1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則的真子集個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集運算和真子集的定義求解.
【詳解】因為，
所以，
所以的真子集個數(shù)為個.
故選：B.
2. 已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義，結(jié)合向量共線定理，即可判斷.
【詳解】若，不共線，由及平面向量基本定理，得；
若，無論，共線與否，都有.
綜上，“，不共線”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出參數(shù)范圍比較即可.
【詳解】因為，，，所以.
故選：D.
4. 若曲線與軸，直線的交點分別為為坐標原點，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得兩點的坐標，然后根據(jù)向量運算求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
解得，故，
由，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故選：C
5. 已知是以為直徑的圓上一點，為的中點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】如圖，連接，，因為是圓的直徑，所以，
又，，則，
又是的中點，則，
.
故選：B.
6. 已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊過點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函數(shù)定義可得，，再結(jié)合二倍角公式與兩角差的余弦公式計算即可得解.
【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，，
所以，
，
.
故選：D.
7. 已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設(shè)，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.
【詳解】因為，，
令，
則，
設(shè)，，則，
所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，
則，由，解得.
故選：D.
8. 在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角恒等變換、正弦定理等知識判斷出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周長的最小值.
【詳解】依題意，，
由得，
即，
，
由于是銳角，所以，
與一正一負，或，
若，即，
由于，
所以，所以，
，此不等式組無解，所以不成立.
同理可得不成立.
所以，
所以，所以，.
所以，
所以三角形的周長，
當且僅當時等號成立，所以三角形的周長的最小值為.
故選：A
【點睛】本題涉及幾何中的面積和周長問題，結(jié)合了三角函數(shù)和基本不等式，考查了學生的綜合解題能力．解題過程中，利用基本不等式求周長的最小值，這是本題的關(guān)鍵點之一．基本不等式的應(yīng)用不僅要找到正確的表達式，還需要驗證等號成立的條件，以確保最小值能夠?qū)嶋H取到．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B. 的最小正周期為
C. 區(qū)間上單調(diào)遞減D. 在上有4個零點
【答案】AB
【解析】
【分析】通過和差角公式化簡函數(shù)解析式，由三角函數(shù)圖形及性質(zhì)即可判斷.
詳解】對于A：
，顯然為偶函數(shù)，故A正確；
對于B：最小正周期，故B正確；
對于C：當時，，因為在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；
對于D：由，得，
所以在上的零點有，，，共3個，故D錯誤.
故選：AB.
10. 若實數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】把作為主元，求得，分類計算求得的最值，可判斷AB；
方程變形為，可得判斷C；賦值法可判斷D.
【詳解】因為，可得，
當時，可得，令，
求導(dǎo)得，令，可得，解得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，無最小值，故，
當時，
可得，令，
求導(dǎo)得，令，可得，解得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，無最大值，故，故A正確，B錯誤；
由，可得，
所以，所以，
當且僅當，即或時取等號，故C正確；
當時，方程，，方程有解，
所以，故D錯誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于點對稱
B. 為奇函數(shù)
C. 是的極小值點
D. 在上有極值
【答案】ABC
【解析】
【分析】由對稱中心的定義代入驗證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡可得B正確，對函數(shù)求導(dǎo)并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯誤.
【詳解】對于A，由易知
,
即滿足，所以的圖象關(guān)于點對稱，可得A正確；
對于B，易知
，
滿足奇函數(shù)定義，即可得奇函數(shù)，即B正確；
對于C，求導(dǎo)可得，
不妨只研究當時的單調(diào)性，
當時，，當時，，
可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此在處取得極小值，所以是的極小值點，即C正確.
對于D，由可知，當時，，
此時函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯誤.
故選：ABC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用中心對稱函數(shù)性質(zhì)驗證選項中的對稱中心是否滿足中心對稱表達式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點問題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則曲線在點處的切線方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)，即可求解斜率，根據(jù)點斜式即可求解直線方程.
【詳解】，故，又，
故曲線在點處的切線方程為，即，
故答案為：
13. 若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得4為的一個周期，然后取即可得到的值，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，所以，所以，
4為的一個周期，則，
又，取，得，
所以，故.
故答案為：3
14. 如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出兩個半圓面的面積，再求曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積，
根據(jù)對稱性得出與、軸圍成的區(qū)域的面積，即可得解.
【詳解】設(shè)，線段的中點為，如圖，
因為曲線關(guān)于點對稱，
所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補為直角三角形的區(qū)域，
于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，
即；
根據(jù)對稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，
又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個半圓的面積為，
所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：解法的關(guān)鍵是根據(jù)余弦型函數(shù)為中心對稱圖象，據(jù)此采用割補的方法，轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積.
四?解答題；本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. （1）已知是第三象限角，且是方程的一個實根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到的值，將除以，分子分母同時除以，即可得到有關(guān)的式子，代入即可得到答案；
（2）先根據(jù)完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，構(gòu)造等式即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由，得，或，
∵是方程的一個實根，且是第三象限角，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，則，
∵，所以，，
故，
.
16. 已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.
【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【小問1詳解】
由
，
因為圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，
所以其最小正周期為，
則，
令，
解之得；
【小問2詳解】
由題意可知將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），
再向上平移個單位長度可得，
再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，
當，所以，
令，則條件可化為在時有解，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
易知，
則，解之得.
17. 在中，角的對邊分別為.
（1）求；
（2）已知為的平分線，交于點，且為線段上一點，且，求的周長.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式展開化簡可得；
（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出，可知為等腰三角形，然后結(jié)合已知即可得解.
【小問1詳解】
，，
，
，
，，，
又，.
【小問2詳解】
因為BD為的平分線，，所以，
又，，
所以，
即，①
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去負值），，
所以a，c是關(guān)于的方程的兩個實根，解得.
又因為BD為的平分線，所以，
又，，
所以，，
所以的周長為.
18. 如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.
（1）若向量的“完美坐標”為，求；
（2）已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；
（3）若向量，的“完美坐標”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先計算的值，再由，利用向量數(shù)量積的運算律計算即可；
（2）利用向量數(shù)量積的運算律計算并化簡即可得證；
（3）利用（2）的公式計算，設(shè)，求出，將轉(zhuǎn)化成，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求得的值域.
【小問1詳解】
因為的“完美坐標”為，則，
又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，
所以,，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以
，
即.
【小問3詳解】
因為向量，的“完美坐標”分別為，，
由（2）得.
令，則，
因為x∈R，所以，即，
令，
因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，
所以當時，取得最小值，
當時，取得最大值，
所以的值域為.
【點睛】思路點睛：本題在求解與之相關(guān)函數(shù)問題時，應(yīng)按照新定義，準確寫出函數(shù)解析式，對于較復(fù)雜的三角式，常常運用整體換元思想，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)，如二次函數(shù)、雙勾函數(shù)等，利用這些函數(shù)的圖象性質(zhì)特征求解即可.
19. 已知函數(shù).
（1）證明：當時，只有1個零點；
（2）當時，討論的單調(diào)性；
（3）若，設(shè)，證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）答案見詳解 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，確定的單調(diào)性，即可證明；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合的不同取值討論求解；
（3）將所需證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則只需證明，即，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)與最值的關(guān)系證明.
【小問1詳解】
當時，，則函數(shù)的定義域為，
恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
且，
根據(jù)零點唯一性定理可知，只有1個零點為0.
【小問2詳解】
，因為，所以定義域為，
，
因為，
當，即時，
恒成立，即，
則函數(shù)在單調(diào)遞減；
當，即時，
方程的兩個根為
因為，且，
所以均在內(nèi)，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
綜上，
當時，在單調(diào)遞減，
當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
若,
因為要證，
只需證，
即，
即證，
設(shè)，則只需證明，化簡得，
設(shè)則，
所以在單調(diào)遞增，
所以，即，原命題得證.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．

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