考點(diǎn)一 反比例函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用 考點(diǎn)二 反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)三 反比例函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用 考點(diǎn)四 反比例函數(shù)與菱形的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)五 反比例函數(shù)與正方形的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)一 反比例函數(shù)與三角形的綜合應(yīng)用
例題：（2022·江西·崇仁縣第二中學(xué)二模）如圖，在等腰三角形AOB中，AO=AB，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，已知OA=5，OB=6．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)過點(diǎn)A作AP垂直O(jiān)A，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)C．
①求直線AC的解析式；
②求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式為____________．
2．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處模擬預(yù)測）如圖，把一個(gè)等腰直角三角形ACB放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，點(diǎn)C(﹣2,0)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________．
3．（2022·陜西省西安高新逸翠園學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，點(diǎn)B、D都在x軸上，點(diǎn)A、C都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為________．
4．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點(diǎn)，直角頂點(diǎn)在軸上，雙曲線經(jīng)過邊的中點(diǎn)，若，則______．
5．（2022·貴州銅仁·九年級期末）如圖1，點(diǎn)A（0，8）、點(diǎn)B（2，a）在直線y＝﹣2x＋b上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．
(1)求a和k的值；
(2)將線段AB向右平移m個(gè)單位長度（m＞0），得到對應(yīng)線段CD，連接AC、BD．
①如圖2，當(dāng)m＝3時(shí)，過D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E，求的值；
②在線段AB運(yùn)動過程中，連接BC，若△BCD是以BC為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的m的值．
6．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)連接，，，求的面積；
(3)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，試探究是否存在點(diǎn)，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合條件點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)二 反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應(yīng)用
例題：（2022·河南南陽·八年級期中）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），C（-1，2）是平行四邊形OABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)B．
(1)求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)將平行四邊形OABC沿著x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，判斷點(diǎn)D是否在反比例函數(shù)的圖像上，并說明理由；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使是以O(shè)C為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校九年級期末）如圖，平行四邊形ABCD的BC邊過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)D在x軸上，反比例函數(shù)的圖象過AD邊上的A，E兩點(diǎn)，已知平行四邊形ABCD的面積為8，，則k的值為______．
2．（2022·福建泉州·八年級期中）如圖，點(diǎn)D是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，軸，軸，且，，，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，則k的值是______．
3．（2021·河北保定·九年級期末）如圖，平行四邊形OABC的邊OC在y軸上，對角線AC，OB交于點(diǎn)D，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)D．
(1)求k值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)求平行四邊形OABC的周長．
4．（2022·河南南陽·八年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B、D在軸上． 已知點(diǎn)、．
(1)直接寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
(2)求反比例函數(shù)的解析式；
(3)求平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的長；
(4)求平行四邊形ABCD的面積S．
5．（2021·湖南永州·九年級期中）如圖1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，與BC相交于F．
(1)若，求反比例函數(shù)的關(guān)系式．
(2)若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S=9，求OA的長和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E（如圖2），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PA，PO．是否存在這樣的點(diǎn)P、使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是以O(shè)A為斜邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
6．（2022·江蘇連云港·八年級期末）如圖1，已知，，平行四邊形的邊、分別與軸、軸交于點(diǎn)、，且點(diǎn)為中點(diǎn)，雙曲線為常數(shù)，上經(jīng)過、兩點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)如圖2，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，分別交反比例函數(shù)為常數(shù)，圖像于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求出滿足要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．
考點(diǎn)三 反比例函數(shù)與矩形的綜合應(yīng)用
例題：（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）如圖1，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內(nèi)的圖像上，OA＝6，OC＝4，動點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，且滿足S△PCO＝S矩形OABC．
(1)若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x軸，且，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6）．將矩形向下平移，若矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上，則矩形的平移距離a的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，矩形OABC被三條直線分割成六個(gè)小矩形，若D、E是CO邊上的三等分點(diǎn)，反比例函數(shù)剛好經(jīng)過小矩形的頂點(diǎn)F、G，若圖中的陰影矩形面積，則反比例系數(shù)k的值為__．
3．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，矩形的邊、分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且．將矩形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形，函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)求該反比例函數(shù)關(guān)系式；
(2)求的面積．
4．（2022·四川雅安·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)求的值及直線的解析式；
(2)在軸上找一點(diǎn)，使的周長最小，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求的面積．
5．（2022·江蘇宿遷·八年級期末）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖像上，，，動點(diǎn)在軸的上方，且滿足．
(1)若點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連接、，求的最小值；
(3)若點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)t=1時(shí)，請直接寫出△BPQ的面積為 ；
(2)當(dāng)△BPQ與△COQ相似時(shí)，求t的值；
(3)當(dāng)反比例函數(shù)y= （x> 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)時(shí)．
①求k的值；
②點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在反比例函數(shù)y= 的圖象上，若以點(diǎn)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的M的坐標(biāo)．
考點(diǎn)四 反比例函數(shù)與菱形的綜合應(yīng)用
例題：（2022·四川遂寧·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），設(shè)AB所在直線解析式為．
(1)求反比例和一次函數(shù)解析式．
(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個(gè)單位，在平移中若反比例函數(shù)圖像與菱形的邊AD始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍．
(3)在直線AB上是否存在M、N兩點(diǎn)，使以MNOD四點(diǎn)的四邊形構(gòu)成矩形？若不存在，請說明理由，若存在直接求出M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校八年級期中）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為4的菱形頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，________．
2．（2022·江蘇南京·二模）如圖，菱形ABCD的邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A，D分別在函數(shù)，的圖像上．若，則A的坐標(biāo)為______．
3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸上，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．
(1)求該反比例函數(shù)的解析式及的值；
(2)判斷點(diǎn)是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．
4．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校八年級期中）如圖1，菱形頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)上，邊交軸于點(diǎn)，軸，，．
5．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在y軸與x軸正半軸上，C、D在第一象限，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)D．
(1)若，
①求反比例函數(shù)的解析式；
②證明：點(diǎn)C落在反比例函數(shù)的圖象上；
(2)若，，求菱形ABCD的邊長．
6．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，菱形OABC的點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（12，5），雙曲線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．
(1)菱形OABC的邊長為____；
(2)求雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；
(3)①點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為D點(diǎn)，過D作直線l垂直于y軸，點(diǎn)P是直線l上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)E在雙曲線上，當(dāng)P、E、A、B四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②將點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q落在雙曲線上時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
考點(diǎn)五 反比例函數(shù)與正方形的綜合應(yīng)用
例題：（2022·江蘇淮安·八年級期末）如圖，A、B分別是軸正半軸上和軸正半軸上的點(diǎn)，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
(1)若點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，3），則的值為______；
(2)若A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別A（2，0），B（0，2）；
① 則的值為______；
② 此時(shí)點(diǎn)D______（填“在”、“ 不在”或者“不一定在”）該反比例函數(shù)的圖象上；
(3)若C、D兩點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期末）如圖，是射線上一點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作正方形，過的雙曲線交邊于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為3，AD邊在x軸負(fù)半軸上，反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)B和CD邊中點(diǎn)E，則k的值為______．
3．（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)A、B，四邊形ABCD是正方形，雙曲線在第一象限經(jīng)過點(diǎn)D，將正方形向下平移m個(gè)單位后，點(diǎn)C剛好落在雙曲線上，則m＝________________．
4．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)C、D都在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______．
5．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級期末）如圖，已知點(diǎn)在正比例函數(shù)圖像上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖像上．
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2，求的值；
(2)若設(shè)正方形ABCD的面積為m，試用含m的代數(shù)式表示k值．
6．（2022·江蘇·射陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B、C兩點(diǎn)在x軸的正半軸上，以線段BC為邊向上作正方形ABCD，頂點(diǎn)A在正比例函數(shù)y＝2x的圖象上，反比例函數(shù)y＝（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且與邊CD相交于點(diǎn)E．
(1)若BC＝4，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)連接AE，OE，若△AOE的面積為16，求k的值．
7．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且OA＝6，OB＝3，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖2，將正方形ABCD沿x軸向右平移m個(gè)單位長度得到正方形，點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O、、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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數(shù)學(xué)九年級下冊26.1.1 反比例函數(shù)精品課時(shí)訓(xùn)練

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人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題03反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用(原卷版+解析)

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