1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知，向量滿足，則“不共線”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
4.若曲線與軸，直線的交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
5.已知是以為直徑的圓上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
6.已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)為常數(shù)，若在上的最大值為，最小值為，且，則（ ）
A.6 B.4 C.3 D.2
8.在中，角為銳角，的面積為4，且，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知函數(shù)，則（ ）
A.為偶函數(shù)
B.的最小正周期為
C.在區(qū)間上單調(diào)遞減
D.在上有4個(gè)零點(diǎn)
10.若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函數(shù)，則（ ）
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B.為奇函數(shù)
C.是的極小值點(diǎn)
D.在上有極值
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.
13.若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則__________.
14.如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.
四?解答題；本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（1）已知是第三象限角，且是方程的一個(gè)實(shí)根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
16.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為.
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.
17.（本小題滿分15分）
在中，角的對(duì)邊分別為.
（1）求；
（2）已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).
18.（本小題滿分17分）
如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)分別為正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.
（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；
（2）已知分別為向量的“完美坐標(biāo)”，證明：
（3）若向量的“完美坐標(biāo)”分別為，設(shè)函數(shù)，求的值域.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）若，設(shè)，證明：.
高三數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則
1.B 由和，得，所以的真子集個(gè)數(shù)為.故選B.
2.A 若不共線，由及平面向量基本定理，得；若，無論共線與否，都有.綜上，“不共線”是“”的充分不必要條件.故選A.
3.D 因?yàn)?，所?故選D.
4.C 由，得，由，得，解得，則；由，得，解得，則，所以.故選C.
5.B 取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.故選B.
6.D 由三角函數(shù)的定義，得，所以.故選D.
7.D 令，則，且原函數(shù)變?yōu)?，令，易知，所以為上的奇函?shù)，則，所以，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以，所以.故選D.
8.A 由，可得，即，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，從而，由，得，所以的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選A.
9.AB .顯然為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，最小正周期，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，所以在上的零點(diǎn)有，共3個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選AB.
10.AC 設(shè)，則，代入，整理得，由，解得，即，則A正確；，即，則C正確；取，滿足，此時(shí)，則B和D錯(cuò)誤.綜上，故選AC.
11.ABC ，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；為奇函數(shù)，故B正確；，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，故C正確；由，得，又在上單調(diào)遞減，所以
在上單調(diào)遞減，故在上無極值，故D錯(cuò)誤.故選ABC.
12. 由題意得，所以切線斜率，又0，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
13.3 因?yàn)?，所以，所以為的一個(gè)周期，則，又，取，得，所以，故.
14. 如圖，設(shè)，連接交曲線于點(diǎn).根據(jù)曲線的性質(zhì)，則關(guān)于對(duì)稱，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以可將曲線與軸?軸圍成的區(qū)域割補(bǔ)為直角的區(qū)域，于是曲線與軸?軸圍成的區(qū)域的面積就是直角的面積，即；根據(jù)對(duì)稱性，可得曲線與軸圍成的區(qū)域的面積也為，又半圓，半圓的面積都為，故曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積為.
15.解：（1）由，得，或.
因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)實(shí)根，且是第三象限角，所以，
所以
.
（2）因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)?，所以?br>故，
.
16.解：（1）
，
因?yàn)榈膱D象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為，
所以，所以.
所以，
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由題意可知，
所以，
由題意，關(guān)于的方程在上有解，
因?yàn)?，所以?br>所以的值域?yàn)椋?br>令，
則的值域?yàn)椋?br>所以，解得，
所以的取值范圍為.
17.解：（1），
，
，
，
又.
（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，，所以
又，
所以，
即
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去負(fù)值），，
所以是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，解得.
又因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，
又，所以，
所以的周長(zhǎng)為.
18.（1）解：因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，
又因?yàn)榉謩e為正方向上的單位向量，且夾角為，
所以，
所以.
（2）證明：由（1）知，
所以
，
即.
（3）解：因?yàn)橄蛄康摹巴昝雷鴺?biāo)”分別為，
由（2）得.
令，則，
因?yàn)?，所以，即?br>令，
因?yàn)榈膱D象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的值域?yàn)?
19.（1）證明：時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，
因?yàn)?，所以，又?br>所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以只有1個(gè)零點(diǎn).
（2）解：的定義域?yàn)椋?br>令，則，
由于，
當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，由，得
，
令，即，得或，
令，即，得，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）證明：若，則，
要證，即證，
因?yàn)?，即證，
即證.
設(shè)，則只需證明，化簡(jiǎn)得，
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，得證.

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