滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第18講二次函數(shù)中的線段相等與和差倍半問題(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．(2023?黃浦區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x＝3，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD．當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．
2.(2023閔行區(qū)二模24）（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x＝3，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線y＝kx+b，經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD，當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．
3．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，二次函數(shù)y=?13x2+bx+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），P是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C都不重合）．
（1）求拋物線解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線PB與直線AC相交于點(diǎn)M，且存在這樣的點(diǎn)P，使得PM：MB＝1：2，試確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
4．如圖，拋物線y=?43x2+bx+c過點(diǎn)A（3，0），B（0，2）．M（m，0）為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合），過點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P、N．
（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，那么求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）如果以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【過關(guān)檢測(cè)】
1.(2023楊浦一模24）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、BC，AP與線段BC相交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與線段BC交于點(diǎn)H，如果PF＝PH，求線段PH的長(zhǎng)度．
2．(2023?楊浦區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在直線y=12x上，過點(diǎn)P的直線交x軸正半軸于點(diǎn)A，交直線y＝3x于點(diǎn)B，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．
（1）如圖1，當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，求BPAP的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），且BP＝2AP時(shí)，將過點(diǎn)A的拋物線y＝﹣x2+mx上下方平移，使它過點(diǎn)B，求平移的方向和距離．
3．(2023秋?金山區(qū)期末）已知：拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和B（1，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)P，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求∠PAQ的度數(shù)；
（3）把拋物線向上或者向下平移，點(diǎn)B平移到點(diǎn)C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的拋物線解析式．
4．(2023?閔行區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F．如果EFBF=14，求△BCE的面積．
5.(2023長(zhǎng)寧二模）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn).
（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將上述拋物線向下平移1個(gè)單位，平移后的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)，求的面積；
（3）如果點(diǎn)在原拋物線上，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)交線段于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo).
圖7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
O
x
y
6.(2023浦東二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
第18講二次函數(shù)中的線段相等與和差倍半問題（核心考點(diǎn)講與練）
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023?黃浦區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x＝3，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD．當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．
分析：（1）利用待定系數(shù)法和拋物線對(duì)稱軸公式即可求解；
（2）先求出頂點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)△BOE的面積為3求出BE，進(jìn)而求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）分BD∥OE和BD與OE不平行兩種情況，分別求出D坐標(biāo)，利用余切定義即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），對(duì)稱軸為直線x＝3，
∴?m?2=3?25+5m+n=0，
∴m=6n=?5，
∴拋物線表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，
∴拋物線頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），
由△BOE的面積為3得12BE×3＝3，
∴BE＝2，
∵點(diǎn)E在線段BC上，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為E（3，2），
把點(diǎn)E（3，2）和點(diǎn)A（5，0）代入y＝kx+b得，
5k+b=03k+b=2，
∴k=?1b=5，
∴直線的表達(dá)式為y＝﹣x+5；
（3）如圖，①若BD∥OE，
∵BD＝EO，
∴四邊形OEBD為平行四邊形，
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2），
連接DA，
∴ct∠DAO=OADO=52；
②若BD不平行OE，如圖D′，
則四邊形OEBD′為等腰梯形，
做BF⊥y軸于F，則D′F＝DF＝2，
∴點(diǎn)D′坐標(biāo)為（0，6），
連接D′A，
∴ct∠D′AO=AOD'O=56，
綜上所述，此時(shí)∠DAO的余切值為52或56．
【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，余切定義等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，解第（3）步時(shí)要注意分類討論思想應(yīng)用．
2.(2023閔行區(qū)二模24）（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x＝3，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線y＝kx+b，經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD，當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．
分析：（1）利用待定系數(shù)法和拋物線對(duì)稱軸公式即可求解；
（2）先求出頂點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)△BOE的面積為3求出BE，進(jìn)而求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）分BD∥OE和BD與OE不平行兩種情況，分別求出D坐標(biāo)，利用余切定義即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，3），
∴，
∴，
∴拋物線表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣6；
（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，
∴拋物線頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，4），
由△BOE的面積為3得BE×3＝3，
∴BE＝2，
∵點(diǎn)E在線段BC上，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為E（3，3），
把點(diǎn)E（3，2）和點(diǎn)A（8，
，
∴，
∴直線表達(dá)式為y＝﹣x+5；
（3）如圖，①若BD∥OE，
則四邊形OEBD1為平行四邊形，
則點(diǎn)D4坐標(biāo)為（0，2），
連接D5A，
∴ct∠D1AO＝＝，
綜上所述，此時(shí)∠DAO的余切值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，余切定義等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，解第（3）步時(shí)要注意分類討論思想應(yīng)用．
3．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，二次函數(shù)y=?13x2+bx+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），P是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C都不重合）．
（1）求拋物線解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線PB與直線AC相交于點(diǎn)M，且存在這樣的點(diǎn)P，使得PM：MB＝1：2，試確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出b的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）代入y＝0求出x值，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）（解法一）代入x＝0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，12m+2），分B、P在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況考慮，由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)結(jié)合PM：MB＝1：2即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（解法二）代入x＝0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，過點(diǎn)B作BB′∥y軸交直線AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)P作PP′∥y軸交直線AC于點(diǎn)P′，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出BB′的值，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得出PP′的值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，?13x2?56x+2），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，12x+2），結(jié)合PP′的值可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣4，0）在二次函數(shù)y=?13x2+bx+2的圖象上，
∴?163?4b+2＝0，
∴b=?56．
∴拋物線解析式為：y=?13x2?56x+2；
（2）由（1）得y=?13x2?56x+2，
當(dāng)y＝0時(shí)，有?13x2+bx+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2=32，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（32，0）．
（2）（方法一）當(dāng)x＝0時(shí)，y=?13x2?56x+2＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+c（k≠0），
將A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：?4k+c=0c=2，解得：k=12c=2，
∴直線AC的解析式為y=12x+2．
假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，12m+2）．
①當(dāng)點(diǎn)P、B在直線AC的異側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（32m?34，34m+3），
∵點(diǎn)P在拋物線y=?13x2?56x+2上，
∴34m+3=?13×（32m?34）2?56×（32m?34）+2，
整理，得：12m2+20m+9＝0．
∵Δ＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，
∴方程無解，即不存在符合題意得點(diǎn)P；
②當(dāng)點(diǎn)P、B在直線AC的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12m+34，14m+1），
∵點(diǎn)P在拋物線y=?13x2?56x+2上，
∴14m+1=?13×（12m+34）2?56×（12m+34）+2，
整理，得：4m2+44m﹣9＝0，
解得：m1=?11+1302，m2=?11+1302，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2?1304或﹣2+1304．
綜上所述：存在點(diǎn)P，使得PM：MB＝1：2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2?1304或﹣2+1304．
（方法二）當(dāng)x＝0時(shí)，y=?13x2?56x+2＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+c（k≠0），
將A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：?4k+c=0c=2，解得：k=12c=2，
∴直線AC的解析式為y=12x+2．
過點(diǎn)B作BB′∥y軸交直線AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)P作PP′∥y軸交直線AC于點(diǎn)P′，如圖1﹣1所示．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（32，0），
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（32，114），
∴BB′=114．
∵BB′∥PP′，
∴△PP′M∽△BB′M，
∴PP'BB'=PMBM=12，
∴PP′=118．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，?13x2?56x+2），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，12x+2），
∴PP′＝|?13x2?56x+2﹣（12x+2）|＝|13x2+43x|=118，
解得：x1＝﹣2?1304，x2＝﹣2+1304，
∴存在點(diǎn)P，使得PM：MB＝1：2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2?1304或﹣2+1304．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積、勾股定理、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（3）（解法一）分B、P在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況找出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（解法二）利用相似三角形的性質(zhì)找出PP′=118．
4．如圖，拋物線y=?43x2+bx+c過點(diǎn)A（3，0），B（0，2）．M（m，0）為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合），過點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P、N．
（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，那么求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）如果以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求直線和拋物線解析式；
（2）先表示出N（m，?43m2+103m+2），P（m，?23m+2），則計(jì)算出NP=?43m2+4m，PM=?23m+2，則利用NP＝PM得到?43m2+4m=?23m+2，然后解方程求出m即可得到N點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB=13，BP=133m，NP=?43m2+4m，由于∠BPN＝∠ABO，利用相似三角形的判定方法，當(dāng)PBOB=PNBA時(shí)，△BPN∽△OBA，則△BPN∽△MPA，即133m：2＝（?43m2+4m）：13；當(dāng)PBBA=PNOB時(shí)，△BPN∽△ABO，則△BPN∽△APM，即133m：13=（?43m2+4m）：2，然后分別解關(guān)于m的方程即可得到對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝px+q，
把A（3，0），B（0，2）代入得3p+q=0q=2，解得p=?23q=2，
∴直線AB的解析式為y=?23x+2；
把A（3，0），B（0，2）代入y=?43x2+bx+c得?43×32+3b+c=0c=2，解得b=103c=2，
∴拋物線解析式為y=?43x2+103x+2；
（2）∵M(jìn)（m，0），MN⊥x軸，
∴N（m，?43m2+103m+2），P（m，?23m+2），
∴NP=?43m2+4m，PM=?23m+2，
而NP＝PM，
∴?43m2+4m=?23m+2，解得m1＝3（舍去），m2=12，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（12，103）；
（3）∵A（3，0），B（0，2），P（m，?23m+2），
∴AB=32+22=13，BP=m2+(?23m+2?2)2=133m，
而NP=?43m2+4m，
∵M(jìn)N∥OB，
∴∠BPN＝∠ABO，
當(dāng)PBOB=PNBA時(shí)，△BPN∽△OBA，則△BPN∽△MPA，即133m：2＝（?43m2+4m）：13，
整理得8m2﹣11m＝0，解得m1＝0（舍去），m2=118，
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（118，0）；
當(dāng)PBBA=PNOB時(shí)，△BPN∽△ABO，則△BPN∽△APM，即133m：13=（?43m2+4m）：2，
整理得2m2﹣5m＝0，解得m1＝0（舍去），m2=52，
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（52，0）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（118，0）或（52，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；靈活應(yīng)用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．
【過關(guān)檢測(cè)】
1.(2023楊浦一模24）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、BC，AP與線段BC相交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與線段BC交于點(diǎn)H，如果PF＝PH，求線段PH的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）∵y＝﹣x2+x+2，
∴對(duì)稱軸為直線x＝，
令y＝0，則﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
∴E（，），
設(shè)直線AE的解析式為y＝k'x+n，
∴，
∴，
∴y＝x+，
聯(lián)立，
∴x＝3或x＝﹣1（不符合題意，舍去），
∴P（3，2）；
（3）解法一：設(shè)P（t，﹣t2+t+2），則H（t，﹣t+2），
∴PH＝﹣t2+2t，
設(shè)直線AP的解析式為y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝x+，
聯(lián)立，
∴x＝，
∴F（，），
直線AP與y軸交點(diǎn)E（0，），
∴CE＝2﹣＝，
∵PF＝PH，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵PG∥y軸，
∴∠ECF＝∠PHF，
∵∠CFE＝∠PFH，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝EF，
∴（）2＝（）2+（﹣）2，
∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，
∴t＝，
∴PH＝﹣t2+2t＝．
2．(2023?楊浦區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在直線y=12x上，過點(diǎn)P的直線交x軸正半軸于點(diǎn)A，交直線y＝3x于點(diǎn)B，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．
（1）如圖1，當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，求BPAP的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），且BP＝2AP時(shí)，將過點(diǎn)A的拋物線y＝﹣x2+mx上下方平移，使它過點(diǎn)B，求平移的方向和距離．
分析：（1）設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，由于∠OAB＝90°，即AB⊥x軸，所以P、B橫坐標(biāo)也是a，分別代入直線解析式求P、B縱坐標(biāo)，相減即能得到用a表示的BP、AP的值．
（2）分別過點(diǎn)P、B作x軸垂線，垂足分別為D、C，根據(jù)平行線分線段定理可得CDDA=BPPA=2．設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，把A坐標(biāo)代入得y＝kx﹣6k．把直線AB解析式分別與直線OP、OB解析式聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)P、B的橫坐標(biāo)（用k表示）即點(diǎn)D、C橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到用k表示CD、DA的式子．根據(jù)CD＝2AD為等量關(guān)系列方程即求得k的值，即得到點(diǎn)B坐標(biāo)．把點(diǎn)A代入原拋物線解析式求m，由于上下平移，故可在原拋物線解析式后+n以表示平移后的拋物線，把點(diǎn)B代入即求得n的值．n為負(fù)數(shù)時(shí)即表示向下平移．
【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，0）（a＞0）
∵∠OAB＝90°，點(diǎn)B在直線y＝3x上，點(diǎn)P在直線y=12x上
∴B（a，3a），P（a，12a）
∴BP＝3a?12a=52a，AP=12a
∴BPAP=52a12a=5
（2）如圖，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D
∴BC∥PD
∵BP＝2AP
∴CDDA=BPPA=2
∴CD＝2DA
設(shè)直線AB解析式為：y＝kx+b
∵A（6，0）
∴6k+b＝0，得b＝﹣6k
∴直線AB解析式為y＝kx﹣6k
當(dāng)12x＝kx﹣6k時(shí)，解得：x=12k2k?1
∴xD＝xP=12k2k?1
當(dāng)3x＝kx﹣6k時(shí)，解得：x=6kk?3
∴xC＝xB=6kk?3
∴CD＝xD﹣xC=12k2k?1?6kk?3，AD＝6﹣xD＝6?12k2k?1
∴12k2k?1?6kk?3=2（6?12k2k?1）
解得：k＝﹣2
∴xB=6×(?2)?2?3=125，yB＝3xB=365，即B（125，365）
∵拋物線y＝﹣x2+mx過點(diǎn)A
∴﹣36+6m＝0，解得：m＝6
設(shè)平移后過點(diǎn)B的拋物線解析式為y＝﹣x2+6x+n
∴﹣（125）2+6×125+n=365
解得：n=?3625
∴拋物線向下平移了3625個(gè)單位長(zhǎng)度．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段定理，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元一次方程、分式方程的解法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．平面直角坐標(biāo)系中不平行于坐標(biāo)軸的線段的比可通過作坐標(biāo)軸的垂直線構(gòu)造平行線，再利用平行線分線段定理轉(zhuǎn)換．函數(shù)圖象上下平移的規(guī)律即函數(shù)值上加下減一個(gè)常數(shù)．
3．(2023秋?金山區(qū)期末）已知：拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和B（1，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)P，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求∠PAQ的度數(shù)；
（3）把拋物線向上或者向下平移，點(diǎn)B平移到點(diǎn)C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的拋物線解析式．
分析：（1）先將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入拋物線解析式，求得b與c的值，然后得到拋物線的解析式；
（2）先求得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后得到∠PAQ的度數(shù)；
（3）分情況討論，①向上平移，②向下平移，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求得PC和BQ的長(zhǎng)度，然后列出方程求得平移的距離，最后求得到平移后的解析式．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，
c=1?1+b+c=4，解得：b=4c=1，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+4x+1．
（2）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，5），對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0），
∵A（0，1），
∴PA=25，QA=5，PQ＝5，
∴PA2+QA2＝PQ2，
∴∠PAQ＝90°．
（3）∵B（1，4），Q（2，0），
∴BQ=17，
①當(dāng)點(diǎn)B向上平移a個(gè)單位時(shí)，C′（1，4+a），
∵P（2，5），
∴PC′=1+(a?1)2=17，
解得：a＝5或a＝﹣3（舍），
∴拋物線向上平移5個(gè)單位，
∴平移后的拋物線解析式是y＝﹣x2+4x+6；
②當(dāng)點(diǎn)B向下平移a個(gè)單位時(shí)，C′′（1，4﹣a），
∵P（2，5），
∴PC′′=1+(1+a)2=17，
解得：a＝3或a＝﹣5（舍），
∴拋物線向下平移3個(gè)單位，
∴平移后的拋物線解析式是y＝﹣x2+4x﹣2；
綜上所述，平移后的拋物線解析式是y＝﹣x2+4x+6或y＝﹣x2+4x﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的解析式、拋物線的頂點(diǎn)式、勾股定理，解題的關(guān)鍵是會(huì)用兩點(diǎn)間的距離公式求得線段BQ和CP的長(zhǎng)度．
4．(2023?閔行區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F．如果EFBF=14，求△BCE的面積．
分析：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，即可求解；
（2）BC=(3?0)2+(0?3)2=32，cs∠ABH=HBAB=OBBC=22，則BH=2，則AH=2，CH＝22，即可求解；
（3）由S△BCE=12CB×EF，即可求解．
【解答】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x﹣3，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）；
（2）聯(lián)結(jié)AC、BC．過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
BC=(3?0)2+(0?3)2=32，
在Rt△BOC和Rt△BHA中，∠AHB＝∠COB＝90°．
∴cs∠ABH=HBAB=OBBC=22，∴BH=2，
則AH=2，CH＝22，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，
∴tan∠ACB=AHCH=12；
（3）聯(lián)結(jié)BE．設(shè)EF＝a．
由EFBF=14得：得 BF＝4a，
又∵tan∠ACB=EFCF=12，
∴CF＝2a，
∴BC＝BF+FC＝6a，
∴6a＝32，
解得：a=122，
即：EF=122，
∴S△BCE=12CB×EF=12×122×32=32．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、面積的計(jì)算等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，但難度不大．
5.(2023長(zhǎng)寧二模）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn).
（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將上述拋物線向下平移1個(gè)單位，平移后的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)，求的面積；
（3）如果點(diǎn)在原拋物線上，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)交線段于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo).
圖7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
O
x
y
解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線
∴，解得（2分）
∴拋物線的解析式為，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2分）
（2）拋物線與軸交于點(diǎn)
平移后的拋物線表達(dá)式為：，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2分）
過點(diǎn)做軸，垂足為點(diǎn)
∴ （2分）
（3）∵直線經(jīng)過點(diǎn)、，∴直線的表達(dá)式為：
設(shè)對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)，則 ∵ ∴ （1分）
過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)，則 ∴ （1分）
∵ ∴ ∴
∴ ∴ （舍去）或（1分）
∴ （1分）
6.(2023浦東二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【整體分析】
（1）根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)可得出c的值，然后由對(duì)稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x，可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB的長(zhǎng)，再求出MN的長(zhǎng)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱可求出OE的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，F(xiàn)G=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在拋物線的圖象上，可得關(guān)于a的方程，把a(bǔ)的值代入P點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案．
【滿分解答】
解：（1）將點(diǎn)C（0，3）代入得c=3，
又拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-=1，解得b=2，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3；
（2）如圖，
令y=0，則-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，
∵，∴MN=×4=3，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，
代入二次函數(shù)表達(dá)式得，y=，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴CE=2×（3-）=，
∴OE=OC-CE=；
（3）如圖，過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，F(xiàn)G=-a+3-=-a+．
∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，
∴．
∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．
∴，
∴EQ=EG=a，PQ=FG=（-a+）=-a+，
∴xP=a，yP=-a++=-a+，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a+），
又點(diǎn)P在拋物線y=-x2+2x+3上，
∴-a+=-a2+3a+3，化簡(jiǎn)得9a2-18a+5=0，
解得a=或a=，符合題意，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，)．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及解一元二次方程等知識(shí)，綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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