高考研究在線10　從高考概率與統(tǒng)計試題探尋高考改革動向
概率與統(tǒng)計是高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要載體，在高考中占有非常重要的地位．概率統(tǒng)計命題方向主要有以下兩類：一是概率計算問題；二是統(tǒng)計案例問題．近年來新高考加大了相互獨立事件和條件概率的考查力度，由于該部分知識也恰是新教材中擴充的內(nèi)容，切合了新課標(biāo)對教學(xué)的要求，指引師生在后續(xù)的備考中要關(guān)注教材改版前后內(nèi)容的變化，同時兼顧知識間的滲透與融合．
命題點一　立足統(tǒng)計本質(zhì)、注重知識交融[典例1]　(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布．以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率p(c)＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；(2)設(shè)函數(shù)f (c)＝p(c)＋q(c)．當(dāng)c∈[95，105]時，求f (c)的解析式，并求f (c)在區(qū)間[95，105]的最小值．
[解]　(1)由題圖知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，設(shè)X為患病者的該指標(biāo)，則p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.設(shè)Y為未患病者的該指標(biāo)，則q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.(2)當(dāng)95≤c≤100時，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
名師點評　概率主要研究隨機現(xiàn)象，統(tǒng)計主要研究數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．將兩者巧妙地融合是歷年來高考命題的思想之一，高考曾將頻率分布直方圖與二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布融為一體考查，本題又將頻率分布直方圖與分位數(shù)、函數(shù)建模巧妙地融為一體，給出了新的命題動向．關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系，研習(xí)高考命題思路，提升備考技能．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2023·鎮(zhèn)海中學(xué)、歷城二中等九校聯(lián)考)某學(xué)校從全體師生中隨機抽取30位男生，30位女生，12位教師一起參加社會實踐活動．(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為α，從學(xué)校全體男生中隨機選取3人，記X為3人中身高不超過α的人數(shù)，以頻率估計概率，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30人，記被選出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)個男生的概率為P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值．
命題點二　考查數(shù)據(jù)分析、滲透原理論證[典例2]　(2022·新高考Ⅰ卷改編)一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：
名師點評　新教材與老教材相比，對核心概念、重要公式等都做了必要的拓展、補充或證明，平時備考需進(jìn)一步加強對核心概念的認(rèn)知和基本理論體系的建立．如本題(2)問與我們平時的備考不同，一是題干長，二是涉及條件概率，而且還是證明問題．本題看似麻煩，實則容易，由已知條件和所求R的值兩個等式可分別利用條件概率公式展開相乘化簡，即可得證；然后結(jié)合互斥、對立事件概率之間的關(guān)系就可以輕而易舉地解答出最后一問．
【教師備選資源】從有3個紅球和4個藍(lán)球的袋中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，記Ai表示事件“第i次摸到紅球”，i＝1，2，…，7.(1)求第一次摸到藍(lán)球的條件下第二次摸到紅球的概率；(2)記P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時發(fā)生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時A3發(fā)生的概率．①證明：P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)；②求P(A3)．

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