人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項(xiàng)08 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

應(yīng)用：通過做垂線或者利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形解決問題。
【類型一：三角形中的互補(bǔ)模型模型】
【典例1】（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖（2），在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】證明：（1）EF2＝BE2+CF2，
理由如下：如圖（1）延長(zhǎng)ED到G，使DG＝ED，連接CG，F(xiàn)G，
在△DCG與△DBE中，
，
∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分線段EG，
∴FG＝FE，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠FCG＝90°，
在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，
∴EF2＝BE2+CF2；
（2）如圖（2），結(jié)論：EF＝EB+FC，
理由如下：延長(zhǎng)AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，
，
∴△DEM≌△DEF（SAS），
∴EF＝EM，
∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．
【變式1】（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：
延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AD的取值范圍是；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，此時(shí)：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，此時(shí)：BE+DF EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則∠BCD＝（用含α的代數(shù)式表示）.
【解答】解：（1）在△ADC與△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案為：2＜AE＜8；1＜AD＜4；
（2）如圖，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)G，使DG＝DF，連接BG，EG，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DB＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵ED⊥FD，F(xiàn)D＝GD，
∴EF＝EG，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF，
故答案為：＞；
（3）BE+DF＝EF，
如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)G，使BG＝DF，連接CG，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠D，
又∵CB＝CD，BG＝DF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠DCF+∠BCE＝70°，
∴∠BCE+∠BCG＝70°，
∴∠ECG＝∠ECF＝70°，
又∵CE＝CE，CG＝CF，
∴△ECG≌△ECF（SAS），
∴EG＝EF，
∵BE+BG＝EG，
∴BE+DF＝EF，
故答案為：＝；
（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
若BE+DF＝EF，
則EG＝EF，
∴△ECF≌△ECG（SSS），
∴∠ECG＝∠ECF，
∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，
故答案為：2α．
【類型二：四邊形中的互補(bǔ)模型】
【典例2】（1）如圖1，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5 cm的正方形，E，F(xiàn)分別在AD，CD邊上，∠EBF＝45°．為了求出△DEF的周長(zhǎng)．小南同學(xué)的探究方法是：
如圖2，延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，先證△ABH≌△CBF，再證△EBH≌△EBF，得EF＝EH，從而得到△DEF的周長(zhǎng)＝ cm；
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖4，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；
（4）若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上，且2∠EAF＝∠BAD，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAH＝∠BCF＝90°，
又∵AH＝CF，AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，
∴∠EBH＝∠EBF，
又∵BH＝BF，BE＝BE，
∴△EBH≌△EBF（SAS），
∴EF＝EH，
∴EF＝EH＝AE+CF，
∴△DEF的周長(zhǎng)＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．
故答案為：10．
（2）EF＝BE+DF．
證明：如圖2所示，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，
∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，
∴∠EAF＝∠FAG＝50°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝BE+DF；
（3）成立．
證明：如圖3，延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵2∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE+BG，
∴EF＝BE+FD；
（4）EF＝DF﹣BE，
理由如下：在DF上截取DH，使DH＝BE，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ADH，且AB＝AD，DH＝BE，
∴△ABE≌△ADH（SAS），
∴∠BAE＝∠DAH，AH＝AE，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAH+∠BAF＝∠BAD，
∴∠HAF＝∠BAD＝∠EAF，且AF＝AF，AE＝AH，
∴△FAH≌△FAE（SAS），
∴HF＝EF，
∴EF＝HF＝DF﹣DH＝DF﹣BE
【變式2-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．
【解答】證明：延長(zhǎng)CB至M，使BM＝FD，連接AM，如圖所示：
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，
∴∠ABM＝∠D，
在△ABM與△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，
∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，
即∠MAE＝∠EAF，
在△AME與△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴EF＝ME，
∵M(jìn)E＝BE+BM，
∴EF＝BE+FD．
【變式2-2】“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”證明線段的和差問題：
先閱讀背景材料，猜想結(jié)論并填空，然后做問題探究．
背景材料：
（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．探究的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出的結(jié)論是．
探索問題：
（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？成立的話，請(qǐng)寫出推理過程．
【解答】證明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案為：EF＝BE+DF．
（2）解：結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
1．閱讀理解：
課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：
如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．
（1）問題解決：
受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（2）問題拓展：
如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【解答】解：①延長(zhǎng)FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（4分）
②若∠A＝90°，則∠EBC+∠FCB＝90°，
由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2；（3分）
（2）將△DCF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG．
∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C，
∴∠4+∠ABD＝180°，
∴點(diǎn)E、B、G在同一直線上．
∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60°
∴∠EDF＝∠EDG＝60°，
∵DE＝DE，DF＝DG，
∴△DEG≌△DEF，
∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF．（4分）
2．如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，其中AD平分∠BAC且∠CBD＝30°，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，EF⊥AC交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF、CF．
（1）求∠ADF的大小；
（2）求證：△ACF是等邊三角形；
（3）猜想AD、BD、DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)M，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵∠CBD＝30°，
∴∠BDM＝90°﹣∠CBD＝60°，
∴∠ADF＝∠BDM＝60°；
（2）由（1）知∠ADC＝∠BDC＝120°，
∵∠ADF＝60°，
∴∠CDF＝60°，
過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥DC于點(diǎn)H，
∴FG＝FH，
∵EF⊥AC，E為AC的中點(diǎn)，
∴AF＝CF，
在Rt△AGF和Rt△CHF中，
，
∴Rt△AGF≌Rt△CHF（HL），
∴∠AFG＝∠CFH，
∵∠DGF＝∠H＝90°，∠DGF+∠H+∠GDH+∠GFH＝360°，
∴∠GDH+∠GFH＝180°，
∵∠GDH＝120°，
∴∠GFH＝60°，
∴∠AFC＝∠AFG+∠GFC＝∠CFH+∠GFC＝60°，
又∵AF＝CF，
∴△ACF為等邊三角形；
（3）DF＝AD+BD．
理由：在BF上截取PF＝BD，連接AP，
∵△ACF為等邊三角形，
∴AF＝AC，
又∵AF＝AC，
∴AB＝AF，
∴∠ABD＝∠AFP，
∴△ABD≌△AFP（SAS），
∴AD＝AP，
又∵∠ADP＝60°，
∴△ADP為等邊三角形，
∴AD＝DP，
∴DF＝DP+PF＝AD+BD．
3．（1）問題背景．
如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是線段BC、線段CD上的點(diǎn)．若∠BAD＝2∠EAF，試探究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
小明同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．
（2）猜想論證．
如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在線段BC上、F在線段CD延長(zhǎng)線上．若∠BAD＝2∠EAF，上述結(jié)論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應(yīng)的結(jié)論并給出你的證明．
【解答】解：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE，連接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案為：EF＝BE+DF．
（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，結(jié)論：EF＝BE﹣FD．
理由如下：證明：如圖2中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD
4．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，∠EAF＝45°，連接EF，試猜想EF、BF、DE之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）思路梳理
把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AD與AB重合，由∠ABG＝∠D＝90°，得∠FBG＝180°，即點(diǎn)F、B、G共線，易證△AFG≌ ，故EF、BF、DE之間的數(shù)量關(guān)系為．
（2）類比引申
如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°．E、F分別是DC、BC上的點(diǎn)．且∠EAF＝∠BAD．猜想圖中線段BF、EF、DE之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）拓展提高
如圖③，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，探究上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．
【解答】解：（1）思路梳理：
如圖①，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AD與AB重合，即AB＝AD，
由旋轉(zhuǎn)得：∠ABG＝∠D＝90°，DE＝BG，∠1＝∠2，AE＝AG，
∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°，
即點(diǎn)F、B、G共線，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠B＝∠FAG＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG＝45°，
在△AFE和△AFG中，，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∴EF＝BF+BG＝BF+DE；
故答案為：△AFE，EF＝BF+DE；
（2）類比引申
如圖②，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AD與AB重合，即AB＝AD，
由旋轉(zhuǎn)得：∠ABG＝∠D＝90°，DE＝BG，∠GAB＝∠DAE，AE＝AG，
∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°，
即點(diǎn)F、B、G共線，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAE+∠BAF＝BAD，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△AFE和△AFG中，，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∴EF＝BF+BG＝BF+DE；
（3）拓展提高
結(jié)論DE+BF＝EF仍然成立，
理由如下：如圖③，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，
由旋轉(zhuǎn)可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝∠DAB，
∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，
∴∠HAF＝∠EAF，
∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，
∴點(diǎn)H、B、F三點(diǎn)共線，
在△AEF和△AHF中，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF＝HF，
∵HF＝BH+BF，
∴EF＝DE+BF．
5．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）提示：探究此問題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF．請(qǐng)根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程．
（2）探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？（成立或不成立）
（3）實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）EF＝BE+DF仍然成立．
證明：如圖2，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案是：成立；
（3）如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．
6．在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，現(xiàn)將一個(gè)30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)A處．
（1）如圖①，當(dāng)該角的兩邊分別與BC、CD邊相交于E、F時(shí)．求證：EF＝BE+DF；
（2）現(xiàn)在將該角繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與BC、CD邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，試探究線段BE與DF之間的等量關(guān)系，并加以證明．（利用圖②進(jìn)行探索）
【解答】解：（1）如圖①，
延長(zhǎng)CB到H點(diǎn)，使BH＝DF，連接AH，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠ABE+∠ABH＝180°，
∴∠ABH＝∠D，
∵AD＝AB，BH＝DF，
∴在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，
∵∠DAB＝60°，∠FAE＝30°，
∴∠FAD+∠BAE＝30°，
∴∠BAE+∠HAB＝30°，即∠HAE＝30°，
在△HAE和△EAF中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴HE＝EF，
∵HE＝HB+BE＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
（2）（1）中的結(jié)論不成立，
如圖②，在BC上截取BH＝DF，
在△ABH與△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF，
∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，
∴∠EAF＝30°，
∴∠BAH+∠EAD＝30°，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠HAE＝30°，
在△HAE與△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE，
∴HE＝EF，
∵BE＝BH+HE，
∴BE＝DF+EF．
7．【初步探索】
（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；
【靈活運(yùn)用】
（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
【拓展延伸】
（3）如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF＝BE+FD，請(qǐng)寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．
【解答】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：
如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，
根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
再根據(jù)SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案為：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．
證明：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．

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