理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.
·公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi).
·公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.
·公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
·公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
·定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.
一、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
1．平面的基本性質(zhì)
2．等角定理
（1）自然語言：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.
（2）符號語言： 如圖（1）、（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，，則或.
圖（1） 圖（2）
二、空間兩直線的位置關(guān)系
1．空間兩直線位置關(guān)系的分類
空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類方式：
（1）從有無公共點的角度分類：

（2）從是否共面的角度分類：

【注意】異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.
2．異面直線所成的角
（1）異面直線所成角的定義
如圖,已知兩異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O,分別作直線a′∥a,b′∥b,相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.
（2）異面直線所成角的范圍
異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是.
（3）兩條異面直線垂直的定義
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a,b,記作a⊥b.
三、空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
1．直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類
（1）直線和平面位置關(guān)系的分類
①按公共點個數(shù)分類：
②按是否平行分類：
③按直線是否在平面內(nèi)分類：
（2）平面和平面位置關(guān)系的分類
兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：
（1）兩個平面平行——沒有公共點；
（2）兩個平面相交——有一條公共直線.
2．直線與平面的位置關(guān)系的符號表示和圖形表示
3．常用結(jié)論
（1）唯一性定理
①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
②過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
③過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
④過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
（2）異面直線的判定方法
經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線．
考向一 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
（1）證明點共線問題，就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是公理3.常用方法有：
①首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3知這些點都在這兩個平面的交線上；
②選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.
（2）證明三線共點問題，一般先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常結(jié)合公理3，證明該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點.
（3）證明點或線共面問題，主要有兩種方法：
①首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)；
②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.
典例1 （1）在下列命題中，不是公理的是
A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行
B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面
C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)
D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
（2）給出以下四個命題：
①不共面的四點中，其中任意三點不共線；
②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面；
③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面.
其中正確命題的個數(shù)是
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】（1）A （2）B
【解析】（1）選項A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的.根據(jù)平面的基本性質(zhì)知，選項B為公理2，選項C為公理1，選項D為公理3.
所以選A.
（2）①中，假設(shè)存在三點共線，則這四點必共面，與題設(shè)矛盾，故①正確；
②中，若A、B、C三點共線，則A、B、C、D、E有可能不共面，故②錯誤；
③中，如圖所示正方體的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c異面，故③錯誤；
④中，空間四邊形的四條線段不共面，故④錯誤.
故選B.

1．如圖所示，在空間四面體中，分別是，的中點，分別是，上的點，且.求證：
（1）四點共面；
（2）直線共點.
考向二 空間線面位置關(guān)系的判斷
兩條直線位置關(guān)系判斷的策略：
(1)異面直線的判定方法：
①判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．
②反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．
(2)點、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線，直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系，準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直．
(3)對于異面直線的條數(shù)問題，可以根據(jù)異面直線的定義逐一排查.
典例2 如圖，在正方體中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，
有以下四個結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確的結(jié)論為
A．③④B．①②
C．①③D．②④
【答案】A
【解析】∵A、M、C、C1 四點不共面，∴直線AM與CC1 是異面直線，故①錯誤；
同理，直線AM與BN也是異面直線，故②錯誤．
同理，直線BN與MB1 是異面直線，故③正確；
同理，直線AM與DD1 是異面直線，故④正確.
故選A．
2．已知為不同的平面,為不同的直線，則下列選項正確的是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
典例3 如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別是A1B1,B1C1的中點.問:
（1）AM和CN是否是異面直線?說明理由.
（2）D1B和CC1是否是異面直線?說明理由.
【解析】（1）AM和CN不是異面直線.理由如下：
如圖,連接A1C1,AC,MN,
∵M,N分別是A1B1,B1C1的中點,∴MN∥A1C1.
又A1AC1C,∴A1ACC1為平行四邊形,
∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,
∴A,M,N,C在同一個平面內(nèi),故AM和CN不是異面直線.
（2）D1B和CC1是異面直線,理由如下:
假設(shè)D1B與CC1在同一個平面CC1D1內(nèi),則B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1,
∴BC?平面CC1D1,
這與ABCD-A1B1C1D1是正方體相矛盾,
∴假設(shè)不成立,故D1B和CC1是異面直線.
3．如圖所示，若分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線是異面直線的圖形有

A．①②B．③④
C．②④D．①③
考向三 異面直線所成的角
求異面直線所成的角的常見策略：
(1)求異面直線所成的角常用平移法．
平移法有三種類型，利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移，利用補形平移．
(2)求異面直線所成角的步驟
①一作：即根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；
②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.
典例4 如圖，四棱錐中，，，和都是等邊三角形，則異面直線和所成角的大小為
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，過作，則，過作，則或其補角即為異面直線CD和PB所成的角，如圖所示，過作，連接，則四邊形是梯形，其中，，過作，則，
在中，，
則，所以，
故選A.
【方法點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間中異面直線所成角的求解，其中根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，把空間中異面直線和所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，放置在三角形中，利用解三角形的知識求解是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學生的推理、運算能力，試題屬于基礎(chǔ)題.
4．如圖,在四棱柱中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形是菱形且，，若異面直線和所成的角為，試求的長.
1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD成異面直線的棱共有
A．4條 B．5條
C．6條 D．7條
2．圓心和圓上任意兩點可確定的平面有
A．0個B．1個
C．2個D．1個或無數(shù)個
3．若兩個平面相交，則分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線
A．平行B．異面
C．相交D．以上皆有可能
4．若直線l與平面α相交，則
A．平面α內(nèi)存在直線與l異面
B．平面α內(nèi)存在唯一一條直線與l平行
C．平面α內(nèi)存在唯一一條直線與l垂直
D．平面α內(nèi)的直線與l都相交
5．已知直線a/平面α,直線b?平面α,則
A．a(chǎn)//bB．a(chǎn)與b異面
C．a(chǎn)與b相交D．a(chǎn)與b無公共點
6．若直線aα,給出下列結(jié)論：
①α內(nèi)的所有直線與a異面；②α內(nèi)的直線與a都相交；
③α內(nèi)存在唯一的直線與a平行；④α內(nèi)不存在與a平行的直線
其中成立的個數(shù)是
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知在正方體中（如圖），平面，且與不平行，則下列一定不可能的是
A．l與AD平行B．l與AB異面
C．l與CD所成的角為30°D．l與BD垂直
8．在空間中,下列命題正確的是
A．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l平行,則
B．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行,則
C．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l垂直,則
D．若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β垂直,則
9．給出下列四種說法:
①兩個相交平面有不在同一直線上的三個公共點； ②一條直線和一個點確定一個平面；
③若四點不共面, 則每三點一定不共線； ④三條平行線確定三個平面．
正確說法的個數(shù)為
A．1B．2
C．3D．4
10．已知為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β，直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則
A．且B．α⊥β且l⊥β
C．α與β相交,且交線垂直于lD．α與β相交,且交線平行于l
11．若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，，，則下列結(jié)論一定正確的是
A． B．
C．與既不垂直也不平行 D．與的位置關(guān)系不確定
12．如圖，四棱錐，，是的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是
A．四點不共面B．四點共面
C．三點共線D．三點共線
13．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為
A．B．
C．D．
14．在空間四邊形中，分別是的中點.若，且與所成的角為，則四邊形的面積為
A．B．
C．D．
15．我國古代《九章算術(shù)》里，記載了一個例子：今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何？”該問題中的羨除是如圖所示的五面體ABCDEF，其三個側(cè)面皆為等腰梯形，兩個底面為直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB,CD間的距離為3尺，CD,EF間的距離為7尺，則異面直線DF與AB所成角的正弦值為
A．9130130 B．7130130
C．97 D．79
16．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：
①與平行； ②與是異面直線；
③與成角； ④與是異面直線.
以上四個命題中，正確命題的個數(shù)是
A．1B．2
C．3D．4
17．若直線a和平面α平行,且直線b?α,則兩直線a和b的位置關(guān)系為 _____ .
18．如圖所示，是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，給出下列結(jié)論：
①A、M、O三點共線；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．
其中正確結(jié)論的序號為____________．
19．已知m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面,給出下列命題:
①若α⊥β, α∩β=m,n⊥m,則n⊥α或n⊥β;
②若α∩β=m,n//α,n//β,則n//m ;
③若m不垂直于平面α,則m不可能垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線;
④若m⊥α,n⊥β, α//β,則m//n .
其中正確的是__________.(填上所有正確的序號)
20．如圖，在長方體，且異面直線所成角的余弦值為，則該長方體外接球的體積為__________.
21．在四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點,若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=2,則EF的長度為__________.
22．如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點.
求證：（1）E,C,D1,F四點共面；
（2）CE,D1F,DA三線共點.
23．已知空間四邊形ABCD中,E,H分別是邊AB,AD的中點,F,G分別是邊BC,CD的中點.
(1)求證:BC與AD是異面直線;
(2)求證:EG與FH相交.
24．如圖，矩形所在平面與以為直徑的圓所在平面垂直，為中點，是圓周上一點，且，，．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）設(shè)點是線段上的點，且滿足，若直線平面，求實數(shù)的值．
1．（2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則
A．BM=EN，且直線BM，EN 是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN 是相交直線
C．BM=EN，且直線BM，EN 是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN 是異面直線
2．（2018新課標全國Ⅱ理科）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．
C．D．
3．（2017新課標全國Ⅱ理科）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．
C．D．
4．（2016新課標全國Ⅰ理科）平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，則m，n所成角的正弦值為
A． B．
C． D．
5．(2017新課標全國Ⅲ理科) a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；
②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；
③直線AB與a所成角的最小值為45°；
④直線AB與a所成角的最大值為60°.
其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號）
6．（2016上海理科）將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).
（1）求三棱錐的體積；
（2）求異面直線與所成的角的大小.
變式拓展
1．【解析】（1）如圖，連接，，
分別是的中點，.
又，，
，四點共面.
（2）易知與直線不平行，但共面，設(shè)，
則平面，平面.
∵平面平面，
，∴直線共點.
2．【答案】C
【解析】對于A選項，有可能異面，故錯誤；
對于B選項，可能相交或異面，故錯誤；
對于C選項，，顯然故正確；
對于D選項，也有可能，故錯誤.
所以選C．
3．【答案】C
【解析】①中，，③中，連接，則且，故，必相交，②④符合題意.
故選C.
4．【解析】如圖，連接.
由題意得四棱柱中，，，
∴四邊形是平行四邊形，
，
（或其補角）為和所成的角.
∵異面直線和所成的角為，
.
∵四棱柱中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形是菱形，
是等腰直角三角形，.
∵底面四邊形是菱形且，，
，，
.
專題沖關(guān)
1．【答案】A
【解析】如圖，與AD成異面直線的棱有BB1、CC1、A1B1、C1D1，共4條.故選A.
2．【答案】D
【解析】若圓心和圓上兩點共線，則可確定無數(shù)個平面；
若圓上任意三點不共線，由不共線的三點確定一個平面，得圓上任意三點可確定的平面有且只有1個．
故選D．
3．【答案】D
【解析】若，，，位置關(guān)系如下圖所示：
若，，則，可知兩條直線可以平行，
由圖象知，與相交，可知兩條直線可以相交，
由圖象知，與異面，可知兩條直線可以異面，
故選D.
4．【答案】A
【解析】當直線l與平面α相交時，這條直線與該平面內(nèi)任意一條不過交點的直線均為異面直線，故A正確；該平面內(nèi)不存在與直線l平行的直線，故B錯誤；該平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l垂直，所以C錯誤；平面α內(nèi)的直線與l可能異面，故D錯誤，故選A．
5．【答案】D
【解析】若直線a/平面α,直線b?平面α,則a//b或a與b異面,即a與b無公共點.故選D．
6．【答案】A
【解析】∵直線aα,∴a∥α或a∩α=A.
如圖,顯然①②③④都有反例,所以應(yīng)選A.
【名師點睛】判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用的空間模型），另外，考慮問題要全面，即注意發(fā)散思維.
7．【答案】A
【解析】假設(shè)，則由，可得，這與“與不平行”矛盾，所以與不平行．
8．【答案】D
【解析】由題可得,要使直線與平面平行,則直線應(yīng)平行于平面內(nèi)的一條直線,且該直線在平面外,由此可得,選項A錯誤;要使平面與平面平行,則只需平面內(nèi)兩條相交直線與平面平行即可,選項B中,沒說明直線是否相交,所以結(jié)論不一定成立,所以選項B錯誤;要使直線垂直平面,則直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,而無數(shù)條直線不能代表任意條,所以選項C錯誤,所以正確的選項是D．
9．【答案】A
【解析】兩個相交平面交于一條直線,不可能有不在同一條直線上的三個公共點,故①錯誤;一條直線和直線外一個點確定一個平面,故②錯誤;假設(shè)有三點共線,則另外一點一定和這條直線在同一個平面內(nèi),即此四點共面,與題設(shè)矛盾，故空間四點不共面，則其中任意三點不共線,即③正確.三條平行線確定一個或三個平面,故④錯誤.故選A.
10．【答案】D
【解析】若α∥β，則由m⊥平面α，知m⊥平面β，而n⊥平面β，所以m∥n，與m,n為異面直線矛盾，所以平面α與平面β相交.由m⊥平面α,m⊥l，且l?α，可知l∥α,，同理可知,l∥β，所以l與兩平面α,β的交線平行.故選D．
11．【答案】D
【解析】如下圖所示，在正方體中，取為，為.若取為，為，則；若取為，為，則；若取為，為，則與異面，因此的位置關(guān)系不確定，故選D.

12．【答案】D
【解析】直線與直線交于點，所以平面與平面交于點O，所以必相交于直線，直線在平面內(nèi)，點，故平面，故四點共面，所以A錯；
若點與共面，則直線在平面內(nèi)，與題目矛盾，故B錯；
在平面內(nèi)，顯然三點共線，則三點不共線，故C錯，D正確.
故選D.
13．【答案】D
【解析】連結(jié)，由題得，故是平行四邊形，則，則或其補角為異面直線和所成的角，由，可得，，故有，解得，故選D．
14．【答案】A
【解析】如圖，連接EH，EF，F(xiàn)G，GH，因為EH是的中位線，所以EH∥BD，且EH=BD.
同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC.
所以EH∥FG，且EH=FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形.
因為AC=BD=a，AC與BD所成的角為60°，所以EF=EH.
所以四邊形EFGH為菱形，，
所以四邊形EFGH的面積是2××()2=a2.
15．【答案】B
【解析】過點F作FG⊥DC，如圖：
根據(jù)題意知AB∥CD，所以∠FDC是異面直線DF與AB所成的角，
又因為CD=10尺，EF=8尺，且側(cè)面為等腰梯形，則DG=9尺，CD,EF間的距離為7尺，故FG=7尺，由勾股定理得DF=81+49=130尺，所以sin∠FDC=7130=7130130,故選B.
16．【答案】B
【解析】把平面展開圖還原幾何體如圖：
由正方體的性質(zhì)可知，與異面且垂直，故①錯誤；
與平行，故②錯誤；
連接，則，或其補角為與所成的角，連接，可知為正三角形，則，故③正確；
由異面直線的定義可知，與是異面直線，故④正確．
∴正確命題的個數(shù)是2．
故選B．
17．【答案】平行或異面
【解析】由條件可知直線a和b沒有公共點,故直線a和b的位置關(guān)系為平行或異面.
18．【答案】①③
【解析】連接A1C1、AC，則A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四點共面，∴A1C?平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O、A在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，∴A、M、O三點共線，故①正確．由①易知②錯誤，③正確．易知OM與BB1為異面直線，故④錯誤．
19．【答案】②④
【解析】若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n與α、β的位置關(guān)系不確定,即①錯誤;由線面平行的性質(zhì)和平行公理可得②正確;若m不垂直于平面α,則m可垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線,即③錯誤;若m⊥α,α∥β,則m⊥β,又n⊥β,所以n∥m,即④正確.故填②④.
20．【答案】
【解析】∵異面直線所成角的余弦值為，且，
∴，
在中，設(shè).
∵，
∴，
∴，∴，
則長方體外接球的直徑為，半徑為.
21．【答案】1或3
【解析】如圖所示,取BC的中點G,連接GE、EF、GF.因為BD,AC所成的角為60°,所以BD,AC所成的角為∠EGF=60°或120°.因為BD=AC=2,所以GF=GE=1.
當∠EGF=60°時,?EGF為等邊三角形,即EF=1;
當∠EGF=120°時,?EGF為等腰三角形,求得EF=3.
所以EF的長度為1或3.
22．【解析】（1）如圖,連接EF,CD1,BA1.
因為E,F分別是AB,AA1的中點,所以EF∥BA1.
又BA1∥CD1,所以EF∥CD1.
所以E,C,D1,F四點共面.
（2）因為EF∥CD1,EF

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