分母中含有 ?的方程叫做 分式方程.
知識點2 解分式方程解分式方程的基本思想是把分式方 程轉(zhuǎn)化為整式方程,其一般步驟是:(1)去分母:分式方程兩邊同時乘方程 中各分母的 ?,把分式方 程轉(zhuǎn)化為整式方程.注:最簡公分母:①系數(shù)取最小公倍 數(shù);②出現(xiàn)的字母取最高次冪;③出現(xiàn) 的因式取最高次冪.
(2)解方程:解整式方程,得到方程 的根.(3)驗根:將整式方程的解代入 ? ,如果最簡公分母的值不為0, 則整式方程的解是原分式方程的解;否 則,這個解不是原分式方程的解,是原 分式方程的增根.如果分式本身約分了, 也要代進去檢驗.(4)得出結(jié)論.
知識點3 增根與無解在分式方程變形時,擴大了未知數(shù) 的取值范圍,所以可能產(chǎn)生不適合原方 程的根,使方程中的分母為 ?,此 時這個根就是分式方程的增根,因此解 分式方程要驗根.產(chǎn)生增根的兩個條件:①是分式方 程去分母后整式方程的解;②使最簡公 分母的值為零.
無解的兩種情況:①方程去分母后 整式方程無解;②為增根.
知識點4 分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用與一元一次方程的 應(yīng)用類似,不同的是分式方程的應(yīng)用題 的驗根有兩次:(1)檢驗所求的解是不是原分式方程 的解;(2)檢驗所求的解是否符合題意.
名師指津1. 分式方程有增根與無解并不是同一概 念.分式方程無解可能有兩種情形:一是 有增根產(chǎn)生,二是變形后的整式方程無 解,比如ax=b(a=0,b≠0).2. 在含參數(shù)的分式方程問題中,要特別 注意分母不為零的隱含條件,一定要注 意增根所對應(yīng)的參數(shù)的值一定要排除.3. 分式方程應(yīng)用題的驗根是易錯點,注 意解分式方程應(yīng)用題需要驗根兩次.
考點一 分式方程的解法
[答案] 解:方程兩邊同乘3(x+1),得3x=x+3(x+1),解得x=-3.
檢驗:當(dāng)x=-3時,3(x+1)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.
[答案] 解:方程兩邊同乘(x+2)(x -2),得(x-2)2-(x+2)(x-2)= 16,解得x=-2.
檢驗:當(dāng)x=-2時,(x+2)(x- 2)=0,∴x=-2是原分式方程的增根,∴原分式方程無解.
考點三 分式方程的應(yīng)用例3  (1)(2024·綏化)一艘貨輪在靜 水中的航速為40km/h,它以該航速沿江 順流航行120km所用時間,與以該航速 沿江逆流航行80km所用時間相等,則江 水的流速為( D?。?br/>(2)(2024·南開)春風(fēng)輕拂,萬物復(fù) 蘇,青團成為這個季節(jié)不可或缺的美食. 它不僅是一種食物,更是一種情感的寄 托,承載了人們對春天的贊美和懷念.某 甜品店開業(yè)當(dāng)天推出了爆珠榴蓮和麻辣 牛肉兩種青團.
①上午,兩種青團共賣出300個,銷售額 為2800元,其中爆珠榴蓮的單價為10 元,麻辣牛肉的單價為8元,求賣出兩種 青團各多少個;
[答案] 解:①設(shè)賣出爆珠榴蓮x個,則 賣出麻辣牛肉(300-x)個,根據(jù)題 意,得10x+8(300-x)=2800,解得x= 200,∴300-x=100.
答:賣出爆珠榴蓮200個,賣出麻辣牛肉 100個.
②下午,該店調(diào)整了兩種青團的價格, 結(jié)果爆珠榴蓮的單價比麻辣牛肉的單價 貴3元,售出爆珠榴蓮的個數(shù)比麻辣牛肉 的個數(shù)多50%,爆珠榴蓮的銷售額為 1050元,麻辣牛肉的銷售額為400元,求 爆珠榴蓮的單價是多少元.
答:爆珠榴蓮的單價是7元.
2. 某農(nóng)場開挖一條長360米的水渠,開工 后每天效率是原計劃每天效率的1.5倍, 結(jié)果少花3天完成任務(wù).若設(shè)原計劃每天挖x米,那么下列方程中正確的是( A?。?br/>解:(1)方程兩邊同乘(x-2),得1-x=-1-2(x-2),解得x=2.
檢驗:當(dāng)x=2時,x-2=0,∴x=2是原方程的增根,∴原方程無解.

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