（1）了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.
（2）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì).
（3）了解雙曲線的簡單應(yīng)用.
（4）理解數(shù)形結(jié)合的思想.
一、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
1．雙曲線的定義
（1）定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫做雙曲線．
這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
（2）符號語言：.
（3）當(dāng)時，曲線僅表示焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支；
當(dāng)時，曲線僅表示焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支；
當(dāng)時，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；
當(dāng)時，動點軌跡不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：
（1）焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為2c，且，如圖1所示；
（2）焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點分別為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，焦距為2c，且，如圖2所示．
圖1 圖2
注：雙曲線方程中a，b的大小關(guān)系是不確定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．
3．必記結(jié)論
（1）焦點到漸近線的距離為b.
（2）與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為．
（3）若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為或．
（4）與雙曲線(a＞0，b＞0)共焦點的雙曲線方程可設(shè)為
．
（5）過兩個已知點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為．
（6）與橢圓(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為．
二、雙曲線的幾何性質(zhì)
1．雙曲線的幾何性質(zhì)
2．等軸雙曲線的概念和性質(zhì)
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線．等軸雙曲線具有以下性質(zhì)：
（1）方程形式為；
（2）漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角；
（3）實軸長和虛軸長都等于，離心率．
考向一 雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
1．在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支．同時注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用．
2．求雙曲線方程時，一是注意判斷標(biāo)準(zhǔn)形式；二是注意a、b、c的關(guān)系易錯易混.
典例1 設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線交于，兩點，其中在左支上，在右支上.若，則
A．B．8
C．D．4
【答案】A
【解析】由可知，.由雙曲線定義可知，，，兩式相加得，.
故選A.
【名師點睛】本題考查雙曲線的定義與方程，考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想.由得，再由定義即可求解.
典例2 已知F為雙曲線C:x29-y216=1的左焦點，P,Q為雙曲線C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則ΔPQF的周長為__________．
【答案】44
【解析】易知雙曲線C:x29-y216=1的左焦點為F-5,0，
∴點A5,0是雙曲線的右焦點，虛軸長為8，
雙曲線的圖象如圖：
∴PF-AP=2a=6，①
QF-QA=2a=6，②
而PQ=16，
則①+②得PF+QF-PQ=12，
∴ΔPQF的周長為PF+QF+PQ=12+2PQ=44，
故答案為44.
1．已知雙曲線上一點到的距離為，為坐標(biāo)原點，且，則
A．B．
C．或D．或
考向二 求雙曲線的方程
求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后利用待定系數(shù)法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
在求雙曲線的方程時，若不知道焦點的位置，則進(jìn)行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為.
典例3 已知雙曲線C1與雙曲線C2的焦點重合，C1的方程為x23-y2=1，若C2的一條漸近線的傾斜角是C1的一條漸近線的傾斜角的2倍，則C2的方程為__________________.
【答案】
【解析】由題意得C1的焦點為(±2,0),所以雙曲線C2的焦點為(±2,0),即c=2.
而C1的一條漸近線為,其斜率,
即C1的一條漸近線的傾斜角α=π6.
而C2的一條漸近線的傾斜角是C1的一條漸近線的傾斜角的2倍,所以C1的一條漸近線的傾斜角為,其斜率k=3,即C2的一條漸近線為,即ba=3.
而a2+b2=c2,解得a=1,b=3,
所以C2的方程為.
典例4 如圖,已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡方程.
【解析】依題意,知圓C1的圓心為C1(-3,0),半徑為1,圓C2的圓心為C2(3,0),半徑為3.
設(shè)動圓的半徑為R,則|MC1|=R+1,|MC2|=R+3,
所以|MC2|-|MC1|=2,
因此,圓心M的軌跡是以C1,C2為左、右焦點的雙曲線的左支,
且a=1,c=3,
所以b2=c2-a2=8.
于是所求動圓圓心M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1).
2．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于兩點，且的面積為（為原點），則雙曲線的方程為
A．B．
C．D．
考向三 雙曲線的漸近線
對于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：
（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解.
典例5 已知分別是雙曲線的左、右焦點，的坐標(biāo)為，若雙曲線的右支上有一點，且滿足，則該雙曲線的漸近線方程為
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵的坐標(biāo)為（-7，0），∴c=7，
∵雙曲線的右支上有一點P，滿足，
∴2a=4，即a=2，
則b2=c2﹣a2=7﹣4=3，即b=3，
則雙曲線的漸近線方程為，故選A.
典例6 如圖,已知F1、F2分別為雙曲線C:的左、右焦點,P為第一象限內(nèi)一點,且滿足|F2P|=a,(F1P+F1F2)·F2P=0,線段F2P與雙曲線C交于點Q,若|F2P|=5|F2Q|,則雙曲線C的漸近線方程為
A．y=±x B．y=±x
C．y=±x D．y=±x
【答案】B
【解析】取線段F2P的中點E,連接F1E,
因為(F1P+F1F2)·F2P=0,所以F1E⊥F2P,
故三角形PF1F2為等腰三角形,且|F1P|=|F1F2|=2c.
在中，,
連接F1Q,
又|F2Q|=,點Q在雙曲線C上,
所以由雙曲線的定義可得,|QF1|-|QF2|=2a,
故|QF1|=2a+=.
在中,由余弦定理得,,整理可得4c2=5a2,
所以b2a2=c2-a2a2=54-1=14,
故雙曲線C的漸近線方程為y=±x.
3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為
A．B．
C．D．
考向四 雙曲線的離心率
1.求雙曲線的離心率一般有兩種方法：
（1）由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即，注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系，在橢圓中，而在雙曲線中.
（2）根據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程，求解可得，注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對解進(jìn)行取舍.
2.求解雙曲線的離心率的范圍，一般是根據(jù)條件，結(jié)合和，得到關(guān)于的不等式，求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍，橢圓離心率的范圍.另外，在建立關(guān)于的不等式時，注意雙曲線上的點到焦點的距離的最值的應(yīng)用.
典例7 設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點.若雙曲線上存在點A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,則雙曲線的離心率等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由?|AF1|=3a|AF2|=a,
由∠F1AF2=90°,得,
即(3a)2+a2=(2c)2,
得e=,選B.
典例8 已知F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點,若雙曲線左支上存在一點P，使得=8a,則雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【答案】(1,3]
【解析】∵P為雙曲線左支上一點,∴|PF1|﹣|PF2|=﹣2a,∴|PF2|=|PF1|+2a ①,
又=8a ②,
∴由①②可得,|PF1|=2a,|PF2|=4a.
∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即2a+4a≥2c,∴≤3 ③,
又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|,∴2a+2c＞4a,∴＞1 ④.
由③④可得1＜≤3.
4．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標(biāo)原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為
A．B．2
C．D．
1．雙曲線的焦點坐標(biāo)是
A．B．
C．D．
2．雙曲線的焦點到漸近線的距離為
A．1B．2
C．D．
3．方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是
A．B．
C．D．
4．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則a等于
A．1B．2
C．3D．
5．若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的焦距為
A． B．
C． D．
6．已知點，動圓與直線相切于點，分別過點且與圓相切的兩條直線相交于點，則點的軌跡方程為
A． B．
C．D．
7．已知雙曲線，點，為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則的面積是
A．B．
C．D．
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，且，，成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為
A．B．
C．D．
9．已知雙曲線與拋物線有一個公共的焦點，且兩曲線的一個交點為.若，則雙曲線的漸近線方程為
A．B．
C．D．
10．已知是雙曲線的右焦點，點在的右支上，坐標(biāo)原點為，若，且，則的離心率為
A．B．
C．2D．
11．設(shè)分別為離心率的雙曲線的左、右焦點，分別為雙曲線的左、右頂點，以為直徑的圓交雙曲線的漸近線于兩點，若四邊形的面積為，則
A．B．
C．D．
12．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，還提出了一元二次方程的解法問題.直角三角形的三條邊長分別稱為“勾”“股”“弦”.設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是該雙曲線右支上的一點，若|PF1|,|PF2|分別是RtΔF1PF2的“勾”“股”，且|PF1|?|PF2|=4ab，則雙曲線的離心率為
A．2 B．3
C．2 D．5
13．過雙曲線的焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為
A．B．
C．D．
14．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)__________．
15．過點M-6,3且和雙曲線x2-2y2=2有相同的漸近線的雙曲線方程為__________．
16．設(shè)F1 、F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1 (a>0 ，b>0)的左、右焦點，A為左頂點，點P為雙曲線C右支上一點，|F1F2|=10，PF2⊥F1F2，|PF2|=163，O為坐標(biāo)原點，則OA?OP=__________．
17．已知雙曲線上的一點到兩漸近線的距離之積為，若雙曲線的離心率為2，則雙曲線的虛軸長為__________．
18．已知F是雙曲線的右焦點,C的右支上一點P到一條漸近線的距離為2,在另一條漸近線上有一點Q滿足FP=λPQ,則λ=___________.
19．若雙曲線的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則e1+e2的最小值為___________.
20．已知是雙曲線的左、右焦點，若在右支上存在點使得點到直線的距離為，則離心率的取值范圍是___________.
21．已知雙曲線（）.
（1）若的一條漸近線方程為，求的方程；
（2）設(shè)、是的兩個焦點，為上一點，且，的面積為9，求的值.
22．已知雙曲線過點(3,-2)且與橢圓有相同的焦點.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若點M在雙曲線上, 是雙曲線的左、右焦點，且，試判斷的形狀.
1．（2019年高考浙江卷）漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是
A．B．1
C．D．2
2．（2018浙江）雙曲線的焦點坐標(biāo)是
A．(?，0)，(，0)B．(?2，0)，(2，0)
C．(0，?)，(0，)D．(0，?2)，(0，2)
3．（2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）設(shè)F為雙曲線C：的右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點．若，則C的離心率為
A． B．
C．2D．
4．（2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為
A．B．
C．D．
5．（2019年高考天津卷理數(shù)）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為
A．B．
C．D．
6．（2017天津理科）已知雙曲線的左焦點為，離心率為．若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為
A．B．
C．D．
7．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ理科）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為
A．B．
C．D．
8．（2017新課標(biāo)全國II理科）若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為
A．2B．
C．D．
9．（2017新課標(biāo)全國III理科）已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為
A．B．
C．D．
10．（2018新課標(biāo)全國Ⅲ理科）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為
A．B．
C．D．
11．（2017北京理科）若雙曲線的離心率為，則實數(shù)m=_______________．
12．（2018江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________________．
13．（2018北京理科）已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓的離心率為________________；雙曲線的離心率為________________．
14．（2017山東理科）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為_____________．
15．（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點，，其焦點是，則四邊形的面積是_______________．
16．（2017新課標(biāo)全國I理科）已知雙曲線C：的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN=60°，則C的離心率為_______________．
17．（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．
18．（2019年高考江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 ▲ .
變式拓展
1．【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線另一個焦點為，因為 所以是的中點，
由中位線定理知.
當(dāng)在右支時，由雙曲線定義可知：
當(dāng)在右支時，由雙曲線定義可知：
故本題選D.
【名師點睛】本題考查了雙曲線的定義、向量的加法幾何意義.要注意到點在不同位置時，等式的不同.
2．【答案】D
【解析】，即的焦點坐標(biāo)為，即的焦點坐標(biāo)為，
，①
又的面積為，時，，，
∴，得，②
由①②得，，
∴雙曲線的方程為，故選D.
【名師點睛】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)以及雙曲線的方程與性質(zhì)，屬于中檔題. 求解雙曲線方程的題型的一般步驟：（1）判斷焦點位置；（2）設(shè)方程；（3）列方程組求參數(shù)；（4）得結(jié)論.
3．【答案】D
【解析】由題意知直線的斜率為，，
又，由雙曲線定義知，，.
由余弦定理得：，，即，
即，解得.
故雙曲線漸近線的方程為.
故選D.
【名師點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.求解時，易知直線的斜率為，計算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案.
4．【答案】D
【解析】連接，依題意知：，，
所以，
所以.故選D.
【名師點睛】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關(guān)系和雙曲線性質(zhì)得到的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.求解時，連接，利用三角形邊之間的關(guān)系得到，，代入離心率公式得到答案.
專題沖關(guān)
1．【答案】B
【解析】由題意得雙曲線的焦點在軸上，
又，
所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為．
故選B．
【名師點睛】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，屬于簡單題．判斷雙曲線的焦點位置要看正負(fù)，即雙曲線的焦點在正的項對應(yīng)的變量所在的軸上．同時解題時要準(zhǔn)確判斷出的值，要注意之間關(guān)系的利用.
2．【答案】D
【解析】雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為（4，0），一條漸近線方程為即.
所以焦點到漸近線的距離為.
故選D.
【名師點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查點到直線的距離的計算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.求解時，先求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，再求出雙曲線的漸近線方程，再求焦點到漸近線的距離.也可熟記雙曲線的焦點到漸近線的距離為b直接求出.
3．【答案】B
【解析】方程表示雙曲線，
選項是的充分不必要條件，
選項范圍是的真子集，
只有選項B符合題意，故選B．
【名師點睛】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合雙曲線方程的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
4．【答案】B
【解析】拋物線y2＝12x的焦點坐標(biāo)為（3，0），所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為（±3，0），所以a2+5＝32＝9，
結(jié)合a＞0，解得a＝2，
故選B．
【名師點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵在于對拋物線性質(zhì)的理解，屬于基礎(chǔ)題．先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，可得出雙曲線的半焦距c的值，然后根據(jù)a、b、c的關(guān)系可求出a的值．
5．【答案】A
【解析】∵雙曲線的離心率為，∴，解得，
∴，即焦距為，故選A．
6．【答案】B
【解析】如圖所示，設(shè)兩切線分別與圓相切于點，
則（定值），且2

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