考點一 判斷反比例函數(shù)圖象所在象限 考點二 判斷反比例函數(shù)的增減性
考點三 已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍 考點四 由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標
考點五 已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù) 考點六 已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積 考點七 根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）
考點一 判斷反比例函數(shù)圖象所在象限
例題：（2022·全國·九年級單元測試）反比例函數(shù)的圖象在（ ）
A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、三象限D(zhuǎn)．第三、四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)作答．
【詳解】解：∵，
∴反比例函數(shù)y＝的圖像分布在第一、三象限，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查的知識點是反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關鍵是熟記反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)．
【變式訓練】
1．（2022·吉林長春·八年級期末）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，-5），則該反比例函數(shù)的圖象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D(zhuǎn)．第三、四象限
【答案】B
【分析】先把點代入函數(shù)解析式，求出k值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵的圖象過點（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函數(shù)的圖象應在第二，四象限．
故選：B．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)（k≠0）的性質(zhì)：（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在二、四象限．
2．（2022·全國·九年級單元測試）已知函數(shù)，當時，函數(shù)的圖象在第______象限．
【答案】四
【分析】反比例函數(shù)的圖象時位于第四象限．
【詳解】解：∵
∴圖象在第二、四象限
∴當時，函數(shù)的圖象在第四象限
故答案為：四．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，當時，函數(shù)位于一、三象限；當時，函數(shù)位于二、四象限．
3．（2022·江蘇連云港·八年級期末）反比例函數(shù)的圖像在第______象限．
【答案】一、三
【分析】根據(jù)＞0，判定函數(shù)圖像的分布即可．
【詳解】解：∵＞0，
反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限．
故答案為：一、三．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像分布，熟練判定反比例函數(shù)系數(shù)的正負性是解題的關鍵．
考點二 判斷反比例函數(shù)的增減性
例題：（2022·山東·寧陽縣第十一中學九年級階段練習）若點，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，，的大小關系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出，，的大小關系，本題得以解決．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)中k＞0，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?br>∵點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，
∵，且第一象限的函數(shù)值和自變量均為正值，第三象限的函數(shù)值和自變量均為負值，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．
【變式訓練】
1．（2022·河南開封·八年級期末）已知點，，在函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)，
∴反比例函數(shù)的圖象在第二四象限，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，
∵，
∴，
∵點在第四象限內(nèi)，
∴，
∴，
故選：B
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
2．（2022·湖南·岳陽市湘一南湖學校九年級階段練習）若點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象，可得點A在第二象限，點B在第四象限，即可求解．
【詳解】解：∵-6＜0，
∴圖象位于第二、四象限，
∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點A在第二象限，點B在第四象限，
∴，
∴．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了反比函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)，圖象位于第一、三象限內(nèi)，當時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當時，圖象位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小是解題的關鍵．
3．（2022·江蘇淮安·八年級期末）若點在反比例函數(shù)的圖像上，則_____（填“＞”、“＜”或“＝”），
【答案】＜
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的圖象所在的象限，再由A、B兩點橫坐標的特點即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，k＝-3＜0，
∴此函數(shù)圖象的兩個分支分別在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而最大．
∵1＜3，
∴y1＜y2．
故答案為∶＜．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關鍵．
考點三 已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍
例題：（2022·四川·東坡區(qū)實驗中學八年級期中）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，則的值是______．
【答案】-3
【分析】直接利用反比例函數(shù)的定義結(jié)合反比例函數(shù)圖象分布得出，且，進而得出答案．
【詳解】解：函數(shù)是反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，
，且，
解得：．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的定義、反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級單元測試）已知反比例函數(shù)的圖象在第二、第四象限，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，，解不等式即可得結(jié)果．
【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象在第二、第四象限，
，
則．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)：時，圖象是位于一、三象限．時，圖象是位于二、四象限．
2．（2022·寧夏·隆德縣第二中學九年級期末）若反比例函數(shù)y＝的圖像經(jīng)過第二、四象限，則m的取值范圍是 _____．
【答案】m＜2
【分析】由反比例函數(shù)圖像經(jīng)過第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范圍即可．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖像經(jīng)過第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案為：m＜2．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，列出關于m的不等式，是解題的關鍵．
3．（2022·江蘇南京·八年級期末）若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限，則k的取值范圍是______．
【答案】k＞3##
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關于k的不等式，求出k的取值范圍即可．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，
∴3-k＜0，解得k＞3．
故答案為：k＞3．
【點睛】考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象是雙曲線；當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限是解答此題的關鍵．
考點四 由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標
例題：（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學八年級期中）若一次函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)的圖象相交于點（，2），那么該直線與雙曲線的另一交點為_______．
【答案】（-，-2）##（-0.5，-2）
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點關于原點對稱進行解答即可．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)均關于原點對稱，
∴兩函數(shù)的交點關于原點對稱，
∵一個交點的坐標是（，2），
∴另一個交點的坐標是（-，-2），
故答案為：（-，-2）．
【點睛】本題考查的是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，熟知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點關于原點對稱的知識是解答此題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于M，N兩點．若點M的坐標是，則點N的坐標是______．
【答案】（－1，－2）
【分析】直接利用正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)得出M，N兩點關于原點對稱，進而得出答案．
【詳解】解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于M，N兩點，
∴M，N兩點關于原點對稱，
∵點M的坐標是（1，2），
∴點N的坐標是（-1，-2）．
故答案為：（－1，－2）.
【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確得出M，N兩點位置關系是解題關鍵．
2．（2022·云南昆明·一模）若反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象的一個交點為，則另一個交點為_____________．
【答案】
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)關于原點中心對稱，則交點也關于原點中心對稱即可求解．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)關于原點中心對稱，一個交點為，
∴另一個交點為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵．
3．（2020·山東·膠州市第七中學九年級階段練習）已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的一個交點坐標為，則另一個交點的坐標為______．
【答案】(1，-2)
【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，即反比例函數(shù)圖象與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關于原點對稱．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)y=的兩個交點關于原點對稱，
∴另一個交點的坐標與點(-1，2)關于原點對稱，
∴另一個交點的坐標為(1，-2)．
故答案是：(1，-2)．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，熟練掌握反比例函數(shù)的對稱性是解題的關鍵．
考點五 已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)
例題：（2022·廣西·防城港外國語學校九年級階段練習）若反比例函數(shù)的圖象在其所在的每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】反比例函數(shù)的圖象，當比例系數(shù)大于0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當比例系數(shù)小于0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，據(jù)此列不等式計算即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，k+20或0>x1＞x2時，y1＜y2；當x1＞0>x2，y1>y2
【分析】（1）根據(jù)圖像的對稱性即可得；
（2）根據(jù)圖像的性質(zhì)，分情況討論：①當x1＞x2>0或0>x1＞x2，②當x1＞0>x2，即可得．
（1）
解：由圖像在第一象限，根據(jù)對稱性可知另一支位于第三象限，
∵圖像在第一、三象限，
∴m﹣5＞0，解得m＞5；
（2）
解：①當x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2，
②當x1＞0>x2，y1>y2，
綜上，當x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2，當x1＞0>x2，y1>y2．
【點睛】本題考查了函數(shù)的圖像，解題的關鍵是掌握函數(shù)的圖像．
17．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，點M是反比例函數(shù)圖像上的一個動點，過點M作x軸的平行線交反比例函數(shù)圖像于點N．
(1)若點M（，3），求點N的坐標；
(2)若點P是x軸上的任意一點，那么△PMN的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出它的面積是多少？若變化，請說明理由．
【答案】(1)
(2)不變，5
【分析】（1）將y=3代入，求得點N的坐標；
（2）連接OM，ON，記MN與y軸的交點為點H，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得△MOH和△NOH的面積，得到△MON的面積，由MN∥x軸得到△MON和△MNP的面積相等，從而得到△PMN的面積不變．
（1）
∵MNy軸，
∴點M、N的y值相等，
將y=3代入，
得，
∴；
（2）
不變，
如圖，連接OM，ON，記MN與y軸的交點為點H，
∵MNx軸，點M和點N分別在函數(shù)和函數(shù)圖象上，
∴，
∴，
∴S△PMN=5，
∴△PMN的面積不變，且△PMN的面積為5．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關鍵是連接MO和NO，得到△MON和△PMN的面積相等．

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