一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．
1．直線x＋y－1＝0的傾斜角為( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(3π,4)
2．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝5，a4＝7，則a7＝( )
A．9B．10C．11D．12
3．“k＜9”是“方程 eq \f(x2,25－k)＋ eq \f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．曲線y＝2lnx在點(diǎn)(e，2)處的切線方程為( )
A．y＝ex－2B．y＝ eq \f(2,e)x＋1C．y＝ex－e2＋2D．y＝ eq \f(2,e)x
5．若拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓eq \f(x2,5)＋y2＝1的左焦點(diǎn)，則p的值為( )
A．1B．2C．4D．8
6．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＋S6＝2S9，則eq \f(a6,a3)＝( )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)C．1或－eq \f(1,2)D．－1或eq \f(1,2)
7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋m在R上有三個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是( )
A．(－4，0) B．(－20，0) C．(0，4) D．(－∞，eq \f(9,4))
8．已知A(1，0)，B(－1，2)，若在直線y＝k(x＋2)上存在點(diǎn)P，使得PA2＋PB2＝10，則k的取值范圍為( )
A．[－2，eq \r(2)] B．[－2，eq \r(6)]
C．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)] D．[2－eq \r(6)，2＋eq \r(6)]
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分．
9．設(shè)k為實(shí)數(shù)，直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．當(dāng)k變化時(shí)，l恒過(guò)定點(diǎn)(0，2)
B．若k＝1，則l在x軸、y軸上的截距之和為4
C．若k＝1，則l的斜率為1
D．當(dāng)k＝1時(shí)，點(diǎn)(1，1)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)
10．已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a7＜0，a7＋a8＞0，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．a(chǎn)1＞0 B．{an}是遞增數(shù)列
C．當(dāng)n=7時(shí)，Sn取得最小值 D．使得Sn＞0的n的最小值為13
11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p＞0)， A(x1，y1)，B (x2，y2)為拋物線上的兩點(diǎn)，且y1 y2＝－p2，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)
B．以AF為直徑的圓與y軸相切
C．當(dāng)|AF|＝3|BF|時(shí)，AB＝3p
D．若點(diǎn)D(p，0)，且|AF|＝|AD|，則∠OAD＋∠OBD＜180°
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．
12．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋2n，則它的前6項(xiàng)和為eq \(▲,________)．
13．在邊長(zhǎng)為8×5 cm的長(zhǎng)方形鐵片的四角切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體箱子，則箱子容積的最大值為eq \(▲,________)cm3．
（第13題圖）
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B．連接BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C．若OC⊥AB，則橢圓離心率為eq \(▲,________)．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2Sn＋3＝3an．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝eq \f(1,lg3an·lg3an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
16．已知圓M經(jīng)過(guò)A(－1，0)，B(5，8)兩點(diǎn)，且圓心M在直線y＝x＋2上．
(1)求圓M的方程；
(2)已知以A為端點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為7eq \r(2)，求該弦所在直線方程．
17．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R．
(1)討論y＝f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＞0時(shí)，求證：f(x)≤eq \f(1,a)－2．
18．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C： eq \s\d1(\f(x2,a2))－ eq \s\d1(\f(y2,b2))＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，漸近線方程為y＝±eq \f(eq \r(2),2)x．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線l過(guò)點(diǎn)(2，0)，與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，
①若直線l∥OP，求△PAB的面積；
②在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))·eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))為定值?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．在數(shù)列{an}中，按照下面方式構(gòu)成{bn}：
b1＝a1，b2＝max{a1，a2}，b3＝max{a1，a2，a3}，…，bn＝max{a1，a2，…，an}(n≥2)，其中max{a1，a2，…，ai}(2≤i≤n)表示數(shù)列a1，a2，…，ai中最大的項(xiàng)．
(1)若數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為2，1，4，3，求數(shù)列{bn}的前4項(xiàng)．
(2)若{an}滿(mǎn)足a1＝－2，且nan＋1＋2(n＋1)an＝0，
①求b3＋b6的值；
②求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
2024-2025學(xué)年高二第一學(xué)期期末六校聯(lián)合調(diào)研試題
高二數(shù)學(xué)參考答案
一、單選題
1－8 D B A D C B A D
二、多選題
9－11 AC BC ABD
三、填空題
12.147 13.18 14．eq \f(eq \r(6)－eq \r(2),2)(eq \r(2－eq \r(3))也對(duì))
四、解答題
15．(1)當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＋3＝3a1，a1＝3；2分
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn＋3＝3an，2Sn－1＋3＝3an－1，
作差得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，5分
又因?yàn)閍1≠0，
所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以an＝3n．7分
(2)bn＝eq \f(1,n(n＋1))9分
＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，11分
所以Tn＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)．13分
(注：第1問(wèn)不交代a1≠0不扣分．)
16．(1)AB的中垂線方程為3x＋4y－22＝0，2分
由 eq \b\lc\{(\a\ac(3x＋4y－22＝0, y＝x＋2))解得M(2，4)，4分
又半徑r＝MA＝5，
所以圓M的方程為(x－2)2＋(y－4)2＝25．(或x2＋y2－4x－8y－5＝0)7分
(2)若弦所在直線斜率不存在，則弦長(zhǎng)為8，不合題意，故所求弦的斜率存在．8分
設(shè)弦所在直線方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，設(shè)圓心到弦的距離為d，
由7 eq \r(,2)＝2 eq \r(,25－d2)所以d＝eq \f(eq \r(2),2)，10分
即 eq \f(|3k－4|,\r(,k2＋1))＝ eq \f(\r(,2),2)，解得k＝1或 eq \f(31,17)．14分
所以弦所在的直線方程為x－y＋1＝0或31x－17y＋31＝015分
17．(1)x＞0，f'(x)＝ eq \f(1,x)－a，1分
當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)為增函數(shù)；4分
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈(0， eq \f(1,a))時(shí)，f'(x)＞0，x∈( eq \f(1,a)，＋∞)時(shí)，f'(x)＜0，
所以f(x)在(0， eq \f(1,a))為增函數(shù)，f(x)在( eq \f(1,a)，＋∞)為減函數(shù)7分
(2)由(1)可知，a＞0時(shí)f(x)max＝f( eq \f(1,a))＝ln eq \f(1,a)－19分
只要證明ln eq \f(1,a)－1≤ eq \f(1,a)－211分
設(shè)g(x)＝lnx－1－(x－2)＝lnx－x＋1
g'(x)＝ eq \f(1,x)－1，x∈(0，1)時(shí)，g'(x)＞0，x∈(1，＋∞)時(shí)，g'(x)＜0，
∴x＞0，g(x)≤g(1)＝0
所以f(x)≤ eq \f(1,a)－215分
(注：其它構(gòu)造函數(shù)的方法酌情給分)
18．(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(2，1)在雙曲線C： eq \s\d1(\f(x2,a2))－ eq \s\d1(\f(y2,b2))＝1上，得 eq \s\d1(\f(4,a2))－eq \f(1,b2)＝11分
∵漸近線方程為y＝±eq \f(eq \r(2),2)x．
∴ eq \s\d1(\f(b,a))＝ eq \s\d1(\f(\r(,2),2)),2分
解得a2＝2，即雙曲線C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝14分
(2)①直線OP斜率為 eq \s\d1(\f(1,2))，l//OP，故直線l的方程為y＝ eq \s\d1(\f(1,2))x－1
代入雙曲線C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝1得x2＋4x－8＝0，x1＋x2＝－4，x1x2＝－8，7分
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝2eq \r(15)，
點(diǎn)P到l的距離為d＝ eq \s\d1(\f(|2|,\r(,1＋4)))＝ eq \f(2\r(,5),5)9分
∴△PAB的面積為S＝ eq \s\d1(\f(1,2))|AB|·d＝2eq \r(3)10分
②解法一：設(shè)N(n，0)，當(dāng)l斜率不存在時(shí)，A(2，1)，B(2，－1)，
則eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(2－n)2－1,
當(dāng)l經(jīng)過(guò)左、右頂點(diǎn)時(shí),eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(－ eq \r(,2)－n)( eq \r(,2)－n)＝n2－2．
令(2－n)2－1＝n2－2,得n＝ eq \f(5,4)． 12分
下面證明當(dāng)N為( eq \f(5,4),0)時(shí),eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝－ eq \f(7,16)對(duì)所有直線l都成立
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l：x＝my＋2代入雙曲線C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝1
得(m2－2)y2＋4my＋2＝0,y1＋y2＝ eq \f(－4m,m2－2),y1y2＝ eq \f(2,m2－2)14分
所以eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(x1－ eq \f(5,4))(x2－ eq \f(5,4))＋y1y2＝(my1＋ eq \f(3,4))(my2＋ eq \f(3,4))＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋ eq \f(3,4)m(y1＋y2)＋ eq \f(9,16)＝(m2＋1) eq \f(2,m2－2)＋ eq \f(3,4)m eq \f(－4m,m2－2)＋ eq \f(9,16)＝－ eq \f(7,16)
所以在x軸上存在定點(diǎn)N( eq \f(5,4) ,0),使得eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))為定值－ eq \f(7,16)．17分
解法二：設(shè)N(n,0),當(dāng)直線l斜率不為0時(shí),設(shè)l：x＝my＋2,代入雙曲線C： eq \s\d1(\f(x2,2))－y2＝1
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立可得(m2－2)y2＋4my＋2＝0,y1＋y2＝ eq \f(－4m,m2－2),y1y2＝ eq \f(2,m2－2), 12分
所以eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(my1＋2－n)(my2＋2－n)＋y1y2
＝(m2＋1) y1y2＋m (2－n)(y1＋y2)＋(2－n)2
＝(m2＋1) eq \f(2,m2－2)＋m (2－n) eq \f(－4m,m2－2)＋(2－n)2
＝eq \f((4n－6)m2＋2,m2－2)＋(2－n)2，14分
若eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))為常數(shù),則 eq \f((4n－6)m2＋2,m2－2)為常數(shù),設(shè) eq \f((4n－6)m2＋2,m2－2)＝λ,λ為常數(shù),則對(duì)任意的實(shí)數(shù)m恒成立, (4n－6) m2＋2＝λ(m2－2),所以 eq \b\lc\{(\a\ac\c1\hs2\vs2(4n－6＝λ,2＝－2λ)),
所以n＝ eq \f(5,4) ,λ＝－1,此時(shí)eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝－ eq \f(7,16)．
當(dāng)直線l斜率時(shí)為0，A( eq \r(,2)，0)，B(－ eq \r(,2)，0)，
所以eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))＝(－ eq \r(,2)－n)( eq \r(,2)－n)＝n2－2＝－ eq \f(7,16) ,
所以在x軸上存在定點(diǎn)N( eq \f(5,4) ,0),使得eq \(NA,\d\f1()\s\up7(→))?eq \(NB,\d\f1()\s\up7(→))為定值－ eq \f(7,16)．17分
(注：不討論斜率不存在或不為0的情況,扣1分)
19． (1){bn}的前4項(xiàng)分別為2，2，4，4．4分
(注：寫(xiě)對(duì)一個(gè)給1分)
(2)①因?yàn)閚an＋1＋2(n＋1)an＝0，所以eq \f(an＋1,n＋1)＝－2eq \f(an,n)，
所以eq \f(an,n)＝eq \f(a1,1)·(－2)eq \s\up6(n－1)＝(－2)n，
所以an＝n·(－2)n．6分
易知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an＜0,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),{an}為遞增數(shù)列,
所以b3＝a2＝8,b6＝a6＝384．
所以b3＋b6＝a2＋a6＝8＋384＝392．10分
②當(dāng)n＝1時(shí),b1＝a1＝－2,S1＝－2．
當(dāng)n≥2時(shí),bn＝eq \b\lc\{(\a\al(an－1，n為奇數(shù),an，n為偶數(shù)))＝eq \b\lc\{(\a\al((n－1)·2eq \s\up6(n－1)，n為奇數(shù), n·2n，n為偶數(shù))),12分
(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝a1＋a2＋a2＋a4＋a4＋…＋an－1＋an－1＝－2＋2(a2＋a4＋…＋an－1)＝－2＋2(2·22＋4·24＋…＋(n－1)·2eq \s\up6(n－1))，
令M＝2·22＋4·24＋…＋(n－1)·2eq \s\up6(n－1)，4M＝2·24＋4·26＋…＋(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)，
作差得－3M＝2·22＋2·24＋…＋2·2eq \s\up6(n－1)－(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)＝eq \f(8(1－4eq \s\up6(eq \f(n－1,2))),1－4)－(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)
＝eq \f(2eq \s\up6(n＋2)－8,3)－(n－1)·2eq \s\up6(n＋1)＝(eq \f(5,3)－n)·2eq \s\up6(n＋1)－eq \f(8,3)，
所以M＝eq \f(3n－5,9)·2eq \s\up6(n＋1)＋eq \f(8,9)，
所以Sn＝－2＋2M＝eq \f(3n－5,9)·2eq \s\up6(n＋2)－eq \f(2,9)，經(jīng)檢驗(yàn)n＝1也滿(mǎn)足上式．14分
(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1＋bn＝eq \f(3n－8,9)·2eq \s\up6(n＋1)－eq \f(2,9)＋n·2n＝eq \f(15n－16,9)·2n－eq \f(2,9)．16分
綜上，Sn＝eq \b\lc\{(\a\al(eq \f(3n－5,9)·2eq \s\up6(n＋2)－eq \f(2,9)，n為奇數(shù), eq \f(15n－16,9)·2n－eq \f(2,9)，n為偶數(shù)))．17分

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