基本不等式：
（1）了解基本不等式的證明過程.
（2）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題.
一、基本不等式
1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的條件：.
（2）等號成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
2．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)，則a、b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
3．利用基本不等式求最值問題
（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，x＋y有最小值是.(簡記：積定和最小)
（2）如果和x＋y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)
4．常用結(jié)論
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
二、基本不等式在實際中的應(yīng)用
1．問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如物價、銷售、稅收等．
題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解；
2．經(jīng)常建立的函數(shù)模型有正(反)比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)以及
等．
解答函數(shù)應(yīng)用題中的最值問題時一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)求解．
考向一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接滿足基本不等式條件，則直接應(yīng)用基本不等式．
（2）若不直接滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等．常見的變形手段有拆、并、配.
①拆——裂項拆項
對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進(jìn)行拆項，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件．
②并——分組并項
目的是分組后各組可以單獨應(yīng)用基本不等式，或分組后先由一組應(yīng)用基本不等式，再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值．
③配——配式配系數(shù)
有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項之和為定值.
（3）若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到要求，需多次應(yīng)用基本不等式，但要注意等號成立的條件必須要一致.注：若可用基本不等式，但等號不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.
典例1 若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為
A．1 B．6
C．9 D．16
【答案】B
【解析】解法一：因為，所以a＋b=ab?(a?1)·(b?1)=1，
所以=2×3=6(當(dāng)且僅當(dāng)，b=4時取“=”).
故的最小值為6.
解法二：因為，所以a＋b=ab，
所以
(當(dāng)且僅當(dāng)，b=4時取“=”)．
故的最小值為6.
解法三：因為，所以，
所以(當(dāng)且僅當(dāng)b=4時取“=”)．
故的最小值為6.
【名師點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．
1．函數(shù)的最大值為______，此時的值為______.
考向二 基本不等式的實際應(yīng)用
有關(guān)函數(shù)最值的實際問題的解題技巧：
（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．
（2）設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．
（3）解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍．
（4）在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
典例2 2017年，在國家創(chuàng)新驅(qū)動戰(zhàn)略下，北斗系統(tǒng)作為一項國家高科技工程，一個開放型的創(chuàng)新平臺，1400多個北斗基站遍布全國，上萬臺設(shè)備組成星地“一張網(wǎng)”，國內(nèi)定位精度全部達(dá)到亞米級，部分地區(qū)達(dá)到分米級，最高精度甚至可以達(dá)到厘米或毫米級.最近北斗三號工程耗資a元建成一大型設(shè)備，已知這臺設(shè)備維修和消耗費用第一年為b元，以后每年增加b元（a、b是常數(shù)），用t表示設(shè)備使用的年數(shù)，記設(shè)備年平均維修和消耗費用為y，即y= (設(shè)備單價+設(shè)備維修和消耗費用）÷設(shè)備使用的年數(shù)．
（1）求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=112500，b=1000時，求這種設(shè)備的最佳更新年限．
【解析】（1）由題意，設(shè)備維修和消耗費用構(gòu)成以b為首項，b為公差的等差數(shù)列，
因此年平均維修和消耗費用為(元).
于是有y=b2(t+1)+at=b2+bt2+at,t>0.
（2）由（1）可知，當(dāng)a=112500，b=1000時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)t=225t,即t=15時，等號成立.
答：這種設(shè)備的最佳更新年限為15年．
【名師點睛】利用基本不等式解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是構(gòu)建模型，一般來說，都是從具體的問題背景，通過相關(guān)的關(guān)系建立關(guān)系式.在解題過程中盡量向模型上靠攏.
2．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/.設(shè)矩形的長為.
（1）將總造價（元）表示為長度的函數(shù)；
（2）當(dāng)取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.
考向三 基本不等式的綜合應(yīng)用
基本不等式是高考考查的熱點，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等問題．主要有以下幾種命題方式：
（1）應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大小．解決此類問題通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．
（2）條件不等式問題．通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．
（3）求參數(shù)的值或范圍．觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.
典例3 下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A：(當(dāng)時，)，A不正確；
對于B：，，B不正確；
對于C：，C正確；
對于D：，D不正確.
故選C.
【思路點撥】利用基本不等式判斷不等關(guān)系及比較大小的思路：基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的判斷、比較代數(shù)式的大小等.一般地，結(jié)合所給代數(shù)式的特征，將所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換(利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化)，使其中的不等關(guān)系明晰即可解決問題.
3．設(shè)，，且恒成立，則的最大值是
A．B．
C．D．
典例4 設(shè)正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為______．
【答案】
【解析】因為，所以
則即.
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故答案為：.
【名師點睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4．已知向量，且為正實數(shù)，若滿足，則的最小值為
A．B．
C．D．
1．已知，，，則的最大值為
A．1B．
C．D．
2．若直線過點，則的最小值等于
A．3B．4
C．D．
3．已知，則的最小值是
A．2B．3
C．4D．5
4．當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
5．已知正數(shù)滿足，則
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值10D．有最小值10
6．已知，則取到最小值時，
A．B．
C．D．
7．用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，則最短的籬笆是
A．30 mB．36 m
C．40 mD．50 m
8．下列式子的最小值等于4的是
A．B．，
C．，D．
9．已知，，滿足，則的最小值是
A．B．
C．D．
10．中，角的對應(yīng)邊分別為，若成等差數(shù)列，則角的取值范圍是
A．B．
C．D．
11．已知，則的最小值為
A．B．6
C．D．
12．已知實數(shù)，是與的等比中項，則的最小值是______．
13．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________．
14．已知直線被圓截得的弦長為，則的最大值為________.
15．設(shè)實數(shù)滿足條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12，則的最小值為________.
16．已知函數(shù).
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）若，令，求函數(shù)的最小值.
17．為了加強“平安校園”建設(shè)，有效遏制涉校案件的發(fā)生，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元．設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米．
（1）當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價．
（2）現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍．
1．（2017山東理科）若，且，則下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
2．（2018天津理科）已知，且，則的最小值為 .
3．（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是___________．
4．（2018江蘇）在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為___________．
5．（2019年高考天津卷理數(shù)）設(shè)，則的最小值為__________．
6．（2017年高考天津卷理數(shù)）若，，則的最小值為___________．
變式拓展
1．【答案】?3 2
【解析】因為，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
此時.
即的最大值為，此時.
【名師點睛】本題主要考查求函數(shù)的最值，熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.求解時，先將原式化為，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.
2．【答案】（1），；（2）當(dāng)時，總造價最低為元.
【解析】（1）由矩形的長為m，得矩形的寬為m，
則中間區(qū)域的長為m，寬為m，
則，定義域為.
整理得，.
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
所以當(dāng)時，總造價最低為元.
【名師點睛】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，以及基本不等式的應(yīng)用.在利用基本不等式時保證“一正二定三相等”，屬于中等題.
（1）根據(jù)題意得矩形的長為m，則矩形的寬為m，中間區(qū)域的長為m，寬為m，列出函數(shù)關(guān)系式即可.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果利用基本不等式求解即可.
3．【答案】B
【解析】等價于，
而
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故得到，則的最大值是3.
故答案為B.
【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.
4．【答案】A
【解析】由題意得，因為，為正實數(shù)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
所以選擇A.
【名師點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積以及基本不等式，在用基本不等式時要滿足“一正二定三相等”.屬于中等題.
專題沖關(guān)
1．【答案】D
【解析】因為，，，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故本題選D.
【名師點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，掌握公式的特征是解題的關(guān)鍵.求解時，直接使用基本不等式，可以求出的最大值.
2．【答案】C
【解析】將代入直線方程得到，
，
當(dāng)時等號成立.
故選C.
【名師點睛】本題考查了直線方程，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.求解時，將代入直線方程得到，利用均值不等式得到的最小值.
3．【答案】D
【解析】由題意知，，
因為，所以，
則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”），
故的最小值是5.
故答案為D.
【名師點睛】本題考查了基本不等式的運用，要注意“=”取得的條件，屬于基礎(chǔ)題.
4．【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
∵當(dāng)時，不等式恒成立，
∴只需．
故選A．
【名師點睛】本題主要考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是得出，屬于一般題.
5．【答案】A
【解析】由不等式的性質(zhì)有：（）2，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即（）2≤50，
又m＞0，n＞0，
所以，即m，
故選A．
【名師點睛】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸能力，注意等號成立的條件，屬中檔題.
6．【答案】D
【解析】由，可得，且.
所以，
當(dāng)且時等號成立，解得.
所以取到最小值時.故選D.
【名師點睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時要注意不等式取等的條件要同時滿足.
7．【答案】C
【解析】設(shè)矩形的長為，則寬為，設(shè)所用籬笆的長為，所以有，根據(jù)基本不等式可知：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），故本題選C.
【名師點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，由已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求出最小值是解題的關(guān)鍵.
8．【答案】C
【解析】選項A，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故函數(shù)沒有最小值；
選項B，，令，，函數(shù)在時單調(diào)遞減，故當(dāng)時是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，沒有最小值；
選項C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故符合題意；
選項D，令，令，而函數(shù)在時是單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)也單調(diào)遞增，所以，不符合題意，
所以本題選C.
【名師點睛】本題考查了基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式時，一定要注意三點：其一，必須是正數(shù)；其二，要有定值；其三，要注意等號成立的條件，簡單記為一正二定三相等.
9．【答案】D
【解析】正實數(shù)，滿足，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
的最小值為，
故選D.
【名師點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是，使它能利用基本不等式，是基礎(chǔ)題目．
10．【答案】C
【解析】由成等差數(shù)列，可得，即，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；
由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，所以角的取值范圍是：.
故選C.
【名師點睛】本題考查余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，求解時，由成等差數(shù)列，可得，然后利用余弦定理表示出，進(jìn)行化簡后，利用基本不等式即可求出的最小值，根據(jù)的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出角的取值范圍.
11．【答案】B
【解析】∵，∴，
∵，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
故選B.
【名師點睛】本題主要考查均值定理的應(yīng)用，構(gòu)造均值定理的結(jié)構(gòu)，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值時，一要注意每一項必須為正實數(shù)，二是要湊出定值，三是要驗證等號成立的條件，三者缺一不可，尤其是等號不要忘記驗證.
12．【答案】
【解析】∵實數(shù)是與的等比中項，
，即．
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
故答案為:．
【名師點睛】本題考查了等比中項，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.求解時，通過是與的等比中項得到，利用均值不等式求得最小值.
13．【答案】
【解析】，，
當(dāng)即時等號成立.
故答案為.
【名師點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力.
14．【答案】
【解析】圓可化為，
則圓心為，半徑為，
又因為直線被圓截得的弦長為，
所以直線過圓心，即，化為，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
的最大值為，故答案為.
【名師點睛】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將弦長問題轉(zhuǎn)化為直線過圓心是解題的關(guān)鍵.
15．【答案】
【解析】由可行域可得，當(dāng)，時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，，即，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故答案為.
【名師點睛】本題考查了通過目標(biāo)函數(shù)的最大值，得到參數(shù)之間的等式，求不等式最小值問題，關(guān)鍵是正確得到參數(shù)之間的等式.
16．【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】（1）①當(dāng)時，不等式的解集為，
②當(dāng)時，不等式的解集為，
③當(dāng)時，不等式的解集為.
（2）當(dāng)時，令（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）.
故函數(shù)的最小值為.
【名師點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，函數(shù)的最小值，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
17．【答案】（1）4米時，28800元；（2）．
【解析】（1）設(shè)甲工程隊的總造價為元，
則，
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元．
（2）由題意可得，對任意的恒成立．
即，從而恒成立，
令，則，
又在時為單調(diào)增函數(shù)，故．
所以．
【名師點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.
（1）設(shè)甲工程隊的總造價為元，先求出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值得解；
（2）由題意可得，對任意的恒成立，從而恒成立，求出左邊函數(shù)的最小值即得解.
直通高考
1．【答案】B
【解析】因為，且，所以
，所以選B.
2．【答案】14
【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a+18b=2a+2-3b，
因為對于任意x，2x>0恒成立，結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得：2a+2-3b≥2×2a×2-3b=2×2-6=14.當(dāng)且僅當(dāng)2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1時等號成立.
綜上可得2a+18b的最小值為14.
【名師點睛】利用基本不等式求最值時，要靈活運用以下兩個公式：
①，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
②，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．解題時要注意公式的適用條件、等號成立的條件，同時求最值時注意“1的妙用”．
3．【答案】30
【解析】總費用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．
4．【答案】9
【解析】由題意可知，S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°，化簡得ac=a+c,1a+1c=1，
因此4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac≥5+2ca?4ac=9,
當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時取等號，則4a+c的最小值為9.
5．【答案】
【解析】方法一：.
因為，
所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，結(jié)合可知，可以取到3，故的最小值為.
方法二：
.
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最小值為.
【名師點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立.
6．【答案】
【解析】，（前一個等號成立的條件是，后一個等號成立的條件是，兩個等號可以同時成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．
【名師點睛】利用均值不等式求最值時要靈活運用以下兩個公式：①，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；②，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．解題時要注意公式的適用條件、等號成立的條件，同時求最值時注意“1的妙用”．

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