第4課時(shí)　概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問題
考點(diǎn)一　以統(tǒng)計(jì)圖表為載體的概率統(tǒng)計(jì)問題[典例1]　(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.000 1)．
名師點(diǎn)評(píng)　該類問題常常借助圖形或表格，將文字、圖表、數(shù)據(jù)等融為一體，考查考生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，求解的關(guān)鍵是立足題干提取信息，結(jié)合統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析或結(jié)合概率模型求解相應(yīng)概率．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個(gè)月(30天)完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值)，且σ＝6.1，若全校有3 000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過21天的人數(shù)(精確到1)；
(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[15，30]的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在[0，15)的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對(duì)當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)不低于15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)．請(qǐng)?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：
(2)由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在[0，15)的人數(shù)為4＋15＋33＝52，∵參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15)的學(xué)生中有20名男生，∴參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15)的學(xué)生中女生人數(shù)為52－20＝32.由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在[15，30]的人數(shù)為31＋11＋6＝48，∵參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[15，30]的學(xué)生中有30名男生，∴參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[15，30]的學(xué)生中女生人數(shù)為48－30＝18.列聯(lián)表如下：
名師點(diǎn)評(píng)　解答此類問題關(guān)鍵是借助概率知識(shí)(如相互獨(dú)立事件的概率公式、條件概率的公式等)建立Pn＋1與Pn的遞推關(guān)系，然后利用數(shù)列知識(shí)(一般是構(gòu)造法)求解．
【教師備選資源】(2019·全國Ⅰ卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.(i)證明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為等比數(shù)列；(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．
考點(diǎn)三　概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的交匯問題 [典例3]　(12分)根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有X個(gè)孩子的概率模型為：









名師點(diǎn)評(píng)　該類問題常以實(shí)際生活中的概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)為背景，將概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)建模融合在一起，充分借助函數(shù)的性質(zhì)研究相關(guān)問題的最值，可能涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，求解時(shí)注意合理轉(zhuǎn)化．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(2021·新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X )；(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X )≤1時(shí)，p＝1，當(dāng)E(X )>1時(shí)，p

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