技巧1：作平行線法
技巧2：截長(zhǎng)補(bǔ)短法
【典例1】（煙臺(tái)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．
【問(wèn)題解決】
如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；
【類比探究】
如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
【變式1-1】（2020秋?句容市期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．
【問(wèn)題解決】如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，求證：AE＝FC；
【類比探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；
（2）如圖3，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．
【變式1-2】（天心區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊△DEF，連接CF．
（1）如圖1，若點(diǎn)E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CD＝2CE；
（2）如圖1，若點(diǎn)E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CE+CF＝CD；
（3）如圖2，若點(diǎn)E在射線CB上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
【典例2】（2020秋?湖南期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是射線AB、射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BG移動(dòng)，點(diǎn)D、點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)并且運(yùn)動(dòng)速度相同．連接CD、DE．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：DE＝DC．
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上移動(dòng)但不是中點(diǎn)時(shí)，試探索DE與DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到線段AB的延長(zhǎng)線上，并且ED⊥DC時(shí)，求∠DEC度數(shù)．
【變式2-1】（道外區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且CE＝BD，連接DE交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：EF＝DF；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，求證：BC＝2FG．
【變式2-2】（東城區(qū)期末）（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖1，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，過(guò)AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長(zhǎng)．
小明同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．
請(qǐng)根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長(zhǎng)．
（2）【類比探究】
老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：
1．等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，當(dāng)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D．請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形并求DE的長(zhǎng)．
2．已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥射線AC于點(diǎn)E，Q為 ② （①BC邊上；②BC的延長(zhǎng)線上；③CB的延長(zhǎng)線上）一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交直線AC于點(diǎn)D，能使得DE的長(zhǎng)度保持不變．（將答案的編號(hào)填在橫線上）
1．（2021秋?咸豐縣期末）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12cm，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，DE交CB于點(diǎn)P，點(diǎn)P為DE中點(diǎn)
（1）求證：CD＝BE；
（2）若DE⊥AC，求BP的長(zhǎng)．
2．（2021秋?綿竹市期末）在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且EC＝ED．
（1）如圖1，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：BD＝AE；
（2）如圖2，若點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論“BD＝AE”能否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出BD與AE數(shù)量關(guān)系，若成立，請(qǐng)給予證明．
3.（2020秋?旅順口區(qū)期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．
（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE＝CF+CD；
（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
4.（2020?安徽）如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE＝DA，連接DE交AC于F，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)．證明下列結(jié)論：
（1）AG＝AD；
（2）DF＝EF；
（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．
5．（2020秋?花雨區(qū)校級(jí)月考）我們?cè)谇懊嬖龅竭^(guò)這樣一道題目：
小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）一般情況，證明結(jié)論：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F． 請(qǐng)你繼續(xù)完成對(duì)以上問(wèn)題（1）中所填寫結(jié)論的證明．
（3）變式探究：如圖3，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且BD＝AE，此時(shí)，CE和DE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，作出判斷，并說(shuō)明理
6．（2020秋?河西區(qū)期末）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（2）證明：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn)；
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由．
7．（2020秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）知識(shí)鏈接：將兩個(gè)含30°角的全等三角尺放在一起，讓兩個(gè)30°角合在一起成60°，經(jīng)過(guò)拼湊、觀察、思考，探究出結(jié)論“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”．
如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從B出發(fā)沿AB的延長(zhǎng)線BF向右運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)D、E都以每秒0.5cm的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DE與BC相交于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）請(qǐng)直接寫出AD長(zhǎng)．（用x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)△ADE為直角三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒？
（3）求證：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P始終為線段DE的中點(diǎn)．
8．（2021秋?營(yíng)口期末）已知A（﹣10，0），以O(shè)A為邊在第二象限作等邊△AOB．
（1）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；
（2）如下圖，點(diǎn)M、N分別為OA、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊在x軸上方作等邊△MNE，連結(jié)OE，當(dāng)∠EMO＝45°時(shí)，求∠MEO的度數(shù)．

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