高考研究在線9　兩種視角下探究二項(xiàng)分布概率的最值問(wèn)題
[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)(以下簡(jiǎn)稱冬運(yùn))于2024年2月17日至2月27日舉行，為進(jìn)一步增強(qiáng)群眾的法治意識(shí)，提高群眾冬運(yùn)法律知識(shí)水平和文明素質(zhì)，讓法治精神攜手冬運(yùn)走進(jìn)千家萬(wàn)戶，某市有關(guān)部門在該市市民中開(kāi)展了“迎接冬運(yùn)·法治同行”主題法治宣傳教育活動(dòng)．該活動(dòng)采取線上、線下相結(jié)合的方式，線上有“知識(shí)大闖關(guān)”冬運(yùn)法律知識(shí)普及類趣味答題，線下有“冬運(yùn)普法”知識(shí)講座，實(shí)現(xiàn)“冬運(yùn)＋普法”的全新模式．其中線上“知識(shí)大闖關(guān)”答題環(huán)節(jié)共計(jì)30個(gè)題目，每個(gè)題目2分，滿分60分，現(xiàn)在從參與作答“知識(shí)大闖關(guān)”題目的市民中隨機(jī)抽取1 000名，將他們的作答成績(jī)分成6組：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)請(qǐng)估計(jì)被抽取的1 000名市民作答成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)視頻率為概率，現(xiàn)從所有參與“知識(shí)大闖關(guān)”活動(dòng)的市民中隨機(jī)抽取20名，調(diào)查其掌握各類冬運(yùn)法律知識(shí)的情況．記k名市民的成績(jī)?cè)赱40，60]的概率為P(X＝k)，k＝0，1，2，…，20．請(qǐng)估計(jì)這20名市民的作答成績(jī)?cè)赱40，60]的人數(shù)為多少時(shí)P(X＝k)最大？并說(shuō)明理由．
[典例2]　(2018·全國(guó)Ⅰ卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f (p)，求f (p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X )；②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？
名師點(diǎn)評(píng)　命題者以概率p為自變量，視角新穎，求解該題除了判斷分布類型，寫(xiě)分布列外，在解題過(guò)程中主要的難點(diǎn)來(lái)自用函數(shù)的思想來(lái)解決問(wèn)題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最大值點(diǎn)．并且在(2)問(wèn)中要通過(guò)計(jì)算期望的數(shù)值做分析和決策．涉及求值、求值域、求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題時(shí)，樹(shù)立函數(shù)意識(shí)，列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值和函數(shù)最值的問(wèn)題來(lái)研究．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．甲、乙兩人進(jìn)行下象棋比賽(沒(méi)有平局)，采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為p，0

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