等腰三角形的存在性問題
【方法1 幾何法】“兩圓一線”
（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；
（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．
注意：若有重合的情況，則需排除．
以點 C1 為例，具體求點坐標：
過點A作AH⊥x軸交x軸于點H，則AH=1，
又
類似可求點 C2 、C3、C4 ．關于點 C5 考慮另一種方法．
【方法2 代數(shù)法】點-線-方程
表示點：設點C5坐標為?m,0?，又A（1,1）、B（4,3），
表示線段：

聯(lián)立方程：，，
直角三角形的存在性
【方法1 幾何法】“兩線一圓”
（1）若∠A 為直角，過點 A 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點即為所求點 C；
（2）若∠B 為直角，過點 B 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點即為所求點 C；
（3）若∠C 為直角，以 AB 為直徑作圓，與 x 軸的交點即為所求點 C．（直徑所對的圓周角為直角）

如何求得點坐標？以為例：構(gòu)造三垂直．


【方法2 代數(shù)法】點-線-方程
【考點1 等腰角形的存在性】
【典例1】（2020?泰安）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有一點E（0，﹣2），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．
【變式1-2】（2020?貴港）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC．當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．
【變式1-2】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C坐標為（0，3），對稱軸為x＝1．點M為線段OB上的一個動點（不與兩端點重合），過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．
（1）求拋物線及直線BC的表達式；
（2）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點2 直角三角形的存在性】
【典例2】（2021秋?建華區(qū)期末）拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B（1，0）、C（0，﹣3）三點．點D為拋物線的頂點，連接AD、AC、BC、DC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在一點E，使△ADE為直角三角形？若存在，請你直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式2-1】（2022?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，拋物線與x軸交于點A（1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；
（2）連接BC，在拋物線的對稱軸上是否存在一點E，使△BCE是直角三角形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式2-2】（2022?碑林區(qū)校級四模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y軸于點C（0，5）．
（1）求拋物線C1的表達式和頂點D的坐標．
（2）將拋物線C1關于y軸對稱的拋物線記作C2，點E為拋物線C2上一點若△DOE是以DO為直角邊的直角三角形，求點E的坐標．
【變式2-3】（2022?武功縣模擬）如圖，經(jīng)過點A（2，6）的直線y＝x+m與y軸交于點B，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點B，拋物線的對稱軸為直線l．
（1）求點B的坐標和拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在l右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得以P、A、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點3 等腰直角三角形的存在性】
【典例3】（2022?黔東南州一模）拋物線y＝ax2+bx﹣經(jīng)過點（1，﹣1），現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如圖的方式放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A、C坐標分別為（0，2）、（﹣1，0）．B點在拋物線y＝ax2+bx﹣圖象上．
（1）求點B的坐標：
（2）求拋物的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由．
【變式1-1】（2022?興寧區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C（2，﹣3），且與x軸交于原點及點B（8，0），點A為拋物線的頂點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，請求出點M的坐標．如果不存在，請說明理由；
【變式3-2】（2022?禪城區(qū)二模）如圖，拋物線經(jīng)過原點O，對稱軸為直線x＝2且與x軸交于點D，直線l：y＝﹣2x﹣1與y軸交于點A，與拋物線有且只有一個公共點B，并且點B在第四象限，直線l與直線x＝2交于點C．
（1）連接AD，求證：AD⊥AC．
（2）求拋物線的函數(shù)關系式．
（3）在直線l上有一點動點P，拋物線上有一動點Q，當△PBQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形時，直接寫出此時點P的坐標．
1．（2022?榆陽區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝mx2+4x+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．直線y＝x﹣3經(jīng)過B，C兩點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線的頂點為M，在該拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使得以C，M，P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2022?嵐山區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A（﹣3，0），B（8，0）兩點，交y軸于點C，點P是拋物線上一個動點，且點P的橫坐標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，將直線BC沿y軸向下平移5個單位，交x軸于點M，交y軸于點N．過點P作x軸的垂線，交直線MN于點D，是否存在一點P，使△BMD是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的m的值；若不存在，請說明理由．
3．（2022?興寧區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線y＝﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
4．（2022?鞍山模擬）拋物線與坐標軸交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式；
（3）如圖2，點E是拋物線上第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的一點，連接EC，點D是拋物線的對稱軸上的一點，連接ED、CD，當△CED是以點E為頂點的等腰直角三角形時，直接寫出點E的橫坐標．
5．（2022?渭濱區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．
（1）求拋物線的表達式；
（2）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

相關試卷

人教版數(shù)學九上期末復習講練專項13 二次函數(shù)與幾何綜合-特殊平行四邊形存在問題（2份，原卷版+解析版）：

這是一份人教版數(shù)學九上期末復習講練專項13 二次函數(shù)與幾何綜合-特殊平行四邊形存在問題（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版數(shù)學九上期末復習講練專項13二次函數(shù)與幾何綜合-特殊平行四邊形存在問題原卷版doc、人教版數(shù)學九上期末復習講練專項13二次函數(shù)與幾何綜合-特殊平行四邊形存在問題解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共54頁， 歡迎下載使用。

人教版數(shù)學九上期末復習講練專項09 二次函數(shù)的字母系數(shù)的相關問題（2份，原卷版+解析版）：

這是一份人教版數(shù)學九上期末復習講練專項09 二次函數(shù)的字母系數(shù)的相關問題（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版數(shù)學九上期末復習講練專項09二次函數(shù)的字母系數(shù)的相關問題原卷版doc、人教版數(shù)學九上期末復習講練專項09二次函數(shù)的字母系數(shù)的相關問題解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

初中數(shù)學滬科版（2024）九年級上冊21.5 反比例函數(shù)課堂檢測：

這是一份初中數(shù)學滬科版（2024）九年級上冊21.5 反比例函數(shù)課堂檢測，文件包含滬科版數(shù)學九上同步講與練專題2114反比例函數(shù)中的存在性問題專項訓練30道原卷版doc、滬科版數(shù)學九上同步講與練專題2114反比例函數(shù)中的存在性問題專項訓練30道解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共69頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

滬科版（2024）九年級上冊21.1 二次函數(shù)習題

滬科版（2024）九年級上冊21.1 二次函數(shù)習題
滬教版暑假新九年級數(shù)學考點講與練第21講二次函數(shù)中面積的存在性問題(考點講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學考點講與練第21講二次函數(shù)中面積的存在性問題(考點講與練)(原卷版+解析)
滬教版暑假新九年級數(shù)學考點講與練第20講二次函數(shù)中梯形的存在性問題(考點講與練)(原卷版+解析)

滬教版暑假新九年級數(shù)學考點講與練第20講二次函數(shù)中梯形的存在性問題(考點講與練)(原卷版+解析)
第17講 重難點專項突破03二次函數(shù)綜合之“特殊三角形存在性”問題-初中人教版八升九數(shù)學暑假銜接（教師版+學生版）

第17講 重難點專項突破03二次函數(shù)綜合之“特殊三角形存在性”問題-初中人教版八升九數(shù)學暑假銜接（教師版+學生版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部