（十八）推理與證明
1．合情推理與演繹推理
（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.
（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.
2．直接證明與間接證明
（1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).
（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).
3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.
一、推理
1．推理
（1）定義：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程就是推理．推理一般包含兩個(gè)部分：一是前提，是指已知的事實(shí)(或假設(shè))；二是結(jié)論，是由已知判斷推出的新的判斷，即推理的形式為“前提結(jié)論”.
（2）分類：推理eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(合情推理,演繹推理))．
2．合情推理
（1）定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理.
（2）特點(diǎn)：
①合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；
②合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理.
（3）分類：合情推理．
（4）歸納推理和類比推理的定義、特征及步驟
3．演繹推理
（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．
（2）特點(diǎn)：
①演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確；若大前提、小前提、推理形式三者中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，所得的結(jié)論就是錯(cuò)誤的.
②演繹推理是證明結(jié)論的推理．
（3）模式：三段論是演繹推理的一般模式，即
①大前提——已知一般的原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.
【注】三段論常用的格式為：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
結(jié)論：S是P.
二、證明
1．直接證明——綜合法與分析法
（1）綜合法
①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示要證的結(jié)論)
③思維過(guò)程：由因?qū)Ч?br>（2）分析法
①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．
②框圖表示：(其中P表示要證明的結(jié)論)
③思維過(guò)程：執(zhí)果索因．
2．間接證明——反證法
（1）定義：一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.
（2）反證法中的矛盾主要是指以下幾方面：
①與已知條件矛盾；
②與假設(shè)矛盾；
③與定義、公理、定理矛盾；
④與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；
⑤自相矛盾．
三、數(shù)學(xué)歸納法
（1）概念：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；
②(歸納遞推)假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立.
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立.
上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.
（2）框圖表示：
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟，要做到“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”．因此必須注意以下兩點(diǎn)：
①驗(yàn)證是基礎(chǔ)
數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)數(shù)n0就是要證明的命題對(duì)象的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此，“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法第一個(gè)要注意的問(wèn)題．
②遞推是關(guān)鍵
數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過(guò)程中，必須把歸納假設(shè)“n=k”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n=k+1”時(shí)的命題成立，在推導(dǎo)過(guò)程中，歸納假設(shè)要用一次或幾次．
考向一 合情推理
常見的類比、歸納推理及求解策略：
（1）在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：
①找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；
②找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等．
（2）歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.
典例1 在等差數(shù)列中，若，則有等式成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列中，若，則成立的等式是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在等差數(shù)列中，若，則有等式成立
∴在等比數(shù)列中，若，則有等式成立.
故選C．
【名師點(diǎn)睛】類比推理應(yīng)用的類型及相應(yīng)方法：
(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解；
(2)類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問(wèn)題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵；
(3)類比方法：有一些處理問(wèn)題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中，注意知識(shí)的遷移．
典例2 觀察下列式子：，，，，…，根據(jù)以上式子可歸納：________________．
【答案】
【解析】因?yàn)?,,
所以=
【技巧點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題時(shí)，通常利用歸納推理，其步驟如下：
①分別歸納各式左、右兩邊的規(guī)律；
②明確各式左、右兩邊之間的關(guān)系；
③按歸納出的規(guī)律寫出即可.解決此類問(wèn)題一般需要轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和等.
1．在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出，“割之彌細(xì)，所失彌少，制之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣．”注述中所用的割圓術(shù)是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過(guò)方程確定出來(lái)，類比上述結(jié)論可得的正值為
A．1B．
C．2D．4
2．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究了“多邊形數(shù)”，人們把多邊形數(shù)推廣到空間，研究了“四面體數(shù)”，下圖是第一至第四個(gè)四面體數(shù).（已知）
觀察上圖，由此得出第5個(gè)四面體數(shù)為______（用數(shù)字作答）；第個(gè)四面體數(shù)為______.
考向二 演繹推理
（1）演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略.
（2）演繹推理的結(jié)論是否正確，取決于該推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正確，因此，分析推理中的錯(cuò)因?qū)嵸|(zhì)就是判斷大前提、小前提和推理形式是否正確.
典例3 有一段“三段論”，推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點(diǎn)．因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)．以上推理中
A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤
C．推理形式錯(cuò)誤 D．結(jié)論正確
【答案】A
【解析】因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以大前提錯(cuò)誤.
故選A．
典例4 甲、乙、丙三人中，一人是教師、一人是記者、一人是醫(yī)生.已知：丙的年齡比醫(yī)生大；甲的年齡和記者不同；記者的年齡比乙小.根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是
A．甲是教師，乙是醫(yī)生，丙是記者B．甲是醫(yī)生，乙是記者，丙是教師
C．甲是醫(yī)生，乙是教師，丙是記者D．甲是記者，乙是醫(yī)生，丙是教師
【答案】C
【解析】由甲的年齡和記者不同和記者的年齡比乙小可以推得丙是記者，再由丙的年齡比醫(yī)生大，可知甲是醫(yī)生，故乙是教師.
故選C.
3．“四邊形是矩形，四邊形的對(duì)角線相等”補(bǔ)充以上推理的大前提是
A．正方形都是對(duì)角線相等的四邊形B．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形
C．等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形
4．某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動(dòng)車限行政策，每輛機(jī)動(dòng)車每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有，，，，五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛.已知車周四限行，車昨天限行，從今天算起，，兩車連續(xù)四天都能上路行駛，車明天可以上路，由此可知下列推測(cè)一定正確的是
A．今天是周四B．今天是周六
C．車周三限行D．車周五限行
考向三 直接證明
利用綜合法、分析法證明問(wèn)題的策略：
（1）綜合法的證明步驟如下：
①分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；
②轉(zhuǎn)化條件，組織過(guò)程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴(yán)密的證明過(guò)程.特別地，根據(jù)題目特點(diǎn)選取合適的證法可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
（2）分析法的證明過(guò)程是：確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到獲得一個(gè)顯而易見的命題即可.
（3）實(shí)際解題時(shí)，用分析法思考問(wèn)題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過(guò)程，或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“已知”(分析)，從“已知”推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.
典例5 已知，求證：.
【答案】見解析.
【解析】要證，
只需要證.
∵，
∴只需要證，即，
從而只需要證，
∴只需要證，
即，而上述不等式顯然成立，
故原不等式成立．
【名師點(diǎn)睛】①逆向思考是用分析法證明的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵．
②證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.
5．在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，，且.
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，.
考向四 間接證明
1．用反證法證明不等式要把握的三點(diǎn)
（1）必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面．
（2）必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證.
（3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.
2．反證法的一般步驟
用反證法證明命題時(shí)，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程包括下面三個(gè)步驟：
（1）反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；
（2）歸謬——由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，得出矛盾；
（3）存真——由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯(cuò)誤，從而肯定原結(jié)論成立.
即反證法的證明過(guò)程可以概括為：反設(shè)——?dú)w謬——存真.
典例6 用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是
A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)
C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)
D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)
【答案】B
【解析】“恰有一個(gè)偶數(shù)”的反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選B.
【名師點(diǎn)睛】反證法證明含“至少”、“至多”型命題時(shí)，可減少討論情況，目標(biāo)明確.否定結(jié)論時(shí)需弄清楚結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.需注意“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)都沒(méi)有”，“至多有一個(gè)”的否定為“至少有兩個(gè)”.
典例7 若a,b,c均為實(shí)數(shù)，，，.求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.
【答案】見解析.
【解析】設(shè)a、b、c都小于或等于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝（x2－2x）＋（y2－4y）＋（z2－2z）＋＝（x－1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋－6>0，
這與假設(shè)矛盾，即原命題成立.
【名師點(diǎn)睛】用反證法，假設(shè)都小于或等于0，推出的值大于0,出現(xiàn)矛盾，從而得到假設(shè)不正確，命題得證.反證法的適用范圍：
（1）否定性命題；
（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無(wú)限”、“唯一”等詞語(yǔ)的命題；
（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；
（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．
6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列．
考向五 數(shù)學(xué)歸納法
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的常見策略：
（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，由n=k到n=k＋1時(shí)等式兩邊變化的項(xiàng)．
（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是由n=k成立證n=k＋1時(shí)也成立．在歸納假設(shè)后應(yīng)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等加以證明，充分應(yīng)用不等式的性質(zhì)及放縮技巧．
（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決“歸納—猜想—證明”，是不完全歸納與數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再證明結(jié)論的正確性.
典例8 在用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中：假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，則需證當(dāng)時(shí)，也成立．若，則
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，
而，所以，故選B．
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，考查對(duì)比分析能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，令，根據(jù)求出的表達(dá)式，比較，由此求得的值.
典例9 給出下列不等式：
，
，
，
，
，
……
（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】觀察不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母的特點(diǎn)：
，
……
猜想不等式左邊最后一個(gè)數(shù)的分母為，對(duì)應(yīng)各式右端為，
所以，不等式的一般結(jié)論為：.
證明：①當(dāng)時(shí)顯然成立；
②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即成立，
當(dāng)時(shí)，
.
即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.
由①②可知對(duì)任意，結(jié)論都成立.
【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)歸納法中：有時(shí)候從變成了，這其中增加了：這些項(xiàng)，不要盲目認(rèn)為是直接從變成了，這一點(diǎn)需要注意區(qū)分.求解時(shí)，（1）根據(jù)所給等式，重點(diǎn)關(guān)注不等式左邊的最后一個(gè)數(shù)的分母和右邊數(shù)的分母，寫出對(duì)應(yīng)的一般結(jié)論；（2）使用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，注意步驟.
7．已知函數(shù)在處的切線的斜率為1．
（1）求的值及的最大值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
1．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?br>A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤
C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤
2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是
A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度
C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度
3．用演繹法證明函數(shù)是增函數(shù)時(shí)的小前提是
A．函數(shù)滿足增函數(shù)的定義B．增函數(shù)的定義
C．若，則D．若，則
4．現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)正方形的某頂點(diǎn)在另一個(gè)正方形的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為，類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為
A．B．
C．D．
5．有一個(gè)奇數(shù)列1，3，5，7，9，…，現(xiàn)進(jìn)行如下分組：第1組為，第2組為；第3組為；…試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與該組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系為
A． B．
C． D．
6．沈老師告知高三文數(shù)周考的附加題只有6名同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)嘗試做了，并且這6人中只有1人答對(duì)了．同學(xué)甲猜測(cè)：D或E答對(duì)了；同學(xué)乙猜測(cè)：C不可能答對(duì)；同學(xué)丙猜測(cè)：A，B，F(xiàn)當(dāng)中必有1人答對(duì)了；同學(xué)丁猜測(cè)：D，E，F(xiàn)都不可能答對(duì)．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)，則此人是
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
7．設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該橢圓的離心率為，將此結(jié)論類比到雙曲線，得到的正確結(jié)論為
A．設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為2
B．設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為4
C．設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為2
D．設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為4
8．A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格．A系列的紙張規(guī)格特色在于：①A0、A1、A2、…、A5，所有尺寸的紙張長(zhǎng)寬比都相同．②在A系列紙中，前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長(zhǎng)邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開后，可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙，比如1張A0紙對(duì)裁后可以得到2張A1紙，1張A1紙對(duì)裁可以得到2張A2紙，依此類推．這是因?yàn)锳系列紙張的長(zhǎng)寬比為：1這一特殊比例，所以具備這種特性．已知A0紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A4紙的長(zhǎng)度約為
A．厘米B．厘米
C．厘米D．厘米
9．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個(gè)4100米接力隊(duì)，老師要安排他們四人的出場(chǎng)順序，以下是他們四人的要求.甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老師聽了他們四人的對(duì)話，安排了一種合理的出場(chǎng)順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場(chǎng)順序中跑第三棒的人是
A．丁 B．乙
C．丙 D．甲
10．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前55項(xiàng)和為
A．4072B．2026
C．4096D．2048
11．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 且”的過(guò)程中，由假設(shè)“”時(shí)成立，推導(dǎo)“”時(shí)也成立時(shí)，該不等式左邊的變化是
A．增加
B．增加
C．增加并減少
D．增加并減少
12．若，都是正整數(shù)，且，則由下列不等式：①；②；③．歸納推廣出一個(gè)一般不等式為______．
13．求“方程的解”有如下解題思路：設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，所以原方程有唯一解.類比上述解題思路，方程的解集為______.
14．已知的內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，三邊互不相等，且滿足.
（1）比較與的大小，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：不可能是鈍角.
15．已知函數(shù)，.
（1）用分析法證明：；
（2）證明：.
16．在正整數(shù)集上定義函數(shù)，滿足，且．
（1）求證：；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使，對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論．
1．【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是
A．165 cmB．175 cm
C．185 cmD．190 cm
2．【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為
A．B．
C．D．
3．【2019年高考北京卷理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽(yáng)的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為
A． 1010.1B． 10.1
C． lg10.1D． 10–10.1
4．【2017年高考全國(guó)II卷理數(shù)】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則
A．乙可以知道四人的成績(jī)B．丁可以知道四人的成績(jī)
C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D．乙、丁可以知道自己的成績(jī)
5．【2017年高考北京卷理】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
6．【2016年高考新課標(biāo)II卷理】有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 .
7．【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________．（本題第一空2分，第二空3分．）
變式拓展
1．【答案】C
【解析】由題意可得，，∴，解得．
故選C．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了推理與證明中的類比推理，屬中檔題.
2．【答案】35；
【解析】觀察可得，
第一個(gè)四面體數(shù)為1；
第二個(gè)四面體數(shù)為；
第三個(gè)四面體數(shù)為；
第四個(gè)四面體數(shù)為；
……
由此可歸納，第個(gè)四面體數(shù)為，即為，
設(shè)該式中的每個(gè)數(shù)從左至右的排列為數(shù)列，即為1，3，6，10，……
得到遞推關(guān)系為，，…，，相加后得，，
故數(shù)列的和 ，
當(dāng)時(shí)，.
故答案為：35；.
【名師點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，累加法求通項(xiàng)，分組法數(shù)列求和，考查圖形分析能力，邏輯推理能力，找到數(shù)字的演變規(guī)律是解題關(guān)鍵.求解時(shí)，通過(guò)觀察圖形，先將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，相鄰的數(shù)字差分別是3，6，10，……，即第項(xiàng)應(yīng)為，那么就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的和，為1，3，6，10，……，根據(jù)這些數(shù)字可以發(fā)現(xiàn)，， ，……， ，利用累加法可以得到，再利用題目所給已知，求出前項(xiàng)和，即為第個(gè)四面體數(shù)，當(dāng)時(shí)，即為第5個(gè)四面體數(shù).
3．【答案】B
【解析】根據(jù)題意，用演繹推理即三段論形式推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論成立，大前提應(yīng)該是結(jié)論成立的依據(jù)，
∵由四邊形是矩形，得到四邊形的對(duì)角線相等的結(jié)論，
∴大前提一定是矩形都是對(duì)角線相等的四邊形，故選B．
【名師點(diǎn)睛】本題考查演繹推理的定義，關(guān)鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，用三段論的形式分析即可得答案．
4．【答案】A
【解析】首先考查選項(xiàng)A：
若今天是周四，，，，，五輛車分別在周一、周三、周二、周五、周四，滿足題意，
據(jù)此可排除B，C，D，故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查推理案例的處理方法，特殊值法處理選擇題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
5．【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）∵，
∴，
∴，解得，
同理解得，即.
（2）要證時(shí)，，
只需證，只需證，只需證，
只需證，只需證，
根據(jù)基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以原不等式成立．
【名師點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．求解時(shí)，（1）推導(dǎo)出，解得，從而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式即可得到結(jié)果．
6．【答案】（1）；（2）見證明.
【解析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得，
所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以.
（2）(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，則2aq＋1＝ap＋1+ar＋1，即，
所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因?yàn)閜＜q＜r，r∈N*，
所以r－q，r－p∈N*.
所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立．
所以假設(shè)不成立，原命題得證．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查反證法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.求解時(shí)，（1）利用項(xiàng)和公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用反證法證明.
7．【答案】（1），；（2）見證明.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)數(shù)，得．
由已知，得，即，∴．
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，該極大值即為最大值，
∴.
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，∴左邊＞右邊，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．
那么，
由（1），知（，且）．
令，則，
∴，
∴．
即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．
根據(jù)①②，可知不等式對(duì)任意都成立．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力，難度較大.求解時(shí)，（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用即可求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的增減性，于是求得最大值；（2）①當(dāng)時(shí)，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立；驗(yàn)證時(shí)，不等式成立即可.
專題沖關(guān)
1．【答案】A
【解析】在推理過(guò)程“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”中，直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線為大前提，由線面平行的性質(zhì)易得直線平行于平面，則直線可與平面內(nèi)的直線可能平行、也可能異面，這是一個(gè)假命題，故這個(gè)推理過(guò)程錯(cuò)誤的原因是：大前提錯(cuò)誤.
故選A．
【名師點(diǎn)睛】由三段論的一般模式，可得結(jié)論.三段論是演繹推理的一般模式：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情況；
（3）結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.
2．【答案】D
【解析】根據(jù)反證法的步驟可知，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒(méi)有”即“三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60度”，故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法的概念，以及命題的否定的應(yīng)用，著重考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)反證法的定義，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，即可求得，得到答案.
3．【答案】A
【解析】證明函數(shù)是增函數(shù)，依據(jù)的原理是增函數(shù)的定義，因此，用演繹法證明函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，大前提是：增函數(shù)的定義；小前提是函數(shù)滿足增函數(shù)的定義.
故選A.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查演繹推理，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提提出了一個(gè)特殊的對(duì)象，兩者聯(lián)系，即可得出結(jié)果.
【名師點(diǎn)睛】（1）歸納推理和演繹推理會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是由合情推理的性質(zhì)決定的，但演繹推理出現(xiàn)錯(cuò)誤，有三種可能，一種是大前提錯(cuò)誤，第二種是小前提錯(cuò)誤，第三種是邏輯結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤．
（2）在使用三段論推理證明中，如果命題是錯(cuò)誤的，則可能是“大前提”錯(cuò)誤，也可能是“小前提”錯(cuò)誤，也可能是邏輯錯(cuò)誤.仔細(xì)分析“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的推理過(guò)程，不難得到結(jié)論．
4．【答案】C
【解析】由題意，因?yàn)橥粋€(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊的部分的面積恒為，
類比到空間中由兩個(gè)棱長(zhǎng)均為的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，
則這兩個(gè)正方體的重疊部分的體積為，故選C.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)類比推理出正方體的性質(zhì)特征，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了推理與論證能力．求解時(shí)，根據(jù)正方形中，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊的部分的面積恒為，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可類比推理出兩個(gè)正方體重疊部分的體積，得到答案．
5．【答案】B
【解析】由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；
第三組數(shù)字之和為，依次類推，按照規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和為.
故選B.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，對(duì)于合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，觀察規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和與其組的編號(hào)數(shù)之間的關(guān)系.
6．【答案】D
【解析】若甲猜對(duì)，則乙也猜對(duì)，與題意不符，故甲猜錯(cuò)；
若乙猜對(duì)，則甲或丙猜對(duì)，與題意不符，故乙猜錯(cuò)；
若丙猜對(duì)，則乙猜對(duì)，與題意不符，故丙猜錯(cuò)；
∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜對(duì)，
∴丁猜對(duì)．
故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題考查推理能力，考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查命題的真假判斷及應(yīng)用，是中檔題．求解時(shí)，分別假設(shè)甲對(duì)、乙對(duì)、丙對(duì)、丁對(duì)，由已知條件進(jìn)行推理，由此能求出結(jié)果．
7．【答案】C
【解析】對(duì)于雙曲線而言，，排除A，B．
由，得，
故選C．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和雙曲線離心率的計(jì)算，考查類比推理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.求解時(shí)，先排除A，B，再根據(jù)求出雙曲線的離心率得解.
8．【答案】C
【解析】由題意，A0紙的長(zhǎng)與寬分別為118.9厘米，84.1厘米，
則A1紙的長(zhǎng)為，A2紙的長(zhǎng)為，
A3紙的長(zhǎng)為，A4紙的長(zhǎng)為≈29.7（厘米）．
故選C.
【名師點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意正確找出圖形變化過(guò)程中存在的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
9．【答案】C
【解析】由題意知，乙、丙均不跑第一棒和第四棒，則跑第三棒的人只能是乙、丙中的一個(gè)，
當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁是第一棒，甲是第四捧，符合題意，
當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，丁只能跑第四棒，甲跑第一捧，不符合題意，
故跑第三棒的人是丙，故答案為丙.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查推理案例，屬于難題.推理案例的題型是高考命題的熱點(diǎn)，由于條件較多，做題時(shí)往往感到不知從哪里找到突破點(diǎn)，解答這類問(wèn)題，一定要仔細(xì)閱讀題文，逐條分析所給條件，并將其引伸，找到各條件的融匯之處和矛盾之處，多次應(yīng)用假設(shè)、排除、驗(yàn)證，清理出有用“線索”，找準(zhǔn)突破點(diǎn)，從而使問(wèn)題得以解決.
10．【答案】A
【解析】由題意可知：每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為Sn2n﹣1，
若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，……，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則Tn，
可得當(dāng)n＝10，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55，
則楊輝三角形的前12項(xiàng)的和為S12＝212﹣1，
則此數(shù)列前55項(xiàng)的和為S12﹣23＝4072，
故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．求解時(shí)，利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
11．【答案】D
【解析】時(shí)，不等式為；
時(shí)，不等式為，
比較可得，增加并減少.
故選D．
【名師點(diǎn)睛】用數(shù)學(xué)歸納法寫遞推式時(shí)，要注意從到時(shí)系數(shù)k對(duì)表達(dá)式的影響，防止出錯(cuò)的方法是依次寫出和的表達(dá)式，對(duì)比增項(xiàng)是什么，減項(xiàng)是什么即可.
12．【答案】
【解析】利用歸納推理發(fā)現(xiàn)左邊的次冪為，右邊兩項(xiàng)相加，且次冪和為，的次冪呈2倍的關(guān)系，
所以.
故填：..
【名師點(diǎn)睛】歸納推理的一般步驟是兩步，一是通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；二是從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.
13．【答案】
【解析】，即，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增.
又∵，∴，解得或?1，故方程的解集是.
故答案為.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，結(jié)合題中條件，找出適當(dāng)?shù)囊?guī)律即可，屬于常考題型.求解時(shí)，先由得到，構(gòu)造，進(jìn)而得出結(jié)果.
14．【答案】（1）；（2）詳見解析.
【解析】（1）大小關(guān)系為.
證明如下：要證，只需證，
由題意知，只需證，（已知條件）
故所得大小關(guān)系正確.
（2）假設(shè)是鈍角，則，
而，
這與矛盾，故假設(shè)不成立.
所以不可能是鈍角.
【名師點(diǎn)睛】本題考查分析法與反證法，考查基本求證能力，屬基本題.求解時(shí)，（1）利用分析法，將所證不等式轉(zhuǎn)化為已知條件，即得結(jié)論；（2）利用反證法，先假設(shè)，再結(jié)合余弦定理得矛盾，即否定假設(shè)即得結(jié)論.
15．【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】（1）由，得，
要證，
只需證，
只需證，
只需證，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?
所以成立.
（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，
所以由（1）得.
【思路點(diǎn)撥】（1）要證原不等式成立，先將函數(shù)的表達(dá)式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個(gè)顯然成立的結(jié)論，由此證得原不等式成立.
（2）利用（1）的結(jié)論，將（1）右邊的二次函數(shù)配方，求出其最小值，由此可證得，而，由此可得.
16．【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析.
【解析】（1）因?yàn)?，整理得?br>由，代入得，，
所以．
（2）由，，可得．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
存在實(shí)數(shù)，使成立．
①當(dāng)時(shí)，顯然成立；
②當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，使得成立，
那么，當(dāng)時(shí)，
，
即當(dāng)時(shí)，存在，使得成立．
由①，②可知，存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．
【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用，重在轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力的考查.求解時(shí)，（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系，求出，再證明；（2）通過(guò)判斷a，b的值，然后采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
直通高考
1．【答案】B
【解析】方法一：如下圖所示.
依題意可知：
，
腿長(zhǎng)為105 cm得，即，
，
，
所以AD>169.89.
②頭頂至脖子下端長(zhǎng)度為26 cm，
即AB

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