考試范圍：第四章； 考試時(shí)間：120分鐘； 總分：120分
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知?jiǎng)t下列變形不正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【詳解】解：
∴
A. ∵，∴，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
C. ，則，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)不正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，能正確運(yùn)用比例的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵，如果ab=cd，那么，反之亦然．
2．（2021·河北·唐山市第九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，D為AB邊上一點(diǎn)，AD：DB＝3：4，交BC于點(diǎn)E，則S△BDE：S△AEC等于（ ）
A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方及平行線分線段成比例，不難求得．
【詳解】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∵，與的高相等，
∴，
∴ ．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題利用了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·山東威?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，矩形與矩形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得出PO=OA=2，然后寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-1，
∴AB=3，OA=BC=2，DE=1，
∵矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，
∴，
∴PO=OA=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：兩個(gè)圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行．
4．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口AB照射到室內(nèi)，在地面上留下4米寬的亮區(qū)DE，已知亮區(qū)DE到窗口下的墻腳的距離CE=5米，窗口高米，那么窗口底部離地面的高度BC為（ ）
A．2米B．2.5米C．3米D．4米
【答案】B
【分析】根據(jù)光沿直線傳播的道理可知AD∥BE，則△BCE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可解答．
【詳解】由題意知，
可得，
∴，
∵（米），米，
∴，
∴米，
故選B.
【點(diǎn)睛】題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．
5．（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖所示，矩形ABCD的長(zhǎng)AD為20cm，寬AB為12cm，在它的內(nèi)部有一個(gè)矩形EFGH（EH＞EF），設(shè)AD與EH之間的距離、BC與FG之間的距離都為acm，AB與EF之間的距離、DC與HG之間的距離都為bcm．當(dāng)a，b滿足（ ）時(shí)，矩形ABCD∽矩形EFGH．
A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)b
【答案】D
【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，
∴
即
化簡(jiǎn)得：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查相似圖形的性質(zhì)，理解相似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）是線段上一點(diǎn)（），則滿足，則稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹(shù)葉的葉脈長(zhǎng)度為，為的黃金分割點(diǎn)（），求葉柄的長(zhǎng)度．設(shè)，則符合題意的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)即可求解．
【詳解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P點(diǎn)是黃金分割點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)黃金分割點(diǎn)列一元二次方程的知識(shí)，依據(jù)得到是解答本題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）如圖所示，要使，需要添加一個(gè)條件__________（填寫一個(gè)正確的即可）
【答案】
【分析】根據(jù)已有條件，加上一對(duì)角相等就可以證明與相似，依據(jù)是：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
【詳解】解：添加，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定方法，牢記三角形相似的判定方法是做出本題的關(guān)鍵．
8．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）如圖，四邊形∽四邊形，，，，則______．
【答案】
【分析】利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等以及四邊形內(nèi)角和定理求得答案即可．
【詳解】解：四邊形∽四邊形，，，，
，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等．也考查了四邊形內(nèi)角和定理．
9．（2022·陜西·無(wú)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知兩條直線DF、AC被三條平行直線、、所截，，，，則___________．
【答案】##
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，列比例式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例．熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·陜西·西安輔輪中學(xué)九年級(jí)期末）寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形．古希臘很多矩形建筑中寬與長(zhǎng)的比都等于黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，以AB為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形ABEF，若AD＝1，則DF＝________．
【答案】
【分析】先根據(jù)黃金矩形求出AB，再利用正方形的性質(zhì)求出AF，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，
∴，
∴，
∵四邊形ABEF是正方形，
∴AB=AF=，
∴DF=AD-AF=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·福建省福州第一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，，，與相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交于F．且，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】由，，，可得 則再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：∵，，，
∴
∴
∴
∴
∵，，

解得：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．
12．（2022·河北唐山·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A（0，4），B（3，4），以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB縮短為原來(lái)的一半，得到線段CD，其中占C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為_(kāi)______．
【答案】或
【分析】根據(jù)位似變換的概念計(jì)算即可．
【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB縮短為原來(lái)的一半，得到線段CD，點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3×或3×，即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（2022·陜西·無(wú)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，E是的邊BC上的點(diǎn)，已知，，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)，可證得．
【詳解】證明：，，
，
，
，
即，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟悉三角形相似判定定理是解題關(guān)鍵．本題用到的判定是兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等．
14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且
（1）求的值；
（2）若△ABC的周長(zhǎng)為60，求各邊的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）20，16，24
【分析】（1）利用已知中的比例式，用同一未知數(shù)表示出a，b，c的值，進(jìn)而計(jì)算得出答案；
（2）根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為60得，，用同一未知數(shù)表示出a，b，c的值，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【詳解】（1）設(shè)，則，，，
；
（2）∵△ABC的周長(zhǎng)為60，
，
，
解得：，
，，，
∴三角形的各邊的長(zhǎng)分別為20，16，24．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．
15．（2020·河北·原競(jìng)秀學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹(shù)的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與樹(shù)頂點(diǎn)在同一直線上．已知紙板的兩條邊，，測(cè)得邊離地面的高度，，求樹(shù)高．
【答案】
【分析】先根據(jù)勾股定理求出EF，再根據(jù)，可得，即可求解．
【詳解】解：在中， ，，
由勾股定理得：，
∴，
根據(jù)題意得：∠BCD=∠DEF=90°，∠D=∠D，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，AF＝AC．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】作EH∥AC交BC于H，根據(jù)三角形的中位線定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根據(jù)平行線分線段成比例定理證明結(jié)論．
【詳解】證明：作EH∥AC交BC于H，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴DH＝HC，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝DC，又DH＝HC，
∴BH＝3HC，
∵EH∥AC，
∴，
∴EF＝BF．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理和平行線分線段成比例定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．
(1)求和；
(2)線段，AB，，BC是成比例線段嗎？
【答案】(1)，
(2)線段，AB，，BC是成比例線段．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，代入和，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)和的值相等，即可判斷線段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例線段．
(1)
∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．
∴＝＝ ，＝＝
(2)
由（1）知＝＝ ，＝＝；
∴＝，
∴線段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例線段．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，知道成比例線段的條件是解題的關(guān)鍵．
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）在的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．
(1)填空：_________，__________；
(2)判斷與是否相似，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)135，；
(2)△ABC∽△DEF，證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）由網(wǎng)格特點(diǎn)可得∠DEF的度數(shù)，由勾股定理可得DE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC的長(zhǎng)，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)求出∠ABC的大小，再根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可得到結(jié)論．
（1）
解：由網(wǎng)格特點(diǎn)可得：∠DEF＝90°＋45°＝135°，
由勾股定理得：DE＝，
故答案為：135，；
（2）
解：△ABC∽△DEF；
證明：在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝90°＋45°＝135°，
在△DEF中，DE＝，EF＝2，∠DEF＝135°，
∴，∠DEF＝∠ABC＝135°，
∴△ABC∽△DEF．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)及相似三角形的判定定理，并運(yùn)用勾股定理計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)．
19．（2022·上海市淞誼中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．
(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長(zhǎng)為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；
(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度．
【答案】(1)燈桿AB的高度為4米
(2)燈桿AB的高度為米
【分析】（1）利用平行線分線段成比例的推論可知，代入求解即可；
（2）同（1）可得，，先求出BC，進(jìn)而求出AB．
（1）
解：由題意可知，，，
∴，
由題意，，
∴，即，
解得，
∴燈桿AB的高度為4米；
（2）
解：由題意可知，，，，
∵中，，
∴，即，
同理，中，，
∴，即，
∴
解得，
∴，
∴，
∴燈桿AB的高度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．
20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．
(1)在圖中畫出△ABC沿x軸翻折后的△A1B1C1；
(2)以點(diǎn)M(1，2)為位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似圖形△A2B2C2；
(3)填空：點(diǎn)A2的坐標(biāo) ；△ABC與△A2B2C2的周長(zhǎng)比是 ．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)點(diǎn)A2的坐標(biāo)(3，6)，周長(zhǎng)比是1：2
【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）利用位似變換的性質(zhì)分別作出A1，B1，C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)的位置寫出坐標(biāo)即可，利用軸對(duì)稱變換，位似變換的性質(zhì)求出周長(zhǎng)比．
（1）
如圖，△A1B1C1即為所作；
（2）
如圖，△A2B2C2即為所作；
（3）
如圖，點(diǎn)A2的坐標(biāo)(3，6)，周長(zhǎng)比是1：2．
故答案為：(3，6)；1：2．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖?軸對(duì)稱變換，位似變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作為軸對(duì)稱變換，位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．（2021·江蘇·陽(yáng)山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B
(1)求證：△ADF∽△DEC；
(2)若BE＝2，AD＝6，且DF＝2EF，求DF的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)4
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而可得∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，然后利用等角的補(bǔ)角相等可得∠C＝∠AFD，從而利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似即可解答；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝6，從而可得CE＝4，然后根據(jù)已知可設(shè)EF＝x，則DF＝2x，DE＝3x，再利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠B+∠AFD=180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC；
（2）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝6，
∵BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵DF＝2EF，
∴設(shè)EF＝x，則DF＝2EF＝2x，
∴DE＝EF+DF＝3x，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴x＝±2，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝±2是原方程的根，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴DF＝2x＝4，
∴DF的長(zhǎng)為4．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2022·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿線段 BA 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿折線 AC—CB 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) Q 也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒．
(1)AB= ；
(2)用含 t 的代數(shù)式表示線段 CQ 的長(zhǎng)；
(3)當(dāng) Q 在 AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似，求 t 的值；
(4)設(shè)點(diǎn) O 是 PA 的中點(diǎn)，當(dāng) OQ 與△ABC 的一邊垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫出 t 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解；
（2）根據(jù)題意列出代數(shù)式；
（3）根據(jù)題意分∠AQP=90°時(shí)，∠APQ=90°時(shí)，兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解方程即可求解．
（4）根據(jù)題意分時(shí)，時(shí)，時(shí)，三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解方程即可求解．
（1）
∠C＝90°，AC＝16，BC＝12
故答案為：20
（2）
（3）
如圖1，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，△AQP∽△ACB，
∴．
∵AB=20．
∵BP=2t，AQ=2t，
∴PA=20-2t，
∴，
∴t=，
如圖2，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
t=．
綜上所述，t=或時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；
（4）
如圖3，當(dāng)時(shí)，
，
，
點(diǎn) O 是 PA 的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
解得，
如圖4，當(dāng)時(shí)，
，
，
，
，
，
，
如圖5，當(dāng)時(shí)，
，
，
，
，
，
，
解得，
綜上所述，的值為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．
六、（本大題共12分）
23．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長(zhǎng)線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：
證明：如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
則有，，
∴．
請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問(wèn)題：
(1)如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長(zhǎng)線分別交直線l于X，Y，Z三點(diǎn)，證明：．
(2)如圖（4），等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
(3)如圖（5），△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為_(kāi)_______．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入進(jìn)而可證成立；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由題意可知，，代入求值即可；
（3）如圖5，分別過(guò)作 ，由題意可知，，，有，，對(duì)計(jì)算求值即可．
(1)
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴
∵
∴．
(2)
解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
∴由題意可知
∵D是BC的中點(diǎn)，為等邊三角形
∴，
在中
∵
∴
解得
故答案為：．
(3)
解：如圖5，分別過(guò)作
∵圖5同圖1，故可知
∵F為AB中點(diǎn)，CD=BC，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴四邊形BCEF的面積為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于證明三角形相似．

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