考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
4. 若曲線與軸，直線的交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是以為直徑的圓上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
6. 已知角始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
8. 在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B. 的最小正周期為
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減D. 在上有4個(gè)零點(diǎn)
10. 若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 為奇函數(shù)
C. 是的極小值點(diǎn)
D. 在上有極值
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.
13. 若定義在上函數(shù)滿足：，且，則______.
14. 如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.
四?解答題；本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. （1）已知是第三象限角，且是方程的一個(gè)實(shí)根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
16. 已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為.
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長度，再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.
17. 在中，角的對(duì)邊分別為.
（1）求；
（2）已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長.
18. 如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.
（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；
（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；
（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.
19. 已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）若，設(shè)，證明：
2024-2025學(xué)年甘肅省張掖市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量
檢測(cè)試卷
考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正確答案】B
【分析】根據(jù)交集運(yùn)算和真子集的定義求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：B.
2. 已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義，結(jié)合向量共線定理，即可判斷.
【詳解】若，不共線，由及平面向量基本定理，得；
若，無論，共線與否，都有.
綜上，“，不共線”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出參數(shù)范圍比較即可.
【詳解】因?yàn)?，，，所?
故選：D.
4. 若曲線與軸，直線的交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
解得，故，
由，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故選：C
5. 已知是以為直徑的圓上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.
【詳解】如圖，連接，，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，
又，，則，
又是的中點(diǎn)，則，
.
故選：B.
6. 已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由三角函數(shù)定義可得，，再結(jié)合二倍角公式與兩角差的余弦公式計(jì)算即可得解.
【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，，
所以，
，
.
故選：D.
7. 已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【正確答案】D
【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設(shè)，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>令，
則，
設(shè)，，則，
所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，
則，由，解得.
故選：D.
8. 在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用三角恒等變換、正弦定理等知識(shí)判斷出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周長的最小值.
【詳解】依題意，，
由得，
即，
，
由于是銳角，所以，
與一正一負(fù)，或，
若，即，
由于，
所以，所以，
，此不等式組無解，所以不成立.
同理可得不成立.
所以，
所以，所以，.
所以，
所以三角形的周長，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以三角形的周長的最小值為.
故選：A
本題涉及幾何中的面積和周長問題，結(jié)合了三角函數(shù)和基本不等式，考查了學(xué)生的綜合解題能力．解題過程中，利用基本不等式求周長的最小值，這是本題的關(guān)鍵點(diǎn)之一．基本不等式的應(yīng)用不僅要找到正確的表達(dá)式，還需要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，以確保最小值能夠?qū)嶋H取到．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B. 的最小正周期為
C. 區(qū)間上單調(diào)遞減D. 在上有4個(gè)零點(diǎn)
【正確答案】AB
【分析】通過和差角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由三角函數(shù)圖形及性質(zhì)即可判斷.
詳解】對(duì)于A：
，顯然為偶函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B：最小正周期，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由，得，
所以在上的零點(diǎn)有，，，共3個(gè)，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】把作為主元，求得，分類計(jì)算求得的最值，可判斷AB；
方程變形為，可得判斷C；賦值法可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋傻茫?br>當(dāng)時(shí)，可得，令，
求導(dǎo)得，令，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，無最小值，故，
當(dāng)時(shí)，
可得，令，
求導(dǎo)得，令，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，無最大值，故，故A正確，B錯(cuò)誤；
由，可得，
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，故C正確；
當(dāng)時(shí)，方程，，方程有解，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 為奇函數(shù)
C. 是的極小值點(diǎn)
D. 在上有極值
【正確答案】ABC
【分析】由對(duì)稱中心的定義代入驗(yàn)證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡(jiǎn)可得B正確，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡(jiǎn)并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，由易知
,
即滿足，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得A正確；
對(duì)于B，易知
，
滿足奇函數(shù)定義，即可得奇函數(shù)，即B正確；
對(duì)于C，求導(dǎo)可得，
不妨只研究當(dāng)時(shí)的單調(diào)性，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此在處取得極小值，所以是的極小值點(diǎn)，即C正確.
對(duì)于D，由可知，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯(cuò)誤.
故選：ABC
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用中心對(duì)稱函數(shù)性質(zhì)驗(yàn)證選項(xiàng)中的對(duì)稱中心是否滿足中心對(duì)稱表達(dá)式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點(diǎn)問題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.
【正確答案】
【分析】求導(dǎo)，即可求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解直線方程.
【詳解】，故，又，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
故
13. 若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則______.
【正確答案】3
【分析】根據(jù)題意，由條件可得4為的一個(gè)周期，然后取即可得到的值，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>4為的一個(gè)周期，則，
又，取，得，
所以，故.
故3
14. 如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.
【正確答案】
【分析】先求出兩個(gè)半圓面的面積，再求曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積，
根據(jù)對(duì)稱性得出與、軸圍成的區(qū)域的面積，即可得解.
【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，如圖，
因?yàn)榍€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補(bǔ)為直角三角形的區(qū)域，
于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，
即；
根據(jù)對(duì)稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，
又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個(gè)半圓的面積為，
所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.
故
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解法的關(guān)鍵是根據(jù)余弦型函數(shù)為中心對(duì)稱圖象，據(jù)此采用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積.
四?解答題；本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. （1）已知是第三象限角，且是方程的一個(gè)實(shí)根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【正確答案】（1）（2）
【分析】（1）根據(jù)題意得到的值，將除以，分子分母同時(shí)除以，即可得到有關(guān)的式子，代入即可得到答案；
（2）先根據(jù)完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，構(gòu)造等式即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由，得，或，
∵是方程的一個(gè)實(shí)根，且是第三象限角，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，則，
∵，所以，，
故，
.
16. 已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為.
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長度，再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.
【正確答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；
（2）
【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由
，
因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為，
所以其最小正周期為，
則，
令，
解之得；
【小問2詳解】
由題意可知將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長度（縱坐標(biāo)不變），
再向上平移個(gè)單位長度可得，
再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，
當(dāng)，所以，
令，則條件可化為在時(shí)有解，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
易知，
則，解之得.
17. 在中，角的對(duì)邊分別為.
（1）求；
（2）已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式展開化簡(jiǎn)可得；
（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出，可知為等腰三角形，然后結(jié)合已知即可得解.
【小問1詳解】
，，
，
，
，，，
又，.
【小問2詳解】
因?yàn)锽D為的平分線，，所以，
又，，
所以，
即，①
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去負(fù)值），，
所以a，c是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，解得.
又因?yàn)锽D為的平分線，所以，
又，，
所以，，
所以的周長為.
18. 如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.
（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；
（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；
（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）先計(jì)算的值，再由，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可；
（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算并化簡(jiǎn)即可得證；
（3）利用（2）的公式計(jì)算，設(shè)，求出，將轉(zhuǎn)化成，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求得的值域.
【小問1詳解】
因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，
又因?yàn)?，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，
所以,，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以
，
即.
【小問3詳解】
因?yàn)橄蛄?，的“完美坐?biāo)”分別為，，
由（2）得.
令，則，
因?yàn)閤∈R，所以，即，
令，
因?yàn)榈膱D象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的值域?yàn)?
思路點(diǎn)睛：本題在求解與之相關(guān)函數(shù)問題時(shí)，應(yīng)按照新定義，準(zhǔn)確寫出函數(shù)解析式，對(duì)于較復(fù)雜的三角式，常常運(yùn)用整體換元思想，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)，如二次函數(shù)、雙勾函數(shù)等，利用這些函數(shù)的圖象性質(zhì)特征求解即可.
19. 已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）若，設(shè)，證明.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）答案見詳解 （3）證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，確定的單調(diào)性，即可證明；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合的不同取值討論求解；
（3）將所需證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則只需證明，即，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)與最值的關(guān)系證明.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
且，
根據(jù)零點(diǎn)唯一性定理可知，只有1個(gè)零點(diǎn)為0.
【小問2詳解】
，因?yàn)?，所以定義域?yàn)椋?br>，
因?yàn)椋?br>當(dāng)，即時(shí)，
恒成立，即，
則函數(shù)在單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，
方程的兩個(gè)根為
因?yàn)?，且?br>所以均在內(nèi)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
綜上，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
若,
因?yàn)橐C，
只需證，
即，
即證，
設(shè)，則只需證明，化簡(jiǎn)得，
設(shè)則，
所以在單調(diào)遞增，
所以，即，原命題得證.
方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．

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