（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.
（2）能用圓的方程解決一些簡單的問題.
一、圓的方程
注：當D2+E2－4F = 0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0表示一個點；當D2+E2－4F＜0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0沒有意義，不表示任何圖形．
二、點與圓的位置關系
三、必記結論
（1）圓的三個性質
①圓心在過切點且垂直于切線的直線上；
②圓心在任一弦的中垂線上；
③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．
（2）兩個圓系方程
具有某些共同性質的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程．
①同心圓系方程：，其中a，b為定值，r是參數(shù)；
②半徑相等的圓系方程：，其中r為定值，a，b為參數(shù)．
考向一 求圓的方程
1．求圓的方程必須具備三個獨立的條件．從圓的標準方程來看，關鍵在于求出圓心坐標和半徑，從圓的一般方程來講，能知道圓上的三個點即可求出圓的方程，因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法．
2．用幾何法求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質，如“圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上”，“半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形”．
典例1 求滿足下列條件的圓的方程：
（1）經(jīng)過點P(5，1)，圓心為點C(8，－3)；
（2）經(jīng)過三點A(0，0)，B(1，1），C(4，2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由兩點間的距離公式可知，圓的半徑長為，
因此，圓的方程為.
（2）設所求圓的一般方程為，
將、、三點的坐標代入圓的方程，得，解得，
因此，所求圓的方程為.
【名師點睛】本題考查圓的方程的求解，根據(jù)已知條件的類型選擇圓的標準方程和一般方程求解，一般而言，確定圓心坐標與半徑，選擇圓的標準方程較為合適，計算三角形的外接圓方程，利用圓的一般方程較好，考查計算能力，屬于中等題.
（1）利用兩點間的距離公式計算出圓的半徑，再寫出圓的標準式方程；
（2）設所求圓的一般方程為，將、、三點的坐標代入圓的方程，得三元一次方程組，求出、、的值，可得出所求圓的方程.

1．以為半徑兩端點的圓的方程是
A．
B．
C．或
D．或
考向二 與圓有關的對稱問題
1．圓的軸對稱性:圓關于直徑所在的直線對稱．
2．圓關于點對稱：
（1）求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置;
（2）兩圓關于點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點．
3．圓關于直線對稱：
（1）求已知圓關于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置;
（2）兩圓關于直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線．
典例2 （1）已知圓C1：（x+1）2+（y－1）2 =1，圓C2與圓C1關于直線x－y－1=0對稱，則圓C2的方程為
A．B．
C．D．
（2）若圓（x+1）2+（y－3）2=9上相異兩點P，Q關于直線kx+2y－4=0對稱，則k的值為_________．
【答案】（1）B；（2）2．
【解析】（1）圓C1的圓心為（－1，1），半徑長為1，設圓C2的圓心為（a，b），
由題意得且，解得a=2，b=－2，
所以圓C2的圓心為（2，－2），且半徑長為1，故圓C2的方程為（x－2）2+（y+2）2=1．
（2）已知圓（x+1）2+（y－3）2=9的圓心為（－1，3），
由題設知，直線kx+2y－4=0過圓心，則k×（－1）+2×3－4=0，解得k=2．
2．已知圓（為實數(shù)）上任意一點關于直線的對稱點都在圓上，則
A．B．
C．D．
考向三 與圓有關的軌跡問題
1．求軌跡方程的步驟如下：
建系，設點：建立適當?shù)淖鴺讼担O曲線上任一點坐標．
寫集合：寫出滿足復合條件P的點M的集合．
列式：用坐標表示，列出方程．
化簡：化方程為最簡形式．
證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
2．求與圓有關的軌跡方程的方法

典例3 已知中，，，求：
（1）直角頂點的軌跡方程；
（2）直角邊的中點的軌跡方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設，則，，
，
，即，化簡得：.
不共線，
.
故頂點的軌跡方程為：.
（2）設，，
由（1）知：……①
又，為線段的中點，
，，即，，
代入①式，得：.
故的軌跡方程為：.
【名師點睛】本題考查軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠根據(jù)直線的位置關系得到點滿足的方程，或利用動點坐標表示出已知曲線上的點的坐標，代入已知曲線得到軌跡方程；易錯點是忽略已知中的限制條件，未排除特殊點.
（1）設，求得和，根據(jù)垂直關系可知斜率乘積為，根據(jù)三個頂點不共線，可知，從而得到軌跡方程；
（2）設，，利用中點坐標公式用，表示出點坐標，代入（1）中軌跡方程整理可得結果.
3．已知點，圓：，過點的動直線與圓交于兩點，線段的中點為，為坐標原點.
（1）求的軌跡方程；
（2）當時，求的方程及的面積.
考向四 與圓有關的最值問題
對于圓中的最值問題，一般是根據(jù)條件列出關于所求目標的式子——函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式的性質求出最值．特別地，要利用圓的幾何性質，根據(jù)式子的幾何意義求解，這正是數(shù)形結合思想的應用．
典例4 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圓的圓心為，半徑為，過圓心與直線垂直的直線方程為，所求的圓心在此直線上，又圓心到直線的距離為，則所求圓的半徑為，設所求圓心為，且圓心在直線的左上方，則，且，解得（不符合，舍去），故所求圓的方程為，故選C.
【名師點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查了數(shù)形結合的思想，計算能力，屬于中檔題.
典例5 已知點在圓上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）的最大值為，最小值為.
【解析】（1）設，則，t可視為直線的縱截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的縱截距．
由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或．
∴的最大值為，最小值為．
（2）可視為點與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是過原點的直線與該圓有公共點的斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率．
設過原點的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或．
∴的最大值為，最小值為．
【名師點睛】1．與圓的幾何性質有關的最值
（1）記O為圓心，圓外一點A到圓上距離最小為，最大為；
（2）過圓內(nèi)一點的弦最長為圓的直徑，最短為以該點為中點的弦；
（3）記圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上點到直線的最大距離為，最小距離為；
（4）過兩定點的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓．
2．與圓的代數(shù)結構有關的最值
（1）形形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；
（2）形如形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；
（3）形如形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
4．平面上兩個點為A(－1，0)，B(1，0)，O為坐標原點，在圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一點P，則|AP|2＋|BP|2的最小值為________．
1．若方程表示一個圓，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
2．若直線是圓的一條對稱軸，則的值為
A．1 B．
C．2 D．
3．對于，直線恒過定點，則以為圓心，2為半徑的圓的方程是
A． B．
C． D．
4．一個圓經(jīng)過以下三個點，，，且圓心在軸上，則圓的標準方程為
A．B．
C．D．
5．P為圓上任一點，則P與點的距離的最小值是
A．1B．4
C．5D．6
6．當圓的面積最大時，圓心坐標是
A．B．
C．D．
7．點，是圓上的不同兩點，且點，關于直線對稱，則該圓的半徑等于
A．B．
C．1D．3
8．過點的直線將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為
A． B．
C． D．
9．已知點，是圓：上任意一點，若線段的中點的軌跡方程為，則的值為
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知圓，點，兩點關于軸對稱．若圓上存在點，使得，則當取得最大值時，點的坐標是
A． B．
C． D．
11．在平面直角坐標系中，三點,，，則三角形的外接圓方程是__________．
12．若實數(shù)x，y滿足，則的最小值是________ .
13．已知在圓上，點關于軸的對稱點為，點關于的對稱點為，則的最小值為________________．
14．已知圓過點，．
求：（1）周長最小的圓的方程；
（2）圓心在直線上的圓的方程．
15．在平面直角坐標系中，已知點，.
（1）在軸的正半軸上求一點，使得以為直徑的圓過點，并求該圓的方程;
（2）在（1）的條件下，點在線段內(nèi)，且平分，試求點的坐標.
16．已知圓，直線，．
（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；
（2）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.
17．在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿足以下性質：①線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓；②銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線：，，，，為曲線上不同的四點.
（1）求實數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程；
（2）求四邊形的最小覆蓋圓的方程；
（3）求曲線的最小覆蓋圓的方程.
變式拓展
1．【答案】C
【解析】由題意得：半徑.
若為圓心，則所求圓的方程為：；
若為圓心，則所求圓的方程為：.
本題正確選項為C.
【名師點睛】本題考查圓的方程的求解，易錯點是忽略兩點可分別作為圓心，從而造成丟根，屬于基礎題.求解時，先利用兩點間距離公式求得半徑，分別在和為圓心的情況下寫出圓的方程.
2．【答案】D
【解析】由題意可知：直線過圓心，
，解得：.
本題正確選項為D.
【名師點睛】本題考查圓的性質，關鍵是能夠根據(jù)圓的對稱性判斷出直線過圓心，將圓心坐標代入直線解得結果.
3．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）圓的方程可化為，
所以圓心為，半徑為4，
設，則，
由題意知，故，即，
由于點在圓的內(nèi)部，
所以的軌跡方程是.
（2）由（1）可知的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓.
由于，故在線段的垂直平分線上，
又在圓上，從而，
因為的斜率為3，所以的斜率為，
所以的方程為.
又，到的距離為，
所以的面積為.
【名師點睛】求軌跡方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用條件建立，之間的關系；
（2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程；
（3）定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
（4）代入(相關點)法：動點依賴于另一動點的變化而運動，常利用代入法求動點的軌跡方程．
4．【答案】20
【解析】設點P的坐標為(x，y)，則|OP|＝，
∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.
要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP|2最小．
將圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化為(x－3)2＋(y－4)2＝4.
∵點P為圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的點，∴|OP|min＝|OC|－r(r為半徑)．
由(x－3)2＋(y－4)2＝4知圓心C(3，4)，r＝2.
∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即|OP|min＝3，
∴(|AP|2＋|BP|2)min＝2×32＋2＝20.
故答案為：20.
【名師點睛】和圓有關的題很多情況下是利用數(shù)形結合來解決的.在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及圓的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理.
專題沖關
1．【答案】C
【解析】表示一個圓，
所以 ，解得.
故選C.
【名師點睛】本題考查圓的一般方程與標準方程的互化，屬于基礎題.求解時，先化為標準方程，根據(jù)半徑必須大于零求解.
2．【答案】B
【解析】圓的方程可化為，可得圓的圓心坐標為，半徑為，
因為直線是圓的一條對稱軸，所以圓心在直線上，
可得，即的值為.
故選B.
【名師點睛】本題主要考查圓的一般方程化為標準方程，以及由標準方程求圓心坐標，意在考查學生對圓的基本性質的掌握情況，屬于簡單題.由題意可知直線通過圓的圓心，求出圓心坐標代入直線方程，即可得到的值.
3．【答案】A
【解析】由條件知，可以整理為故直線過定點，所求圓的方程為，化為一般方程為．
故選A．
4．【答案】D
【解析】設圓心坐標為，半徑為，則圓的方程為，
將，，三點代入，得，解得，．
∴圓的標準方程為．
故選D．
【名師點睛】本題主要考查圓的標準方程，重點找出圓心及半徑是關鍵，難度不大.根據(jù)題意設出圓心，利用圓心到三點的距離相等建立等式，從而求得標準方程.
5．【答案】B
【解析】因為在圓外，且圓心與的距離等于，又P為圓上任一點，所以P與點的距離的最小值等于圓心與的距離減去半徑，因此最小值為.
故選B.
【名師點睛】本題主要考查定點到圓上的動點的距離問題，結合圓的的性質以及點到直線距離公式即可求解，屬于基礎題型.求解時，先確定點在圓外，因此圓上的點到點的距離的最小值即等于圓心與的距離減去半徑，進而可得出結果.
6．【答案】B
【解析】因為，所以，
因此圓面積為，時圓面積最大，此時圓心坐標為，故選B.
【名師點睛】本題考查圓的標準方程，考查基本化簡求解能力.求解時，先列圓面積解析式，再根據(jù)圓面積最大時k的值確定對應圓心坐標.
7．【答案】D
【解析】圓x2+y2+kx+2y?4=0的圓心坐標為，
因為點M，N在圓x2+y2+kx+2y?4=0上，且點M，N關于直線l：x?y+1=0對稱，
所以直線l：x?y+1=0經(jīng)過圓心，
所以．
所以圓的方程為：x2+y2+4x+2y?4=0，圓的半徑為：
故選D．
【名師點睛】本題考查圓的對稱性，考查圓的一般方程的應用，考查計算能力．圓上的點關于直線對稱，則直線經(jīng)過圓心，求出圓的圓心，代入直線方程，即可求出k，然后求出半徑．
8．【答案】A
【解析】兩部分面積之差最大，即弦長最短，此時直線垂直于過該點的直徑．
因為過點的直徑所在直線的斜率為1，所以所求直線的斜率為，即方程為.
9．【答案】D
【解析】設，的中點為，則由中點坐標公式得.因為點在圓上，所以，即.將此方程與方程比較可得，解得.故選D.
10．【答案】C
【解析】由題得圓的方程為設由于，所以由于表示圓C上的點到原點距離的平方，所以連接OC，并延長和圓C相交，交點即為M，此時最大，m也最大.
故選C.
11．【答案】
【解析】設三角形的外接圓方程是，由點,，在圓上可得，，解得，故三角形的外接圓方程為，故答案為.
【名師點睛】本題主要考查圓的方程和性質，屬于中檔題.求圓的方程常見思路與方法有:
①直接設出動點坐標，根據(jù)題意列出關于的方程即可；
②根據(jù)幾何意義直接找到圓心坐標和半徑，寫出方程；
③待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設出圓的標準方程或一般式方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.
12．【答案】
【解析】的幾何意義是點（0，0）與圓上的點的距離的平方，
點（0，0）到圓心（?1，0）的距離為1，
則點（0，0）到圓上點的距離的最小值為1?r=1?=（r為圓的半徑），
故的最小值為.
故答案為：.
【名師點睛】本題考查圓外點與圓上點的距離的最值問題，利用圓外點與圓心的距離加減圓半徑即可得到最大和最小值.
13．【答案】
【解析】因為圓的方程為，所以，半徑．
設點的坐標為，則由題可得，，
所以（為坐標原點），
又（當且僅當時取等號），
所以點在圓外，所以（當且僅當，，，三點共線時取等號），
所以，故的最小值為，故答案為.
【名師點睛】本題主要考查了對稱關系以及兩點間的距離，圓上一動點到圓外一點距離的最值問題，屬于中檔題.設出的坐標為，根據(jù)對稱性得坐標，根據(jù)兩點間距離公式可得，判斷點在圓外，由即可得結果.
14．【答案】（1）x2＋（y－1）2＝10；（2）（x－3）2＋（y－2）2＝20．
【解析】（1）當AB為直徑時，過A、B的圓的半徑最小，從而周長最?。?br>即AB中點（0,1）為圓心，半徑．
則所求圓的方程為x2＋（y－1）2＝10．
（2） 解法1：
直線AB的斜率為k＝－3，則線段AB的垂直平分線的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0．
由圓心在直線上得兩直線交點為圓心即圓心坐標是C（3,2）．
r＝|AC|＝．
∴所求圓的方程為（x－3）2＋（y－2）2＝20．
解法2：待定系數(shù)法
設圓的方程為：（x－a）2＋（y－b）2＝r2．
則.
∴所求圓的方程為：（x－3）2＋（y－2）2＝20．
15．【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依題意設，
以為直徑的圓過點，
.
又，
，
.
∴該圓的圓心坐標為，半徑，
故所求的坐標為，圓的方程為.
（2）設的坐標為，依題可得，直線的方程為：，
直線的方程為：.
因為平分，
所以點到直線和的距離相等.
，得，解得或.
，
，
的坐標為.
【名師點睛】該題考查的是有關解析幾何初步的知識，涉及的知識點有：在圓中，直徑所對的圓周角為直角；向量垂直，數(shù)量積等于零；以某條線段為直徑的圓的方程；角平分線的性質.根據(jù)題的條件，得到相應的等量關系式，求得結果.
16．【答案】（1）見解析；（2）M的軌跡方程是，它是一個以為圓心，為半徑的圓．
【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，
所以圓心C到直線的距離．
所以直線與圓C相交，即直線與圓總有兩個不同的交點；
或：直線的方程可化為，無論m怎么變化，直線過定點.
由于，所以點是圓C內(nèi)一點，
故直線與圓總有兩個不同的交點．
（2）設中點為，因為直線恒過定點，
當直線的斜率存在時， ，
又， ，
所以，化簡得．
當直線的斜率不存在時，中點也滿足上述方程．
所以M的軌跡方程是，它是一個以為圓心，為半徑的圓．
17．【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】（1）由題意得，.
由于為銳角三角形，外接圓就是的最小覆蓋圓.
設外接圓方程為，
則， 解得.
所以的最小覆蓋圓的方程為.
（2）因為的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓，
所以的最小覆蓋圓的方程為.
又因為，
所以點A，C都在圓內(nèi).
所以四邊形的最小覆蓋圓的方程為.
（3）由題意，曲線為中心對稱圖形.
設曲線上一點，則.
所以，且.
故，
所以當時，，
所以曲線的最小覆蓋圓的方程為.
【名師點睛】本題以新定義為背景，考查圓的方程的求解，考查數(shù)形結合思想，考查等價轉化思想，屬于中檔題.
（1）由題意，，利用三角形的外接圓即最小覆蓋圓可得結果；
（2）的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓，易知A，C均在圓內(nèi)；
（3）由 題意，曲線為中心對稱圖形.設，轉求的最大值即可.圓的標準方程
圓的一般方程
定義
在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓，確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑
方程
圓心
半徑
區(qū)別與
聯(lián)系
（1）圓的標準方程明確地表現(xiàn)出圓的幾何要素，即圓心坐標和半徑長；
（2）圓的一般方程的代數(shù)結構明顯，圓心坐標和半徑長需要通過代數(shù)運算才能得出；
（3）二者可以互化：將圓的標準方程展開可得一般方程，將圓的一般方程配方可得標準方程
標準方程的形式
一般方程的形式
點（x0，y0）在圓上
點（x0，y0）在圓外
點（x0，y0）在圓內(nèi)

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