(shí)際，要想蓋帽，必須在籃球下降前蓋帽，否則無(wú)效），
x2＝1.3
∴球員乙距離甲球員距離小于1.3米時(shí)，即可蓋帽成功．
【方法總結(jié)】本題是二次函數(shù)的應(yīng)用，屬于?？碱}型，此類題的解題思路為：①先根據(jù)已知確定其頂點(diǎn)和與y軸交點(diǎn)或x軸交點(diǎn)，求解析式；②根據(jù)圖形中的某點(diǎn)坐標(biāo)得出相應(yīng)的結(jié)論．
【考點(diǎn)11 二次函數(shù)與圖形面積的綜合】
【例11】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)在該拋物線上，求的值．

【思路點(diǎn)撥】（1）由拋物線解析式確定出頂點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)OA＝OB確定出B坐標(biāo)，將B坐標(biāo)代入解析式求出a的值，即可確定出解析式；
（2）將C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值，確定出C坐標(biāo)，過(guò)C作CD垂直于x軸，三角形ABC面積＝梯形OBCD面積﹣三角形ACD面積﹣三角形AOB面積，求出即可．
【答案】解：（1）由題意得：A（﹣1，0），B（0，﹣1），
將x＝0，y＝﹣1代入拋物線解析式得：a＝﹣1，
則拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2＝﹣x2﹣2x﹣1；
（2）過(guò)C作CD⊥x軸，
將C（﹣3，b）代入拋物線解析式得：b＝﹣4，即C（﹣3，﹣4），
則S△ABC＝S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB＝×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1＝3．

【方法總結(jié)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
【變式11-1】（2019?新余模擬）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（非原點(diǎn)），求點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；

【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；
（2）由拋物線的解析式與一次函數(shù)的解析式構(gòu)成方程組，求出其解即可求出B的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出直線AB的解析式，就可以求出AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可以求出△AOB的面積；
【答案】解：（1）拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，由題意，得
0＝a（2﹣1）2﹣3，
解得：a＝3，
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝3（x﹣1）2﹣3；
（2）由題意，得
，
解得：．
∵交點(diǎn)不是原點(diǎn)，
∴B（3，9）．
如圖2，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴y＝6x﹣9．
當(dāng)y＝0時(shí)，y＝1.5．
∴E（1.5，0），
∴OE＝1.5，
∴S△AOB＝S△AOE+S△BOE，
＝+，
＝9．
答：B（3，9），△AOB的面積為9；
【變式11-2】（2019春?利津縣期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，求的值最小時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．

【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．求出直線AC的解析式即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸與點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M（x，x2+x﹣2），則AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根據(jù)S 四邊形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【答案】解：（1）由 y＝0，得 x2+x﹣2＝0 解得 x＝﹣2 x＝l，
∴A（﹣2，0），B（l，0），
由 x＝0，得 y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．

（2）連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

設(shè)直線 AC 為 y＝kx+b，則﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得 k＝﹣l，y＝﹣x﹣2．
對(duì)稱軸為 x＝﹣，當(dāng) x＝﹣時(shí)，y＝_（﹣）﹣2＝﹣，
∴P（﹣，﹣）．

（3）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸與點(diǎn)N，

設(shè)點(diǎn)M（x，x2+x﹣2），則AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，
S 四邊形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝（x+2）（﹣x2﹣x+2）+（2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+×1×2
＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4．
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)x＝_l時(shí)，S四邊形ABCM的最大值為4．
【方法總結(jié)】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、兩點(diǎn)之間線段最短、最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決在性質(zhì)問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【變式11-3】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)與．
（1）求，的值；
（2）點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象上，兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，寫出四邊形的面積關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式，并求的最大值．

【思路點(diǎn)撥】（1）把A與B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a與b的值即可；
（2）如圖，過(guò)A作x軸的垂直，垂足為D（2，0），連接CD，過(guò)C作CE⊥AD，CF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，分別表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面積，之和即為S，確定出S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出x的范圍，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可確定出S的最大值，以及此時(shí)x的值．
【答案】解：（1）將A（2，4）與B（6，0）代入y＝ax2+bx，
得，解得：；
（2）如圖，過(guò)A作x軸的垂線，垂足為D（2，0），連接CD、CB，過(guò)C作CE⊥AD，CF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，
S△OAD＝OD?AD＝×2×4＝4；
S△ACD＝AD?CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；
S△BCD＝BD?CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，
則S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，
∴S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為16．

【方法總結(jié)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)12 與二次函數(shù)有關(guān)的存在性問(wèn)題】
【例12】已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（c＞0）過(guò)點(diǎn)C（﹣1，0），且與直線y＝7﹣2x只有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線y＝﹣x+3與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c得c＝b+1，聯(lián)立拋物線y＝﹣x2+bx+b+1與直線y＝7﹣2x，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二元一次方程，令△＝0求b的值即可；
（2）直線y＝﹣x+3與（1）中拋物線求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式求對(duì)稱軸，根據(jù)線段AB為等腰三角形的腰或底，分別求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】解：（1）把點(diǎn)C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c＝0，解得c＝b+1，
聯(lián)立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b＝0，
∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，
解得b＝﹣10或2，
∵c＝b+1＞0，∴b＝2，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在滿足題意的點(diǎn)Q．
聯(lián)立，
解得或，
則A（0，3），B（3，0），
由拋物線y＝﹣x2+2x+3，可知拋物線對(duì)稱軸為x＝1，
由勾股定理，得AB＝3，
當(dāng)AB為腰，∠A為頂角時(shí)，Q（1，3+）或（1，3﹣）；
當(dāng)AB為腰，∠B為頂角時(shí)，Q（1，）或（1，﹣）；
當(dāng)AB為底時(shí)，Q（1，1）．
故滿足題意的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．

【方法總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求出拋物線解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式12-1】（2019?齊齊哈爾一模）如圖， 過(guò)點(diǎn)、的拋物線與軸交于點(diǎn)，它的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
（1） 求拋物線解析式；
（2） 求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3） 若拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)使，求此時(shí)的長(zhǎng) ．

【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求出△POC的面積，由三角形的面積關(guān)系得出PF＝3，求出直線BC的解析式，得出F的坐標(biāo)，再分兩種情況討論，即可得出DP的長(zhǎng)．
【答案】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：b＝2，c＝3，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
（3）設(shè)BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，如圖所示：
則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，
∵y＝﹣x2+2x+3，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴OC＝3，
∴△POC的面積＝×3×1＝，
∵△PCB的面積＝△PCF的面積+△PBF的面積＝PF（1+2）＝3×，
解得：PF＝3，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+a，則，
解得：a＝3，k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，
∴F的坐標(biāo)為（1，2），
∴EF＝2，
當(dāng)點(diǎn)P在F的上方時(shí)，PE＝PF+EF＝5，
∴DP＝5﹣4＝1；
當(dāng)點(diǎn)P在F的下方時(shí)，PE＝PF﹣EF＝3﹣2＝1，
∴DP＝4+1＝5；
綜上所述：DP的長(zhǎng)為1或5．

【方法總結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式；求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與y的交點(diǎn)坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．
【變式12-2】如圖， 已知拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)， 與軸交于點(diǎn)， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線與直線交于、兩點(diǎn) ． 連接、．
（1） 求的值 ．
（2） 拋物線上有一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo) ．

【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）利用方程組首先求出點(diǎn)D坐標(biāo)．由面積關(guān)系，推出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
【答案】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+3過(guò)（3，0），
∴0＝﹣9+3m+3，
∴m＝2
（2）由，得，，
∴D（，﹣），
∵S△ABP＝4S△ABD，
∴AB×|yP|＝4×AB×，
∴|yP|＝9，yP＝±9，
當(dāng)y＝9時(shí)，﹣x2+2x+3＝9，無(wú)實(shí)數(shù)解，
當(dāng)y＝﹣9時(shí)，﹣x2+2x+3＝﹣9，x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．
【方法總結(jié)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型．
【變式12-3】（2018?綏陽(yáng)縣模擬）如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在拋物線上點(diǎn)和點(diǎn)之間是否存在一點(diǎn)使得四邊形的面積最大，若存在求出四邊形的最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）直線上有一點(diǎn)，使得時(shí)，過(guò)作軸于，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【思路點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先求出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，再建立四邊形OBHC的面積于點(diǎn)H橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論；
（3）先確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法得出直線BD的解析式，利用PC＝PE建立方程即可求出a，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)G，N的坐標(biāo)，利用FM＝MG建立方程求解即可得出結(jié)論．
【答案】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣4，所以點(diǎn)D（﹣1，﹣4）
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，所以點(diǎn)C（0．﹣3）
設(shè)點(diǎn)H（a，a2+2a﹣3）（﹣3＜a＜﹣1）
所以S四邊形OBHC＝S△OBH+S△OCH
＝OB×|a2+2a﹣3|+OC×|a|
＝（3﹣2a﹣a2）﹣a
＝﹣a2﹣+
當(dāng)a＝﹣＝﹣時(shí)，S四邊形OBHC＝．

（3）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），拋物線的頂點(diǎn)D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
設(shè)直線BD的解析式為y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直線BD的解析式為y＝﹣2x﹣6，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣2m﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根據(jù)勾股定理得，PE2＝（m+1）2+（﹣2m﹣6）2，PC2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∵PC＝PE，
∴（m+1）2+（﹣2m﹣6）2＝m2+（﹣2m﹣6+3）2，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣2×（﹣2）﹣6＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
如圖，作PF⊥x軸于F，
∴F（﹣2，0），
設(shè)M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有FM＝MG，
∴|d+2|＝|d2+2d﹣3|，
∴d＝或d＝，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．

【方法總結(jié)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是用PC＝PE建立方程求解，解（3）的關(guān)鍵是解絕對(duì)值方程，是一道中等難度的中考?？碱}．

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