【結(jié)論】如圖，AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點O為EF中點，則△POE≌△QOF

口訣：有中點，有平行，輕輕延長就能行
【典例1】（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．
已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證： ．
證明：
（2）問題解決：如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．
【解答】（1）已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：DE∥BC，DE＝BC，
證明：過點C作CF∥BA交DE的延長線于點F，
∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，
∵點E是AC的中點，
∴AE＝EC，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，
∵點D是AB的中點，
∴AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四邊形DBCF是平行四邊形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案為：DE∥BC，DE＝BC；
（2）延長GE，CD交于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝DE，
∴△AGE≌△DHE（AAS），
∴AG＝DH＝3，GE＝EH，
∵DF＝4，
∴FH＝DH+DF＝7，
∵∠GEF＝90°，
∴FE是GH的垂直平分線，
∴GF＝FH＝7，
∴GF的長為7．
【變式1-1】已知：AD是△ABC的角平分線，點E為直線BC上一點，BD＝DE，過點E作EF∥AB交直線AC于點F，當(dāng)點F在邊AC的延長線上時，如圖①易證AF+EF＝AB；當(dāng)點F在邊AC上，如圖②；當(dāng)點F在邊AC的延長線上，AD是△ABC的外角平分線時，如圖③．寫出AF、EF與AB的數(shù)量關(guān)系，并對圖②進行證明．
【解答】（1）證明：如圖①，延長AD、EF交于點G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG+EF＝AF+EF，
∴AF+EF＝AB；
（2）結(jié)論：AF﹣EF＝AB．
證明：如圖②，延長AD、EF交于點G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，
∴AF﹣EF＝AB；
（3）結(jié)論：EF﹣AF＝AB．
證明：如圖③，延長AD交EF于點G，
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠AGF＝∠PAD，
∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（ASA），
∴AB＝GE，
∵EF﹣FG＝GE，
∴EF﹣AF＝AB；
【變式1-2】如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點O為BD的中點，且OA⊥OC．
（1）求證：CO平分∠ACD；
（2）求證：AB+CD＝AC．
【解答】解：
（1）如圖，延長AO交CD的延長線于點E，
∵O為BD的中點，
∴BO＝DO，
在△AOB與△EOD中，
∴△AOB≌△EOD，（ASA）
∴AO＝AE，
又∵OA⊥OC，
∴AC＝CE
∴CO平分∠ACD；（三線合一）
（2）由△AOB≌△EOD
可得AB＝DE
∴AB+CD＝CD+DE＝CE
∵AC＝CE
∴AB+CD＝AC
1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點M在BC邊上，且∠MDF＝∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE．
（2）連接EM，如果FM＝DM，判斷EM與DF的關(guān)系，并說明理由．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E為AB的中點，
∴AE＝BE，
在△AED和△BFE中，，
∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）解：EM與DM的關(guān)系是EM垂直且平分DF；理由如下：
連接EM，如圖所示：
由（1）得：△AED≌△BFE，
∴DE＝EF，
∵∠MDF＝∠ADF，∠ADE＝∠BFE，
∴∠MDF＝∠BFE，
∴FM＝DM，
∴EM⊥DF，
∴ME垂直平分DF．
2．△ABC中，P是BC邊上的一點，過P作直線交AB于M，交AC的延長線于N，且PM＝PN，MF∥AN，
（1）求證：△PMF≌△PNC；
（2）若AB＝AC，求證：BM＝CN．
【解答】（1）證明：∵MF∥AN，
∴∠MFP＝∠NCP，
在△PMF和△PNC中，
，
∴△PMF≌△PNC（AAS）；
（2）證明：由（1）得：△PMF≌△PNC，
∴FM＝CN，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵MF∥AN，
∴∠MFB＝∠ACB，
∴∠B＝∠MFB，
∴BM＝FM，
∴BM＝CN．
3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由．
（3）求證：AD+BG＝DG．
【解答】解：（1）如圖1，∵E是AB的中點，
∴AE＝BE，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如圖2，EG⊥DF，理由是：
∵∠ADF＝∠F，∠ADF＝∠GDF，
∴∠F＝∠GDF，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∴EG⊥FD；
（3）如圖2，由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴AD＝BF，
∵FG＝BF+BG，
∴FG＝AD+BG，
∵FG＝DG，
∴AD+BG＝DG．
4．如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點E是CD的中點，求AE的長．
【解答】解：如圖，延長AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，
又∵點E是CD的中點，
∴DE＝CE．
∵在△AED與△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，AD＝FC．
∵AD＝5，BC＝10．
∴BF＝5
在Rt△ABF中，，
∴AE＝AF＝6.5．
5．閱讀理解
（1）如圖①，△ABC中，D是BC中點，連接AD，直接回答S△ABD與S△ADC相等嗎？ 相等 （S表示面積）；
應(yīng)用拓展
（2）如圖②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE、EC，試?yán)蒙项}得到的結(jié)論說明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；
解決問題
（3）現(xiàn)有一塊如圖③所示的梯形試驗田，想種兩種農(nóng)作物做對比實驗，用一條過D點的直線，將這塊試驗田分割成面積相等的兩塊，畫出這條直線，并簡單說明另一點的位置．
【解答】解：（1）如圖①，過點A作AE⊥BC于E．
∵D是BC中點，
∴BD＝CD，
又∵S△ABD＝?BD?AE，S△ADC＝?CD?AE，
∴S△ABD＝S△ADC．
故答案為相等；
（2）如圖②，延長DE交CB的延長線于點F．
∵E是AB的中點，∴AE＝BE．
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．
在△DAE與△FBE中，
，
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，
∴E是DF中點，
∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC，
∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；
（3）如圖所示：
取AB的中點E，連接DE并延長，交CB的延長線于點F，取CF的中點G，作直線DG，
則直線DG即可將這塊試驗田分割成面積相等的兩塊．
6．如圖，直角△ABC，∠ABC＝90°，分別以AB、AC為直角邊作等腰直角△ABD、△ACE，連接DE交AB于F，求證：BC＝2AF．
【解答】證明：在AB上取點M，使AM＝BC，連接DM，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝∠DAM，
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AC＝DM，∠AMD＝∠ACB，
∵AC＝AE，
∴AE＝DM，
∵∠ACB＝∠DAC，
∴∠AMD＝∠DAC，
∵∠CAE＝∠DAB＝90°，
∴∠DAN＝∠BAE，
∴∠AMD＝∠BAE，
∵∠AFE＝∠DFM，
∴△DMF≌△EAF（AAS），
∴AF＝FM，
∴BC＝AM＝2AF．
7．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，AE平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）求證：AD+BC＝AB；
（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面積．
【解答】（1）證明：延長AE交BC的延長線于M，如圖所示：
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠M，
∴AB＝MB，
∵AE⊥BE，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）證明：∵AB＝MB，BE⊥AE，
∴AE＝ME，
∵E是CD的中點，
∴DE＝CE，
在△ADE和△MCE中，，
∴△ADE≌△MCE（SAS），
∴AD＝MC，
∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；
（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，
∴△MBE的面積＝△ABE的面積＝4，
∴△ABM的面積＝2×4＝8，
∵△ADE≌△MCE，
∴△ADE的面積＝△MCE的面積，
∴梯形ABCD的面積＝△ABM的面積＝8．
8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點．
（1）求證：S△CED＝S△ADE+S△BCE．
（2）當(dāng)CE＝DE時，判斷BC與CD的位置關(guān)系，并說明理由．
【解答】（1）證明：延長DE交CB的延長線于F，
∵AD∥CF，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∵E是AB中點，
∴AE＝BE，
在△AED與△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴DE＝EF，S△AED＝S△EBF，
∴S△DEC＝S△EFC＝S△ADE+S△BCE．
（2）解：當(dāng)CE＝DE時，BC⊥CD．
理由：
∵△AED≌△BEF，
∴DE＝EF，
∵CE＝DE，
∴CE＝DE＝EF，
∴∠F＝∠ECF，∠ECD＝∠CDE，
∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°，
∴∠FCD＝90°，
∴BC⊥CD．

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