模型一：平移型

模型二：翻折型

模型三：旋轉型

模型四：一線三垂直型



【類型一：平移型】
【典例1】如圖，已知點E、C在線段BF上， ， ， .求證： .
【解答】證明：
，即 .
∴在 和 中，
.
【變式1-1】如圖，已知Rt△ABC與Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，點B、F、C、E在同一直線上，且AB＝DE，BF＝CE，求證：∠B＝∠E．
【解答】證明：∵，
∴
在和中
∵
∴
∴．
【變式1-2】如圖，點A、B、C、D在一條直線上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求證：AB=CD．
【解答】證明：
在和中，
【變式1-3】如圖，點B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，，，，垂足分別為C，F(xiàn)，．求證：．
【解答】證明：∵，
∴即，
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AC=DF．
【類型二：翻折型】
【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求證：AC＝DC．
【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△BAC和△BDC中，
∴△BAC≌△BDC，
∴AC＝DC．
【變式2-1】如圖，已知 是 的角平分線， ．
求證： ．
【解答】證明：∵ 是 的角平分線（已知），
∴ （角平分線定義），
在 與 中，
∵
∴ ．
【變式2-2】已知：如圖，線段BE、DC交于點O，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：∠B＝∠C．
【解答】解：在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠B=∠C．
【變式2-3】已知：如圖，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求證AB＝DC.
【解答】證明：如圖，記的交點為O，
∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，
又∵∠OBC＝∠ABC?∠1，∠OCB＝∠DCB?∠2，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝DC.
【類型三：旋轉型】
【典例3】已知：如圖，AD，BE相交于點O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分別為B，D，OA=OE．求證：△ABO≌△EDO．
【解答】證明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABO和△EDO中
，
∴△ABO≌△EDO．
【變式3】如圖，已知線段AC，BD相交于點E，AE＝DE，BE＝CE，求證：△ABE≌△DCE．
【解答】證明：在△ABE和△DCE中 ，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
【典例4】如圖，，，，求證：.
【解答】證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴.
【變式4】如圖，△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G.
（1）求證：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度數(shù).
【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，
∵AE＝AB，AC=AF，
∴△EAF≌△BAC，
∴EF＝BC；
（2）解：∵△EAF≌△BAC，
∴∠AEF=∠ABC＝65°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC＝65°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.
【類型四：一線三垂直型】
【典例5】如圖，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分別為M、N，BM＝AN．
（1）求證：MN＝BM+CN；
（2）求證：∠BAC＝90°．
【解答】（1）證明：∵BM⊥直線l，CN⊥直線l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），
∴BM＝AN，CN＝AM，
∴MN＝AM+AN＝BM+CN；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
【變式5-1】課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉在兩墻之間，如圖所示：
（1）求證：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小（每塊磚的厚度相同）
【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由題意得：∵一塊墻磚的厚度為a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，
∴a＝5，
答：砌墻磚塊的厚度a為5cm．
【變式5-2】在 中， ， ，直線 經(jīng)過點 ，且 于 ， 于 .
（1）當直線 繞點 旋轉到圖1的位置時，
①求證： ≌ ；
②求證： ；
（2）當直線 繞點 旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論②還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.
【解答】（1）證明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此時應有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
1．如圖，在ABC和CDE中，點B、D、C在同一直線上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求證：ABC≌CDE．
【解答】證明：∵，
∴，
在和△CDE中，
，
∴．
2．如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，DC∥AB．求證DC=AB．
【解答】證明：∵DC∥AB，
∴∠D=∠B，
在△COD與△AOB中，
，
∴△COD≌△AOB（AAS），
∴DC=AB．
3．如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求證：AC＝DF．
【解答】證明：∵BF＝CE，
∴BＦ＋FC＝CE＋FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
4．如圖，等邊的內(nèi)部有一點D，連接BD，以BD為邊作等邊，連接AD，CE，求證：．
【解答】證明：∵ABC和DBE為等邊三角形
∴∠ABC =∠DBE=60，AB=BC，DB=EB
∴∠ABC∠DBC=∠DBE∠DBC即∠ABD=∠CBE
在ABD和CBE中
∴AD=CE
5．如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求證：AB＝DC.
【解答】證明：∵點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD（全等三角形的對應邊相等）.
6．如圖，點 在一條直線上， ，求證： .
【解答】證明：
∴ 即
在△ABE和△DCF中 ∴△ABE≌△DCF．
∴
7．如圖，已知AB、CD相交于點O，且AD=CB，AB=CD．求證：∠A=∠C．
【解答】證明：連接BD，如圖，
在△ABD和△CDB中，
∵AD=CB，AB=CD，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A=∠C．
8．已知：如圖，A、C、F、D在同一條直線上，且ABDE，AF＝DC，AB＝DE，求證：△ABC≌△DEF．
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AD+CF＝CF+DF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
9．如圖：點E、F在BC上， ， ， ，AF與DE交于點G.過點G作 ，垂足為H.
（1）求證：
（2）求證：
【解答】（1）證明：∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
（2）證明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFE=∠DEC，
∴EG=GF，
∵GH⊥BC，
∴∠EGH=∠FGH.
10．如圖，AD平分 .
（1）求證： ：
（2）若 ，求 的度數(shù).
【解答】（1）證明： 平分 .
又
（2）解： .
又 .
又 .
又 .
11．如圖，在四邊形ABCD中，E是CB上一點，分別延長AE，DC相交于點F，，．
（1）求證：；
（2）若，求BE的長．
【解答】（1）證明：∵是的外角，
∴．
又∵，∴．
（2）解：在和中，
，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
12．如圖，，垂足分別為點，，且，，點，，，在同一條直線上，，相交于點．
求證：
（1）；
（2）．
【解答】（1）解：，，
，
，
，
即，
在和中
，
（2）解：由（1）全等可知：
，，
，
13．如圖，已知∠A＝∠D，AB＝DB，點E在AC邊上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于點F．
（1）求證：△ABC≌△DBE．
（2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵∠A＝∠D，∠AFE＝∠BFD，
∴∠ABD＝∠AED，
又∵∠AED＝∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠C，
∵∠CBE＝50°，
∴∠BEC＝∠C＝65°．
14．已知：如圖，點A，D，C，B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，
求證：（1）AE∥FB，
（1）DE=CF.
【解答】（1）證明：在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴DE=CF．
15．如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD為BC邊上的高，且AD＝BD．
（1）求證：∠ABE=∠CAD
（2）試判斷線段AB與BD，DH之間有何數(shù)量關系，并說明理由．
【解答】（1）證明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠CAD+∠BEA+∠AHE＝180°，∠HBD+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠HBD＝∠CAD，
∵∠HBD＝∠ABE，
∴∠ABE=∠CAD
（2）解：AB＝BD+DH
理由是：∵在△BDH和△ADC中
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
16．如圖1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點M.
（1）求證：BE=AD；
（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)為
（3）當α=90°時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明.
【解答】（1）證明：如圖1，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）α
（3）解：△CPQ為等腰直角三角形
證明：如圖2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE的中點分別為點P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ為等腰直角三角形.

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