第1課時(shí) 等式的性質(zhì)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.借助天平的實(shí)際操作，形象直觀地感受等式的基本性質(zhì)；
2.理解等式的基本性質(zhì)，掌握利用等式性質(zhì)解一元一次方程的基本技能，進(jìn)而熟練解一元一次方程；
3.使學(xué)生在分析實(shí)際問(wèn)題情境的活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的密切聯(lián)系，并在概括的過(guò)程中體驗(yàn)歸納方法.
4.經(jīng)歷等式的基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、分析、概括及解決問(wèn)題的能力.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：理解等式的基本性質(zhì)，并能用它來(lái)解方程.
難點(diǎn)：熟練利用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行等式變形，對(duì)等式的基本性質(zhì)2中“除以同一個(gè)不為0的數(shù)”的掌握與應(yīng)用.
三、教學(xué)用具
電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習(xí)回顧】
問(wèn)題1：什么是方程？等式和方程的關(guān)系是什么？
預(yù)設(shè)答案：含有未知數(shù)的等式叫作方程.
等式不一定是方程.方程一定是等式.他們二者的關(guān)系是這樣的：
問(wèn)題2：什么是一元一次方程？
預(yù)設(shè)答案：在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，而且方程中的代數(shù)式都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
問(wèn)題3：什么是一元一次方程的解？
預(yù)設(shè)答案：使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解.
方程是含有未知數(shù)的等式，解方程自然要研究等式的基本性質(zhì).等式有哪些基本性質(zhì)呢?
我們不難理解下面兩個(gè)基本事實(shí):
(1)如果 a=b，那么b=a；
(2)如果 a= b，b=c，那么 a=c.
除此之外，等式還有哪些基本性質(zhì)呢?
設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題串形式，并加上學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境引入新課，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)點(diǎn)明本節(jié)所要解決的主要問(wèn)題.
環(huán)節(jié)二 探究新知
【思考交流】
(1)等式的兩邊都加(減)、乘(除以)同一個(gè)數(shù)，等式還成立嗎?
(2)你能借助下圖的天平解釋自己的發(fā)現(xiàn)嗎?與同伴進(jìn)行交流.
預(yù)設(shè)：（1）成立；
①?gòu)淖笸?，同時(shí)拿去1個(gè)砝碼，天平仍然平衡，即等式兩邊都減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立；
②從右往左，同時(shí)增加1個(gè)砝碼，天平仍然平衡，即等式兩邊都加上同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立；
③從左往右，兩邊物體變成原來(lái)的13，天平仍然平衡，即等式兩邊都除以同一個(gè)非零數(shù)，等式仍然成立；
④從右往左，兩邊物體變成原來(lái)的3倍，天平仍然平衡，即等式兩邊都乘同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)思考交流，初步感受等式的性質(zhì)，并試著用天平的平衡去解釋.
教師活動(dòng)：如圖，圖中字母表示小球的質(zhì)量，你能根據(jù)天平的相關(guān)知識(shí)完成填空嗎？(圖中兩個(gè)天平都保持平衡)
a=b
a+c=b+c
教師活動(dòng)：從左到右，等式發(fā)生了怎樣的變化？由此你發(fā)現(xiàn)了等式的哪些性質(zhì)？
預(yù)設(shè)答案：等式的兩邊都加上同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立.
追問(wèn)：從右到左呢？等式發(fā)生了怎樣的變化？由此你發(fā)現(xiàn)了等式的哪些性質(zhì)？
預(yù)設(shè)答案：等式的兩邊都減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立.
教師總結(jié)等式的性質(zhì)1：
等式兩邊同時(shí)加(或減)同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式.
追問(wèn)：如何用字母表示呢？
預(yù)設(shè)答案：用字母可以表示為：如果a=b，那么a±c=b±c.
教師活動(dòng)：如圖，圖中字母表示小球的質(zhì)量，你能根據(jù)天平的相關(guān)知識(shí)完成填空嗎？(圖中兩個(gè)天平都保持平衡)
a=b
3a=3b
教師活動(dòng)：從左到右，等式發(fā)生了怎樣的變化？由此你發(fā)現(xiàn)了等式的哪些性質(zhì)？
預(yù)設(shè)答案：等式的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立.
追問(wèn)：從右到左呢？等式發(fā)生了怎樣的變化？由此你發(fā)現(xiàn)了等式的哪些性質(zhì)？
預(yù)設(shè)答案：等式的兩邊都除以同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立.
教師強(qiáng)調(diào)除數(shù)不能為0.
教師總結(jié)等式的性質(zhì)1：
等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為0的數(shù))，所得結(jié)果仍是等式.
追問(wèn)：如何用字母表示呢？
預(yù)設(shè)答案：用字母可以表示為：如果a=b，那么ac=bc或(c≠0).
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生交流討論，充分認(rèn)識(shí)等式的基本性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)等式性質(zhì)的符號(hào)語(yǔ)言及與小學(xué)學(xué)習(xí)的區(qū)別，同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生的思維和小組合作意識(shí).
【做一做】
指出等式變形的依據(jù).
(1)從x=y能不能得到6x=6y，為什么？
預(yù)設(shè)答案：能，根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊同時(shí)乘以6.
(2)從a+2=b+2能不能得到a=b，為什么？
預(yù)設(shè)答案：能，根據(jù)等式的性質(zhì)1，兩邊同時(shí)加上“-2”.
(3)從3ac=4a能不能得到3c=4，為什么？
預(yù)設(shè)答案：不能，a可能為0.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“做一做”鞏固等式的基本性質(zhì)，尤其注意基本性質(zhì)2中的限定條件.
【歸納總結(jié)】
教師活動(dòng)：利用等式的性質(zhì)時(shí)要注意什么？
(1)等式兩邊都要參加運(yùn)算，且是同一種運(yùn)算；
(2)等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子（除以同一個(gè)非零數(shù)）；
(3)等式兩邊不能都除以0，即0不能做除數(shù)或分母.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“歸納總結(jié)”加深學(xué)生對(duì)等式的性質(zhì)的理解，并培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)、概括的能力.
【嘗試思考】
(1)如圖 ，小明用天平解釋了方程 5x=3x+2的變形過(guò)程，你能明白他的意思嗎?
下面我們一起用天平操作一下吧.
5x = 3x + 2
2x =2
x = 1
(2)請(qǐng)用等式的基本性質(zhì)解釋方程 5x=3x+2的上述變形過(guò)程.
預(yù)設(shè)：5x=3x+2
5x-3x=3x+2-3x 方程兩邊都減去3x
2x=2 方程兩邊都除以2
x=1
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生借助天平秤實(shí)際操作，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際操作中獲取信息，并通過(guò)親身感受、體驗(yàn)歸納總結(jié)、抽象數(shù)學(xué)的能力；同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、有序的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及科學(xué)的學(xué)術(shù)精神.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后再在小組內(nèi)交流探討.教師板書(shū)一道例題書(shū)寫(xiě)過(guò)程，其余題目可由學(xué)生代表板書(shū)完成，最終教師展示答題過(guò)程.
教師活動(dòng)：通過(guò)天平驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn)可以借助等式性質(zhì)解一元一次方程，下面我們看例題.
【例1】解下列方程.
(1) x+2=5； (2) 3=x-5.
解：(1)方程兩邊同時(shí)減2，得
x + 2 - 2 = 5 – 2.
于是 x = 3.
(2)方程兩邊同時(shí)加 5，得
3 + 5 = x - 5 + 5.
于是 8 = x.
教師活動(dòng)：習(xí)慣上,我們寫(xiě)成 x = 8.
追問(wèn)：求出方程的解之后怎樣驗(yàn)算呢？
檢驗(yàn)的方法:把求出的解代入原方程，可以檢驗(yàn)解方程是否正確.
如把x=3代入方程x+2=5，
左邊=3+2=5，右邊=5，
左邊=右邊，
所以x=3是方程x+2=5的解.
【例2】 解下列方程：
–3x = 15； (2).
解：(1)方程兩邊同時(shí)除以-3，得

化簡(jiǎn)，得 x = -5.
(2)方法一：方程兩邊同時(shí)加 2，得

化簡(jiǎn)，得 .
方程兩邊同時(shí)乘-3，得
n=-36.
教師活動(dòng)：有沒(méi)有其他解決方法呢？
(2)方法二：方程兩邊同時(shí)加 2，得

化簡(jiǎn)，得 .
方程兩邊同時(shí)除以，得
n= -36.
教師活動(dòng)：變形后，將方程化成未知數(shù)的系數(shù)為1的形式，即“x=a”的形式.
設(shè)計(jì)意圖： 在實(shí)際變形的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)等式基本性質(zhì)的真正含義.用等式的基本性質(zhì)解方程，相比小學(xué)的逆運(yùn)算更具理性思維；在經(jīng)歷等式變形的過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維問(wèn)題的意識(shí)，規(guī)范的數(shù)學(xué)書(shū)寫(xiě)格式.
環(huán)節(jié)四 鞏固新知
教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
1.判一判.（對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”）
(1)等式兩邊都加上一個(gè)數(shù)，等式仍然成立. ( )
(2)等式左邊加一個(gè)數(shù)，右邊減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式. ( )
(3) x=2是方程x+13＝15的解. ( )
預(yù)設(shè)答案：(1)× (2)× (3)√
2.解下列方程：
(1) x – 9 = 8； (2)5 – y = –16
(3) 3x + 4=-13 (4)
預(yù)設(shè)答案：
解:(1)方程兩邊同時(shí)加上 9，得
x – 9 + 9 = 8 + 9.
于是 x = 17.
(2)方程兩邊同時(shí)減去 5，得
5 – y – 5 = – 16 – 5.
于是 – y = – 21.
方程兩邊同時(shí)除以 – 1，得
y = 21.
(3)方程兩邊同時(shí)減去 4，得
3x + 4 – 4 = – 13 – 4.
于是 3x = – 17.
方程兩邊同時(shí)除以 3，得
x = .
(4)方程兩邊同時(shí)加上1，得

于是
方程兩邊同時(shí)除以，得 x = 9.
3.將等式3a-2b=2a-2b變形，過(guò)程如下：
因?yàn)?a-2b=2a-2b，
所以3a=2b(第一步)，
所以3=2(第二步).
上述過(guò)程中，第一步的根據(jù)是 ，
第二步得出了明顯錯(cuò)誤結(jié)論，其原因是 .
預(yù)設(shè)答案：等式的基本性質(zhì)1；沒(méi)有考慮a=0的情況.
4.小紅編了一道這樣的題：我是 4 月出生的，我的年齡的 2 倍加上 8，正好是我出生那一月的總天數(shù). 你猜我有幾歲？請(qǐng)你求出小紅的年齡.
解：設(shè)小紅的年齡是 x.
2x + 8 = 30.
方程兩邊同時(shí)減 8，得
2x + 8 – 8 = 30 – 8.
于是 2x = 22.
方程兩邊同時(shí)除以 2，得 x = 11.
答：小紅的年齡是 11 歲.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.
環(huán)節(jié)五 課堂小結(jié)
通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了哪些內(nèi)容？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識(shí).

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2 一元一次方程的解法

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)（2024）

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