利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.
一、正態(tài)曲線
1．正態(tài)曲線的定義
函數(shù)，其中實數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，稱的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標準差)．
2．正態(tài)曲線的特點
①曲線位于軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，關于直線對稱；
③曲線在處達到峰值；
④曲線與x軸之間的面積為1；
⑤當一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
⑥當μ一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
二、正態(tài)分布
1．正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實數(shù)，隨機變量X滿足(即x=a，x=b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作．
2．正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)
①；
②；
③.
【注】若，則.
考向一 正態(tài)分布
關于正態(tài)分布在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率的求法：
(1)熟記，，的值．
(2)正態(tài)曲線關于直線對稱，從而在關于對稱的區(qū)間上的概率相同．
(3).
(4)若X服從正態(tài)分布，即，要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.
典例1 已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
A．0.6827 B．0.8522
C．0.9544 D．0.9772
【答案】C
【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以其圖象關于直線對稱，
因為，所以，
所以，所以.
故選C.
【名師點睛】本題考查正態(tài)分布，關鍵是對正態(tài)分布曲線的理解與掌握，是基礎題.利用正態(tài)分布的對稱性結合已知求得，然后求解即可.
1．設兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如圖所示，則
A． B．
C． D．
2．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則的值為
A．0.2B．0.3
C．0.4D．0.6
考向二 正態(tài)分布的應用
正態(tài)分布及其應用在近幾年新課標高考中時常出現(xiàn)，主要考查正態(tài)曲線的性質(特別是對稱性)，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較?。挥袝r也會與概率統(tǒng)計結合，在解答題中考查．
典例2 假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為，則的值為
(參考數(shù)據(jù)：若，則； ；.)
A．0.9544 B．0.6826
C．0.9974 D．0.9772
【答案】D
【解析】由于隨機變量X服從正態(tài)分布，故有μ=800，σ=50，則.由正態(tài)分布的對稱性，可得
.
典例3 2019超長“三伏”來襲，雖然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但隨著氣溫的不斷攀升，仍然無法阻擋冷飲品銷量的暴增.現(xiàn)在，某知名冷飲品銷售公司通過隨機抽樣的方式，得到其100家加盟超市3天內(nèi)進貨總價的統(tǒng)計結果如下表所示：
（1）由頻數(shù)分布表大致可以認為，被抽查超市3天內(nèi)進貨總價，μ近似為這100家超市3天內(nèi)進貨總價的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），利用正態(tài)分布，求；
（2）在（1）的條件下，該公司為增加銷售額，特別為這100家超市制定如下抽獎方案：
①令m表示“超市3天內(nèi)進貨總價超過μ的百分點”，其中.若，則該超市獲得1次抽獎機會；，則該超市獲得2次抽獎機會；，則該超市獲得3次抽獎機會；，則該超市獲得4次抽獎機會；，則該超市獲得5次抽獎機會；，則該超市獲得6次抽獎機會.另外，規(guī)定3天內(nèi)進貨總價低于μ的超市沒有抽獎機會；
②每次抽獎中獎獲得的獎金金額為1000元，每次抽獎中獎的概率為.
設超市A參加了抽查，且超市A在3天內(nèi)進貨總價百元.記X（單位：元)表示超市A獲得的獎金總額，求X的分布列與數(shù)學期望.
附參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，.
【解析】（1）由題意得，
因為，
所以，
，
所以，
，
所以.
（2）因為，所以，
所以超市A獲得4次抽獎機會，
從而X的可能取值為0，1000，2000，3000，4000，
又因為每次抽獎不中的概率為，所以
，
，
，
，
.
所以X的分布列為
所以，X的數(shù)學期望為元.
3．一次考試中，某班學生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布，若，則該班數(shù)學成績的及格（成績達到分為及格）率可估計為
A．B．
C．D．
4．在一次考試中某班級50名學生的成績統(tǒng)計如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.
經(jīng)計算樣本的平均值，標準差.為評判該份試卷質量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)椋⒏鶕?jù)以下不等式進行評判：
①；
②；
③.
評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.
（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；
（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨機抽出4人進行學習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
1．隨機變量服從正態(tài)分布，若，，則
A．3 B．4
C．5 D．6
2．在某項測試中，測量結果服從正態(tài)分布，若，則
A．B．
C．D．
3．已知隨機變量，且，則
A． B．
C． D．
4．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機從這次考試的成績中抽取100個樣本，則成績低于48分的樣本個數(shù)大約為
A．6B．4
C．94D．96
5．已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則
A．B．
C．D．
6．某工廠生產(chǎn)的零件外直徑（單位：cm）服從正態(tài)分布N10， 0.12，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為9.82cm和10.31cm，則可認為
A．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常B．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常
C．上、下午生產(chǎn)情況均正常D．上、下午生產(chǎn)情況均異常
7．某商場經(jīng)營的某種包裝的大米質量ξ（單位：kg）服從正態(tài)分布N（10，σ2），根據(jù)檢測結果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有1000名職工，則分發(fā)到的大米質量在9.9 kg以下的職工數(shù)大約為
A．10 B．20
C．30 D．40
8．設隨機變量X~N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是
（注：若X~N(μ,σ2)，則Pμ-σ

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