一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合， 若， 則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得，求出集合B，則可得，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則由，
可得，
故選：D．
2. “”是“”的（ ）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】對于，通過分類討論判斷成立，對于，通過舉反例說明不成立即可.
【詳解】若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故；
當(dāng)時(shí)，成立，但無意義；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3. 若，，，則ab的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式可得，以為整體，解一元二次不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，，由基本不等式可得?br>即，解得或（舍去），即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
故ab的取值范圍是．
故選：D．
4. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A. 10B. 12C. 15D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)前項(xiàng)和的定義結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，進(jìn)而分析數(shù)列an的符號性，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
又因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，則，
可得，即，
且，可知，
即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為12.
故選：B.
5. 已知，則（ ）
A. 5B. C. -5D.
【答案】D
【解析】
【分析】由角的變換，利用余弦的和，差角公式和展開，從而可得答案.
【詳解】，則
則，
即，所以，
∴，
故選：D
6. 已知函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)并探討奇偶性，由有唯一零點(diǎn)求出，再驗(yàn)證即可.
【詳解】令函數(shù)，其定義域?yàn)镽，
，函數(shù)為偶函數(shù)，
由函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，得有唯一零點(diǎn)，
因此，即，解得，，
當(dāng)時(shí)，，
令函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，.
故選：A
7. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上只有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用三角恒等變換化簡函數(shù)，并得到函數(shù)，并求函數(shù)的零點(diǎn)，利用函數(shù)在上只有三個(gè)零點(diǎn)，列不等式求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>令得，
所以或，
即或，則或，
則非負(fù)根中較小的有：；
因?yàn)楹瘮?shù)在上只有三個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得.
故選:A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求三角函數(shù)的值域，單調(diào)性，周期，零點(diǎn)等性質(zhì)時(shí)，常常要通過三角恒等變換先求函數(shù)的解析式或的性質(zhì)，首先將“”視為一個(gè)整體，然后結(jié)合或的圖象和性質(zhì)，去研究函數(shù)的性質(zhì)，研究與三角函數(shù)相關(guān)零點(diǎn)問題時(shí)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，方程根問題時(shí)，往往需要先畫出三角函數(shù)的圖象，在進(jìn)行探索研究.
8. 已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和最值，從而得到，故，換元后，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，求出答案.
【詳解】函數(shù)沒有極值點(diǎn)，
，或恒成立，
由指數(shù)爆炸的增長性，不可能恒小于等于0，
恒成立．
令，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，為上的增函數(shù)，
因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，也是增函數(shù)，
所以，此時(shí)，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由得，
令
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，依題意有，
即，
，，
令，，
則，
令，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值
故當(dāng)，，即，時(shí)，取得最大值
綜上，若函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將函數(shù)沒有極值點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，通過構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得解.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分．
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)是偶函數(shù)
D. 將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象
【答案】ABD
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象依次求出,再根據(jù)選項(xiàng)，分別運(yùn)用代入檢驗(yàn)對稱性，利用奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，利用伸縮變換得到新函數(shù)逐一判斷即得.
【詳解】由圖可得，，，解得，故A正確；
又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，即，
因，故，解得，故.
對于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，故B正確；
對于C，，是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對于D，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，
將得到函數(shù)的圖象，故D正確.
故選：ABD.
10. 數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則為等比數(shù)列
B. 若，則為等差數(shù)列
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】將兩邊同除，變形轉(zhuǎn)化可求出是
等差數(shù)列，進(jìn)而求出.進(jìn)而分別結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列定義研究A、B項(xiàng)，利用求和公式研究D項(xiàng).
【詳解】由，，兩邊同除，
得：，即，且，
所以是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，
所以，所以，則可知C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，所以，且?br>所以是等比數(shù)列，則可知A正確；
對于B：，，
故數(shù)列為等差數(shù)列，則可知B正確；
對于D：
，則可知D正確.
故選：ABD．
11. 已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
B. 當(dāng)且時(shí)，
C. 對于任意滿足
D. 若存在極值點(diǎn)，且，其中，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A,B,求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，求得極值，構(gòu)造不等式即可判斷；對于C，代入解析式化簡即可；對于D，由，得到代入化簡即可.
【詳解】對于A:當(dāng)時(shí)，，，
由，可得或，
由，可得，
所以的增區(qū)間為和0,+∞，減區(qū)間為，
所以在處取到極大值，在處取到極小值，
若有三個(gè)零點(diǎn)，則解得，故正確；
對于B：當(dāng)，，，同時(shí) ，結(jié)合A函數(shù)的單調(diào)性得，故錯(cuò)誤；
對于C：，故正確；
對于D：若，
由，得，
則，
其中代入，得，
整理得，即，
結(jié)合題設(shè)，故正確，
故選:ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)是等比數(shù)列，且，，則________．
【答案】或
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，則有，求出公比，即可得答案.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為，
因?yàn)?，?br>所以，解得，或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
故答案為：或
13. 已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，，，則_______
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理可求得的值，利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合兩角和的正弦公式可求得，進(jìn)而可求得的值，利用正弦定理可求得的值.
【詳解】，即，，
由，解得，
，由正弦定理得，
.
，，則，，，
.
由正弦定理得，得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查三角形邊長的計(jì)算，涉及余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
14. 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】分類討論a的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及利用數(shù)形結(jié)合方法，說明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，即可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上單增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，與的圖象大致如圖1所示，

時(shí)，，二者無交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，
則在上單增，，故至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，與的圖象大致如圖2所示，此時(shí)顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，
故有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，，
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：結(jié)合題意采用分類討論參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在平面四邊形ABCD中，，．

（1）若，，求的值；
（2）若，，求四邊形ABCD的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；
（2）和中，由余弦定理求出和，得和，進(jìn)而可求四邊形ABCD的面積．
【小問1詳解】
在中，，，則，
，
在中，由正弦定理得，
.
【小問2詳解】
在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
則，，
四邊形ABCD的面積
.
16. 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.
【小問1詳解】
∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時(shí)，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項(xiàng)公式；
【小問2詳解】

∴
17. 已知銳角中，角、、所對邊為、、，且．
（1）求角；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角和的正切公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，根據(jù)的取值范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋裕?br>所以，從而，
即，
所以，因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?，由正弦定理，?br>所以，，
所以，
又因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，即，所以，
所以，從而的取值范圍為．
18. 已知函數(shù).
（1）求曲線y=fx在處的切線方程.
（2）討論函數(shù)單調(diào)性；
（3）設(shè)函數(shù).證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線y=gx 關(guān)于直線對稱.
【答案】（1）；
（2）答案見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；
（2）求定義域，求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，，和四種情況，解不等式，求出函數(shù)單調(diào)性；
（3）先求函數(shù)定義域，根據(jù)定義域的對稱性得到，再求出，證明出結(jié)論.
【小問1詳解】
，，
又，
故y=fx在處的切線方程為，
即；
【小問2詳解】
，定義域?yàn)?,+∞，
，
當(dāng)時(shí)，令得，令得，
故Fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令得或，令得，
故Fx在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，恒成立，故Fx在0,+∞上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令得或，令得，
故Fx在0,1和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)x在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)x在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)x在0,+∞上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)x在0,1和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
【小問3詳解】
證明：函數(shù)，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>若存在，使得曲線y=gx關(guān)于直線對稱，
則關(guān)于直線對稱，所以
由
．
可知曲線y=gx關(guān)于直線對稱．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對稱性：
若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱，
若，則函數(shù)關(guān)于對稱，
19. 若數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對任意的相鄰三項(xiàng)，都滿足，則稱該數(shù)列為“對數(shù)性凸數(shù)列”，若對任意的相鄰三項(xiàng)，都滿足則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．
（1）已知正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)“凸數(shù)列”，且，（其中e為自然常數(shù)，），證明：數(shù)列an是一個(gè)“對數(shù)性凸數(shù)列”；
（2）若關(guān)于x的函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中．證明：數(shù)列是一個(gè)“對數(shù)性凸數(shù)列”；
（3）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)“對數(shù)性凸數(shù)列”證明：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的性質(zhì)，由等量關(guān)系代換成關(guān)于的結(jié)論，緊扣定義，即可證明；
（2）由原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，分析出導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，判別式大于零，推得；有三個(gè)零點(diǎn)，得到有三個(gè)零點(diǎn)，再次借助導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以得到，即可得證；
（3）記，利用分析法，只需證，由數(shù)列為對數(shù)性凸數(shù)列，得到，，再用基本不等式證明即可.
【小問1詳解】
）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列是一個(gè)“凸數(shù)列”，
所以，所以，所以，
所以數(shù)列是一個(gè)“對數(shù)性凸數(shù)列”.
【小問2詳解】
因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，
所以有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
所以，
又，所以；
時(shí)，，所以不是的零點(diǎn)，
又，
令，則也有三個(gè)零點(diǎn)，
即有三個(gè)零點(diǎn)，
令，則有三個(gè)零點(diǎn)，
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以正項(xiàng)數(shù)列對任意的相鄰三項(xiàng)，都滿足，
所以數(shù)列是一個(gè)“對數(shù)性凸數(shù)列”.
【小問3詳解】
記，則要證，
即證，
即，即①，
因?yàn)閿?shù)列為對數(shù)性凸數(shù)列，所以，，
所以，所以，
，
而，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故式①成立，所以原不等式成立．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決數(shù)列新定義題型，需要耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按照新定義的要求，結(jié)合所學(xué)習(xí)過的知識點(diǎn)，逐一分析、證明、求解.

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