知識總結(jié)：
線段中點坐標公式
2.平行四邊形頂點公式：
分類：
三個定點，一個動點問題
已知三個定點的坐標，可設出拋物線上第四個頂點的坐標，運用平行四邊形頂點坐標公式列方程（組）求解。這種題型由于三個定點構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論；
兩個定點、兩個動點問題
這中題型往往比較特殊，一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一條直線上。設出拋物線上的動點坐標，另一個動點若在x軸上，縱坐標為0，則用平行四邊形頂點縱坐標公式；若在y軸上，橫坐標為0，則用平行四邊形頂點橫坐標公式。該動點哪個坐標已知就用與該坐標有關的公式。
方法總結(jié)：
這種題型，關鍵是合理有序分類：無論式三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為頂點，分別以這三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，份三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標公式轉(zhuǎn)化為方程（組），這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣，其本質(zhì)用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、屬性結(jié)合的思想。
【考點1 三定一動類型】
【典例1】（2022?樂業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標是2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標；
（3）在平面直角坐標系中，是否存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為x＝1，
∵A、B關于直線x＝1對稱，所以AC與對稱軸的交點為點P，
此時C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此時△BPC的周長最短，
∵點C的橫坐標是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
設直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，
當x＝1時，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一點E，使得以E、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），設E（x，y），
①當AB為對角線時，
則，
解得：，
∴E（0，3）；
②當AC為對角線時，
則，
解得：，
∴E（﹣2，﹣3）；
③當BC為對角線時，
則，
解得：，
∴E（6，﹣3）．
綜上所述，E點坐標為（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【變式1-1】（2022?寶山區(qū)模擬）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，頂點為D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求經(jīng)過A、D兩點的直線的表達式；
（3）設P為直線AD上一點，且以A、P、C、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．
【解答】解：（1）設y＝ax2+bx+c，
將點A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴D（2，1），
設直線AD的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣1；
（3）設P（t，t﹣1），
①當AB為平行四邊形的對角線時，t＝1+3＝4，
∴P（4，3）；
②當AC為平行四邊形的對角線時，1＝3+t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣3）；
③當AP為平行四邊形的對角線時，t+1＝3，
∴t＝2，
∴P（2，1），
此時﹣3+0≠1+0，
∴P（2，1）不符合題意；
綜上所述：P點的坐標為（4，3）或（﹣2，﹣3）．
【變式1-2】（2021秋?建昌縣期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方的拋物線上時，求△PBC的最大面積，并直接寫出此時P點坐標；
（3）若點M在拋物線的對稱軸上，以B，C，P，M為頂點、BC為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，
由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
設直線BC的解析式為y＝kx+3，
∵點B（﹣3，0），
∴﹣3k+3＝0，
∴k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x+3，
過點P作PQ∥y軸交BC于Q，
設P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△PBC＝PQ（xC﹣xB）＝（﹣m2﹣3m）[0﹣（﹣3）]＝﹣（m+）2+，
∴當m＝﹣時，△PBC的最大面積為，此時，點P的坐標為（﹣，）；
（3）能是平行四邊形；
如圖2，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1，
∴設點M（﹣1，a），P（n，﹣n2﹣2n+3），
假設存在以B，C，P，M為頂點、BC為邊的四邊形是平行四邊形，
①當四邊形BCMP是平行四邊形時，
∵點C（0，3），B（﹣3，0），
∴（n+0）＝（[﹣3+（﹣1）]，
∴n＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣5），
②當四邊形BCP'M'是平行四邊形時，
∵點C（0，3），B（﹣3，0），
∴[n+（﹣3）]＝（[0+（﹣1）]，
∴n＝2，
∴P（2，﹣5），
即：滿足條件的點P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．
【考點2 兩定兩動類型】
【典例2】（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）E是直線BC上方拋物線上的一動點，當點E到直線BC的距離最大時，求點E的坐標；
（3）Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，
∴點B，C的坐標分別為B（0，4），C（4，0），
把點B（0，4）和點C（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴拋物線的解析式為．
（2）∵BC為定值，
∴當△BEC的面積最大時，點E到BC的距離最大．
如圖，過點E作EG∥y軸，交直線BC于點G．
設點E的坐標為，則點G的坐標為（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴當m＝2時，S△BEC最大．此時點E的坐標為（2，4）．
（3）存在．由拋物線可得對稱軸是直線x＝1．
∵Q是拋物線對稱軸上的動點，∴點Q的橫坐標為1．
①當BC為邊時，點B到點C的水平距離是4，
∴點Q到點P的水平距離也是4．
∴點P的橫坐標是5或﹣3，∴點P的坐標為或；
②當BC為對角線時，點Q到點C的水平距離是3，
∴點B到點P的水平距離也是3，∴點P的坐標為．
綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，
點P的坐標是或或．
【變式2-1】（2022?南京模擬）已知，如圖，拋物線與坐標軸相交于點A（﹣1，0），C（0，﹣3）兩點，對稱軸為直線x＝1，對稱軸與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點F為二次函數(shù)圖象上與點C對稱的點，點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點F，A，M，N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴設拋物線y＝a（x﹣1）2+k，
把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：，
∴，
∴y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
依題意設N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵C（0，﹣3），對稱軸為直線x＝1，
∴F（2，﹣3），
∵A（﹣1，0），F(xiàn)（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
當以AF為對角線時，
，
∴m＝0，
∴M（0，﹣3），
當以AN為對角線時，
，
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
當以AM為對角線時，
，
∴m＝4，
∴M（4，5），
綜上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）．
【變式2-2】（2022?東莞市校級一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C（0，﹣3），已知AB＝4，對稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點N在對稱軸上，則拋物線上是否存在點M，使得點A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，
設A（x1，0），B（x2，0），
由題意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵對稱軸在y軸左側(cè)，
∴b＝2，
∴拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3；
（2）存在點M，使得點A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形．
∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0時，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA為邊，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在對稱軸x＝﹣1上，
∴點M的橫坐標為2或﹣4，
當x＝2時，y＝5，當x＝﹣4時，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA為對角線時，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中點的坐標為（﹣，0），
∵N在直線x＝﹣1上，
設M的橫坐標為m，
∴，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入拋物線解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
綜上所述，M的坐標為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴S△OBC＝，
∴S△OBC＝S△PBC＝，
設BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝3x﹣3，
過點O作OP∥BC交拋物線于P，則S△OBC＝S△PBC，直線OP的解析式為y＝3x，
∴，
解得，，
∴P（，）或（，）．
【變式2-3】（2022?百色一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），B（2，3）兩點，拋物線的頂點為M．
（1）求拋物線的表達式及頂點M的坐標；
（2）若拋物線的對稱軸與直線AB相交于點N，E為直線AB上的任意一點，過點E作EF∥y軸交拋物線于點F，以M，N，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得，
所以拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點M的坐標為（1，4）．
（2）能．
設點E的橫坐標為t，則點F的橫坐標為t，
當﹣1＜t＜2，由（2）得，EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點M的坐標為（1，4），
直線AB：y＝x+1，當x＝1時，y＝2，
∴B（1，2），
∴BD＝4﹣2＝2，
∵EF∥MN，
∴當EF＝MN＝2時，四邊形MNEF是平行四邊形，
∴﹣t2+t+2＝2，
解得t1＝0，t2＝1（不符合題意，舍去），
直線y＝x+1，當x＝0時，y＝1，
∴E（0，1）；
當x＜﹣1或x＞2時，則EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴t2﹣t﹣2＝2，
解得t1＝，t2＝，
直線y＝x+1，當x＝時，y＝；當x＝時，y＝，
∴E（，），E′（，），
綜上所述，點E的坐標為（0，1）或（，）或′（，）．
1.（2021秋?克東縣期末）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關系式，并直接寫出點D的坐標；
（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，當點P的坐標為多少時，△APC的面積有最大值．
（3）點Q在平面內(nèi)，試探究是否存在以A，C，D，Q為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
設直線AC的解析式為y＝kx+n，
則，
解得：，
∴直線的解析式為y＝x+1，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）過點P作PF∥y軸，交AC于點F，
∵點P在拋物線y＝﹣x2+3x+3上，設P（a，﹣a2+2a+3），
F點在直線AC上，設F（a，a+1），
∴PF＝（﹣a2+2a+3）﹣（a+1）＝﹣a2+a+2，
∴S＝﹣
當a＝時，面積最大，﹣a2+2a+3＝，
即P（）；
（3）存在，理由如下：
由（1）知D（1，4），A（﹣1，0），C（2，3），設Q（m，n），
若以點A，C，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，
①以AD為對角線，則AD與CQ1的中點坐標相同，
則，
解得：，
∴Q1（﹣2，1）；
②以DC為對角線，則DC與AQ2的中點坐標相同，
則
解得：，
∴Q2（4，7）；
③以AC為對角線，則AC與DQ3的中點坐標相同，
則
解得：，
∴Q3（0，﹣1），
綜上所述，符合條件的Q點的坐標為（﹣2，1）或（4，7）或（0，﹣1）．
2．（2021秋?龍江縣校級期末）綜合與探究
如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；
（2）請在拋物線的對稱軸上找一點P，使AP+PC的值最小，此時點P的坐標是 （，） ；
（3）點Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．
（4）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4），
設BC的解析式為y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；
（2）如圖1中，
由題意A，B關于拋物線的對稱軸直線x＝對稱，
連接BC交直線x＝于點P，連接PA，此時PA+PC的值最小，最小值為線段BC的長＝＝4，
∵直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
∴x＝時，y＝﹣+4＝，
∴此時P（，）．
故答案為：（，）；
（3）設Q（m，﹣m2+3m+4）過Q作QD⊥x軸，交BC于點D，則D（m，﹣m+4），
∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
，
當m＝2時，S△BCQ取最大值，最大值為8，
∴△BCQ面積的最大值為8；
（4）在拋物線上存在點N，使得以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形，N（3，4）或（，﹣4）（，﹣4）．理由如下：
觀察圖象可知，滿足條件的點N的縱坐標為4或﹣4，
對于拋物線y＝﹣x2+3x+4，當y＝4時，x2﹣3x＝0，解得x＝0（不符合題意，舍去）或3，
∴N1（3，4）．
當y＝﹣4時，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，
∴N2（，﹣4）（，﹣4），
綜上所述：在拋物線上存在點N，使得以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的坐標為（3，4）或（，﹣4）（，﹣4）．
3．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點A，與x軸交于點E、B．且點A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點P是直線AB上方拋物線上的一動點，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；
（3）若點P是拋物線上一點，在直線AB上是否存在一點Q，使得以點M、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵點A（0，5），B（5，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；
（2）如圖，
∵A（0，5），B（5，0），
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5，
∵點M是拋物線的對稱軸與直線AB的交點，
∴M（2，3），
由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5，
過點P作PH∥y軸交AB于H，
設P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），
∴H（m，﹣m+5），
∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，
∴當x＝時，S△PMB最大＝，
即△PMB面積的最大值為；
（3）∵拋物線的對稱軸與y＝﹣x+5交于點M，
∴M（2，3），
設Q（a，﹣a+5），P（m，﹣m2+4m+5），
若EM＝PQ，四邊形EMPQ為平行四邊形，
∴，
解得或，
∴Q（﹣1，6）或（0，5）；
若EM＝PQ，四邊形EMQP為平行四邊形，同理求出Q（9，﹣4）；
若EM為對角線，則，
解得（不合題意舍去）或
綜合以上可得出點Q的坐標為Q（﹣1，6）或（0，5）或（9，﹣4）或（﹣5，10）．
4．（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C．
（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；
（2）點P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當m取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．
（3）點F是拋物線上的動點，作FE∥AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
當y＝0時，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如圖1，
連接OP，
設點P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴當m＝3時，S△PBC最大＝；
方法二：如圖2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于點D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴當m＝3時，S△PBC最大＝；
（3）如圖3，
當?ACFE時，AE∥CF，
∵拋物線對稱軸為直線：x＝＝2，
∴F1點的坐標：（4，﹣6），
如圖4，
當?ACEF時，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
當y＝6時，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F(xiàn)3（2﹣2，6），
綜上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
5．（2022?眉山）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x+c與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且點A的坐標為（﹣5，0）．
（1）求點C的坐標；
（2）如圖1，若點P是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點P到直線AC距離的最大值；
（3）如圖2，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵點A（﹣5，0）在拋物線y＝﹣x2﹣4x+c的圖象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴點C的坐標為（0，5）；
（2）過P作PE⊥AC于點E，過點P作PF⊥x軸交AC于點H，如圖1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴當PH最大時，PE最大，
設直線AC解析式為y＝kx+5，
將A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝1，
∴直線AC解析式為y＝x+5，
設P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），則H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴當時，PH最大為，
∴此時PE最大為，即點P到直線AC的距離值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，
設點N的坐標為（﹣2，m），點M的坐標為（x，﹣x2﹣4x+5），
分三種情況：①當AC為平行四邊形對角線時，
，
解得，
∴點M的坐標為（﹣3，8）；
②當AM為平行四邊形對角線時，
，
解得，
∴點M的坐標為（3，﹣16）；
③當AN為平行四邊形對角線時，
，
解得，
∴點M的坐標為（﹣7，﹣16）；
綜上，點M的坐標為：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
6．（2022?江州區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．
（1）求點B，C的坐標；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P，使四邊形PBOC的面積最大，求出點P的坐標；
（3）點M為拋物線上一動點，x軸上是否存在一點Q，使以B、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0）．
（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，
∵B（﹣3，0），C（0，3），在直線BC上，
∴，解得，
∴y＝x+3，
設P（t，﹣t2﹣2t+3），
過P點作PH⊥x軸交直線BC于點H，
∴H（t，t+3），
∵S四邊形PBOC＝S△PBC+S△BCO，
∴當PH最大時，四邊形PBOC的面積最大，
∵PH＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∴當時，PH有最大值，
∴P；
（3）存在點Q使以B、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設Q（x，0），M（m，﹣m2﹣2m+3），
①當BC為對角線時，
則BC的中點為（﹣，），MQ的中點為（，），
∴﹣＝，＝，
∴m＝0，x＝﹣3（舍）或m＝﹣2，x＝﹣1，
∴Q（﹣1，0）；
②當BM為對角線時，
則BM的中點為（，），CQ的中點為（，），
∴＝，＝，
∴m＝0，x＝﹣3（舍）或m＝﹣2，x＝﹣5，
∴Q（﹣5，0）；
③當BQ為對角線時，
則BQ的中點為（，0），CM的中點為（，），
∴＝，0＝，
∴m＝﹣1+，x＝2+，或m＝﹣1﹣，x＝2﹣，
∴Q（2+，0）或（2﹣，0）；
綜上所述：Q點坐標為（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）．
7．（2021秋?綦江區(qū)期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），對稱軸l與x軸交于點F，點E是直線AC上方拋物線上一動點，連接AE、EC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當四邊形AECO面積最大時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接EF，點P是x軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q，使得以F、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B（1，0），與y軸交于點C（0，3），則：
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如圖1中，連接OE．設E（m，﹣m2﹣2m+3）．
當﹣x2﹣2x+3＝0時，x1＝﹣3，x2＝1，
∴OA＝OC＝3，
∴S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣時，△AEC的面積最大，
∴E（﹣，）；
（3）存在．如圖2中，因為點P是x軸上，點Q在拋物線上，
①EF是平行四邊形的邊，觀察圖象可知，滿足條件的點Q的縱坐標為±，
對于拋物線y＝﹣x2﹣2x+3，當y＝時，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍棄）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
當y＝﹣時，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
②當EF為對角線時，
﹣x2﹣2x+3＝，
解得x＝﹣（舍棄）或﹣，
∴Q4（﹣，）．
綜上所述，滿足條件的點Q坐標為（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
8．（2021秋?富裕縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，OA＝1，對稱軸為x＝2，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上C，D兩點之間的距離是 2 ；
（3）點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接BE和CE．求△BCE面積的最大值；
（4）平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、D、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∵對稱軸為x＝2，
∴B（5，0），
將A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+4x+5；
（2）令x＝0，則y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），
∴CD＝2，
故答案為：2；
（3）設直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+5，
過點E作EF⊥x軸交直線BC于點F，
設E（t，﹣t2+4t+5），則F（t，﹣t+5），
∴EF＝﹣t2+5t，
∴S△BCE＝×5×（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，
∴當t＝時，S△BCE有最大值；
（4）設Q（m，n），
①當BD為平行四邊形對角線時，
BD的中點（，），CQ的中點（，），
∴＝，＝，
∴m＝7，n＝4，
∴Q（7，4）；
②當BC為平行四邊形對角線時，
BC的中點（，），DQ的中點（，），
∴＝，＝，
∴m＝3，n＝﹣4，
∴Q（3，﹣4）；
③當BQ為平行四邊形對角線時，
BQ的中點（，），CD的中點（1，7），
∴＝1，＝7，
∴m＝﹣3，n＝14，
∴Q（﹣3，14）；
綜上所述：Q點坐標為（7，4）或（3，﹣4）或（﹣3，14）．
9．（2021秋?龍亭區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y＝x﹣5上，設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側(cè)）．
（1）求點A、B、D的坐標；
（2）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴A（1，c﹣1），
∵A點在y＝x﹣5上，
∴c﹣1＝1﹣5，
∴c＝﹣3，
∴A（1，﹣4），
∴y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，則x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0），
令x＝0，則y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）；
（2）存在點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設P（t，t﹣5），
①當PA、BD為平行四邊形的對角線時，
∴，
此時t無解；
②當PB、AD為平行四邊形的對角線時，
∴，
∴t＝4，
∴P（4，﹣1）；
③當PD、AB為平行四邊形的對角線時，
∴，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣7）；
綜上所述：P點的坐標為（4，﹣1）或（﹣2，﹣7）．
10．（2021秋?雨花區(qū)校級月考）已知：拋物線與x軸相交于A、B（A點在B點的左邊），與y軸相交于點C，若點B的坐標為（2，0），⊙M經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求c的值；
（2）求⊙M的半徑；
（3）過C點作直線交x軸于D，當直線CD與拋物線只有一個交點時，直線CD是否與⊙M相切？如果相切，請證明之；如果相交，請求出直線CD與圓的另外一個交點的坐標；
（4）點E、F分別為⊙M與拋物線上的動點，當點O、C、E、F四點構(gòu)成的四邊形為以OC為邊的平行四邊形時，請直接寫出點E的坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2﹣x+c經(jīng)過點B（2，0），
∴﹣×22﹣×2+c＝0，
解得：c＝4，
∴c的值為4；
（2）在y＝﹣x2﹣x+4中，令y＝0，
得：﹣x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝2，
∴A（﹣8，0），
∴AB＝2﹣（﹣8）＝10，
∴⊙M的半徑為5；
（3）直線CD與⊙M相交．
在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
設直線CD解析式為y＝kx+b，將點C（0，4）代入，得：b＝4，
∴直線CD解析式為y＝kx+4，
∵直線CD與拋物線只有一個交點，
∴方程﹣x2﹣x+4＝kx+4有兩個相等的實數(shù)根，整理，得：x2+（4k+6）x＝0，
∴Δ＝（4k+6）2﹣4×1×0＝0，
解得：k＝﹣，
∴直線CD解析式為y＝﹣x+4，
設直線CD與⊙M的另外一個交點的坐標為（x，﹣x+4），
∵M（﹣3，0），⊙M的半徑為5，
則（x+3）2+（﹣x+4）2＝52，
解得：x＝0（舍去）或x＝，
∴直線CD與⊙M的另外一個交點的坐標為（，）；
（4）設E（x，﹣x2﹣x+4），
∵點O、C、E、F四點構(gòu)成的四邊形為以OC為邊的平行四邊形，
∴EF＝OC＝4，EF∥OC，
∴F（x，﹣x2﹣x），
∵MF＝5，
∴（﹣3﹣x）2+（﹣x2﹣x）2＝52，
整理，得：（x2+6x）2+16（x2+6x）﹣256＝0，
設x2+6x＝y(tǒng)，則y2+16y﹣256＝0，
解得：y＝﹣8+或﹣8﹣（舍去），
∴x2+6x＝﹣8+，即x2+6x+8﹣＝0，
解得：x1＝﹣3﹣，x2＝﹣3+，
∴E（﹣3﹣，2﹣2）或（﹣3+，2﹣2）．
11．（2021?南充模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（4，0）、B（0，4）、C．其對稱軸l交x軸于點D，交直線AB于點F，交拋物線于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為直線l上的動點，求△PBC周長的最小值；
（3）點N為直線AB上的一點（點N不與點F重合），在拋物線上是否存在一點M，使以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標，不存在，說明理由．
【解答】解：（1）把點A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，
得，，解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4，
（2）由拋物線解析式可知，l：x＝，C（﹣1，0），
如圖，作點B關于直線l的對稱軸B′，連接B′C交l于一點P，點P即為使△PBC周長最小的點，
此時B′（3，4），直線B′C：y＝x+1，
∴P（，），
∵B（0，4），C（﹣1，0），B′（3，4），
∴BC＝，CB′＝4，
∴△PBC周長的最小值為：+4．
（3）存在，以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為（，﹣），（，﹣）或（，）．理由如下：
由拋物線解析式可知，E（，），
∵A（4，0）、B（0，4），
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4，
∴F（，）．
∴EF＝．
設M（m，﹣m2+3m+4），
①當EF為邊時，則EF∥MN，
∴N（m，﹣m+4），
∴NM＝EF＝，即|﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）|＝，
解得m＝（舍）或或或，
∴M（，）或（，﹣），（，﹣））．
②當EF為對角線時，EF的中點為（，），
∴點N的坐標為（3﹣m，m2﹣3m+），
∴﹣3+m+4＝m2﹣3m+，解得m＝（舍），m＝，
∴M3（，）．
綜上，滿足以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為（，﹣），（，﹣）或（，）．

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