考點(diǎn)一 正多邊形和圓 考點(diǎn)二 求正多邊形的中心角
考點(diǎn)三 已知正多邊形的中心角求邊數(shù) 考點(diǎn)四 求弧長(zhǎng)
考點(diǎn)五 求扇形的半徑 考點(diǎn)六 求圓心角
考點(diǎn)七 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度 考點(diǎn)八 求扇形的馬面積
考點(diǎn)九 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積 考點(diǎn)十 求不規(guī)則圖形的面積
考點(diǎn)一 正多邊形和圓
例題：（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知的半徑為1，則它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】利用正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出正方形的邊長(zhǎng)．
【詳解】連接OB、OC，如圖所示，
∵的半徑為1，四邊形正方形，
∴OB=OC=1，∠BOC=90°，
∴,
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形和圓、勾股定理，正確掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若正六邊形的邊長(zhǎng)為4，則它的外接圓的半徑為（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】B
【分析】畫(huà)出圖形（見(jiàn)解析），先求出正六邊形的中心角的度數(shù)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得．
【詳解】解：如圖，正六邊形的中心角，邊長(zhǎng)，
，
是等邊三角形，
，
即這個(gè)正六邊形的外接圓的半徑為4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確求出正六邊形的中心角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，的外切正六邊形的邊心距的長(zhǎng)度為，那么正六邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．2B．6C．12D．
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，根據(jù)邊心距得到OG=，證明△OAB是等邊三角形，利用勾股定理求出AB，從而可得周長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，
由題意可得：OG=，
在正六邊形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為2×6=12，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 求正多邊形的中心角
例題：（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則正五邊形中心角∠COD的度數(shù)是（ ）
A．76°B．72°C．60°D．36°
【答案】B
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計(jì)算公式：計(jì)算即可．
【詳解】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，
∴五邊形ABCDE的中心角∠COD的度數(shù)為=72°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式：是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北恩施·九年級(jí)期末）如圖．點(diǎn)O是正五邊形的中心，是正五邊形的外接圓，的度數(shù)為_(kāi)___．
【答案】##36度
【分析】連接，先求出中心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可得．
【詳解】解：如圖，連接，
點(diǎn)是正五邊形的中心，是正五邊形的外接圓，
中心角，
由圓周角定理得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正五邊形和圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正五邊形的中心角的求法是解題關(guān)鍵．
2．（2021·吉林·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于點(diǎn)F，連接FA，則∠OFA＝_____°．
【答案】36
【分析】連接OA，OB，OB交AF于J．由正多邊形中心角、垂徑定理、圓周角定理得出∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，再由等腰三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：連接OA，OB，OB交AF于J．
∵五邊形ABCDE是正五邊形，OF⊥BC，
∴，
∴∠AOB＝72°，∠BOF=∠AOB＝36°，
∴∠AOF＝∠AOB +∠BOF=108°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝＝36°
故答案為：36．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了園內(nèi)正多邊形中心角度數(shù)、垂徑定理和圓周角定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，垂徑定理常與勾股定理以及圓周角定理相結(jié)合來(lái)解題．正n邊形的每個(gè)中心角都等于．
考點(diǎn)三 已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
例題：（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）正n邊形的中心角為72°，則______．
【答案】5
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角之和為360°計(jì)算即可．
【詳解】根據(jù)題意有：，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角之和為360°是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)正多邊形的中心角是30°，則這個(gè)多邊形是正____邊形．
【答案】十二
【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角÷中心角，計(jì)算即可得．
【詳解】解：∵一個(gè)正多邊形的中心角是30°，
∴這個(gè)多邊形是：360°÷30°＝12，即正十二邊形，
故答案為：十二．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系．
2．（2021·江蘇·泰興市濟(jì)川初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形為的內(nèi)接正四邊形，為的內(nèi)接正三角形，若恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為_(kāi)________．
【答案】12
【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計(jì)算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，則∠DOF=30°，然后計(jì)算即可得到n的值．
【詳解】解：連接OA、OD、OF，如圖，
∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，
即DF恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．
考點(diǎn)四 求弧長(zhǎng)
例題：（2022·河北唐山·九年級(jí)期末）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過(guò)圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接OA、OB，作OC⊥AB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OC=OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由題意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的長(zhǎng)==2π，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算、直角三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·四川樂(lè)山·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長(zhǎng)為（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式求出答案．
【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的長(zhǎng)為：π．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長(zhǎng)公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·河南安陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在扇形OAB中，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．
【答案】##
【分析】利用弧長(zhǎng)公式，代入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得的長(zhǎng)＝＝(cm)，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了弧長(zhǎng)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)五 求扇形的半徑
例題：（2022·黑龍江哈爾濱·三模）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是3π，面積是12π，則此扇形的半徑是___________．
【答案】8
【分析】根據(jù)扇形的面積公式S扇形=lR即可得出答案．
【詳解】解：∵S扇形=lR，
∴R==8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，比較簡(jiǎn)單，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）已知扇形的弧長(zhǎng)，圓心角是，則該扇形的半徑為_(kāi)_____（結(jié)果保留）．
【答案】30
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵扇形的弧長(zhǎng)，圓心角是，代入弧長(zhǎng)公式中：
∴，
解得：cm，
∴該扇形的半徑為30cm，
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】本題考察了扇形弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握扇形弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知圓弧的度數(shù)為，弧長(zhǎng)為，則圓弧的半徑為_(kāi)_____
【答案】18
【分析】利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】∵圓弧的度數(shù)為，弧長(zhǎng)為，
又∵，
∴，
解得，
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓弧的弧長(zhǎng)公式，熟練應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)六 求圓心角
例題：（2022·天津市靜海區(qū)第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是20πcm，面積是240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角是（ ）
A．120°B．150°C．60°D．100°
【答案】B
【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)與面積公式確定出所求圓心角即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)扇形的半徑為r，圓心角是n，面積為S，弧長(zhǎng)為l，
由題意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，
又由可得：，
解得：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積的計(jì)算以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握各自的公式是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·山東煙臺(tái)·期中）將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，使它們的圓心角度數(shù)比為，則這三個(gè)扇形中最大的圓心角度數(shù)為_(kāi)___________．
【答案】160°
【分析】利用題目中所給的圓心角的度數(shù)之比去乘360°，從而可求得各個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)．
【詳解】由題意可知，三個(gè)圓心角的和為360°，
又∵三個(gè)圓心角的度數(shù)比為，
∴最大的圓心角度數(shù)為：．
故答案為：160°．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形圓心角的度數(shù)問(wèn)題，掌握周角的度數(shù)即三個(gè)扇形圓心角的和是360°是解題關(guān)鍵．
2．（2022·遼寧鞍山·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如果一個(gè)扇形的半徑是2，弧長(zhǎng)是，則此扇形的圖心角的度數(shù)為_(kāi)___．
【答案】45°##45度
【分析】直接利用扇形弧長(zhǎng)公式代入求出即可．
【詳解】解：∵扇形的弧長(zhǎng)是，半徑為2，
∴，
解得：n＝45，
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)七 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度
例題：（2022·山東棗莊·中考真題）在活動(dòng)課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車(chē)．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 _____．（結(jié)果保留π）
【答案】
【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長(zhǎng)度即可．
【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，點(diǎn)，，都在方格紙的格點(diǎn)上，繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】先求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】由題意得，AC=4，BC=3，
∴,
∵繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，
∴,
∴的長(zhǎng)為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理和弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC＝4，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是______．
【答案】
【分析】取的中點(diǎn)、的中點(diǎn)、的中點(diǎn)，連接、、、、、，可得四邊形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，則可得點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑，從而求得路徑的長(zhǎng)．
【詳解】取的中點(diǎn)、的中點(diǎn)、的中點(diǎn)，連接、、、、、，如圖，
則OE∥BC，且，OF∥AC，，
∴四邊形CEOF為平行四邊形，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴四邊形為正方形，
∴CE=CF=2，EF=OC，
由勾股定理得：，
∵在等腰中，，
∴，
∴，，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，
當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)；點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)，
∴點(diǎn)的路徑為以為直徑的半圓，
∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的判定，確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．
考點(diǎn)八 求扇形的面積
例題：（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【詳解】解：S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)期末）如圖，在? ABCD中，∠D＝60°，對(duì)角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，與AC交于點(diǎn)M，連接AO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)F，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AB＝EB．
(1)求證：EC是⊙O的切線；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后說(shuō)明∠OBC=90°即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC＝AD＝2，過(guò)O作OH⊥AM于H，則四邊形OBCH是矩形，然后再說(shuō)明△AOM是等邊三角形，即∠AOM＝60°；最后根據(jù)扇形的面積公式求解即可．
（1）證明：連接OB∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°= 90°∴OB⊥CE∵OB是半徑 ∴EC是⊙O的切線．
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC=AD=2過(guò)O作OH⊥AM于H則四邊形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等邊三角形 ∴∠AOM＝60°∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、扇形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．
(1)求證：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)30°
(3)2π﹣2
【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題．
（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積是﹣2＝2π﹣2，答：陰影部分的面積是2π﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，題目難度不大．
考點(diǎn)九 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積
例題：（2022·廣西河池·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴所掃過(guò)的面積為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河北邯鄲·九年級(jí)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為_(kāi)_________．
【答案】 ##
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得的長(zhǎng)；根據(jù)圖形可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的長(zhǎng)為:2π；
∵AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB掃過(guò)的圖形的面積= ．
故答案為：2π；．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，弧長(zhǎng)公式以及扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．
2．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，B(﹣5，0)，C(5，0)，點(diǎn)D(11，0)，將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，則線段CD轉(zhuǎn)過(guò)區(qū)域的面積為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】先判斷出OB＝OC＝5，根據(jù)勾股定理可得OA和AD的長(zhǎng)，根據(jù)△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面積公式即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵B（?5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，
∵△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，
∴圖中陰影部分面積＝S扇形DAE?S扇形BAC


故答案為：16π
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)十 求不規(guī)則圖形的面積
例題：（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AC為對(duì)角線，，，以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接BM，過(guò)M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接BM，過(guò)M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等邊三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S陰=S△BCM-S扇形BMN==，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式等知識(shí)，明確S陰=S△BCM-S扇形BMN是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南安陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過(guò)圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，則可判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，連接OP，
則點(diǎn)E是弧AEP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)O為弧AOP的中點(diǎn)，
∴S弓形AO=S弓形PO，
在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOP=60°，
∴S陰影=S扇形BOP==π．
故答案為：π．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．
2．（2022·河南信陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進(jìn)而得到，，再根據(jù)陰影部分的面積等于，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，，
在中，，，，
∴AB=2BC=4，，
∴， ，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴陰影部分的面積等于．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于是解題的關(guān)鍵．
一、選擇題
1．（2021·甘肅·金昌市第五中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在半徑為6 cm的圓中，長(zhǎng)為2π cm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即可求出弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．
【詳解】∵，
∴圓心角的度數(shù)為n=2×30°=60°．
∴長(zhǎng)為2π cm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，已知正六邊形的邊心距為3，則它的周長(zhǎng)是（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】D
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則邊心距，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定可得是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意得：邊心距，
六邊形是正六邊形，
，
是等邊三角形，
，
，
，
解得，
則正六邊形的周長(zhǎng)為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的邊心距、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（2022·廣西梧州·二模）如果一個(gè)扇形的圓心角為30°，面積是，那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】解：
∴
∴
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式、弧長(zhǎng)的求解，掌握相關(guān)計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）列式求解即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，
由題意得：，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟知圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·山東煙臺(tái)·期末）小明將直徑為的半圓繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)了如圖所示的圖案，那么圖中陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)整體思想，可知，再利用扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
∴，
而由題意可知AB=6cm，，
即．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的相關(guān)計(jì)算，根據(jù)整體思想求出表示陰影部分面積的方法，再用公式計(jì)算扇形的面積即可．
二、填空題
6．（2022·福建·莆田擢英中學(xué)九年級(jí)期末）若圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是_____．
【答案】12π
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可求解．
【詳解】解：由題意可知：S圓錐=πrl=π×3×4=12π．
故答案為：12π
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面積的計(jì)算公式，理解圓錐與展開(kāi)圖之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)正六邊形外接圓的半徑為8cm，則該正六邊形的邊心距長(zhǎng)為 _____．
【答案】cm
【分析】如圖：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，然后再運(yùn)用三角函數(shù)直角三角形即可．
【詳解】解：如圖：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G
∵在Rt△AOG中，OA=8，∠AOG=30°，
∴AG=4
∴OG= ．
故答案為：cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的特點(diǎn)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線、構(gòu)造直角三角形、運(yùn)用勾股定理求解成為解答本題的關(guān)鍵．
8．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陽(yáng)澄湖中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB為圓錐軸截面△ABC的一邊，一只螞蟻從B地出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面爬向AC邊的中點(diǎn)D，其中AB＝6，OB＝3，請(qǐng)螞蟻爬行的最短距離為 ____．
【答案】
【分析】如圖圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形CAC′，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n，根據(jù)題意可列式2π×3，解得n＝180，則可知∠CAB′＝90°，由D為AC的中點(diǎn)，可知AD＝3，則在Rt△ADB′中，由勾股定理可算出螞蟻爬行的最短距離．
【詳解】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形CAC′，如圖，
設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n，
根據(jù)題意得2π×3，解得n＝180，
∴∠CAB′＝90°，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴AD＝3，
在Rt△ADB′中，B′D＝，
∴螞蟻爬行的最短距離為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，能夠熟練運(yùn)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2022·山東煙臺(tái)·期中）如圖，在中，，，，將三角形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（）后得到三角形，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是_________．
【答案】
【分析】把△ADE順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到△ABC，要求的陰影部分的面積就是邊長(zhǎng)為5，角為60°的扇形面積．
【詳解】圓形面積= =25π
扇形的面積= =
【點(diǎn)睛】此題考查了求陰影部分的面積，解題關(guān)鍵是把陰影的面積變成求扇形的面積．
10．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，扇形AOB中，，點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，連接CD，AD，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖2），若，則圖2中弧AB，線段AD，BD構(gòu)成的陰影部分的面積為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】依題意可得出，代入數(shù)值計(jì)算可得出答案．
【詳解】解：依題意得：，
過(guò)D作DE⊥AO于E，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查陰影部分面積，正確表達(dá)面積是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2021·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，半徑，垂足為G，求這個(gè)正六邊形的中心角、邊長(zhǎng)和邊心距．
【答案】正六邊形的中心角為，邊長(zhǎng)為4，邊心距為．
【分析】連接，在圓內(nèi)接正六邊形中，可得，從而得到為等邊三角形，可得正六邊形的邊長(zhǎng)為4 ，再由勾股定理，求出邊心距，即可求解．
【詳解】解：連接，
∵六邊形為正六邊形，
∴．
∵ ，
∴為等邊三角形．
∴，
∵六邊形是正六邊形，
∴ ，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴．
∴正六邊形的中心角為，邊長(zhǎng)為4，邊心距為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接多邊形的定義，正多邊形的定義，正多邊形的邊心距的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·甘肅· 九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為個(gè)單位．
(1)繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的；
(2)求旋轉(zhuǎn)到時(shí)，的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)
【分析】（1）由網(wǎng)格圖可知BC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即與y軸重合，則可確定點(diǎn)，根據(jù)網(wǎng)格圖，將AC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可確定點(diǎn)，C點(diǎn)與點(diǎn)重合，即可畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，即是B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，依據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，即可得到的長(zhǎng)．
（1）
如圖所示，即為所求；
（2）
根據(jù)（1）的圖形，可得：的長(zhǎng)為：＝．
【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，以及弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式．
13．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示 ．
(1)求圓錐的高；
(2)求所需鐵皮的面積（結(jié)果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓錐的母線、高和底面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑進(jìn)行計(jì)算即可．
（1）
解：如圖，設(shè)為圓錐的高，為圓錐的母線，為底面圓的半徑，
∴，，，
∴有中，
∴圓錐的高為．
（2）
圓錐的底面周長(zhǎng)為：，
∵圓錐的底面周長(zhǎng)是側(cè)面展開(kāi)得到的扇形的弧長(zhǎng)，
∴扇形的弧長(zhǎng)為，
∴扇形的面積為，
∴所需鐵皮的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算．正確理解圓錐的高、母線與底面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，圓錐的側(cè)面與它的側(cè)面展開(kāi)圖扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，要正確理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．
14．（2021·河北·唐山市曹妃甸區(qū)臨港商務(wù)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠A=∠D=30°．
(1)求證：直線CD為⊙O的切線；
(2)若CD=3，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接OC，由∠A=∠D=30°，可得∠COD=2∠D，從而求得∠OCD=90°，可證得直線CD為⊙O的切線；
（2）先求△OCD和扇形OCB的面積，進(jìn)而可求出圖中陰影部分的面積．
（1）
證明：連接OC，
∵∠A=∠D=30°，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠OCD=90°，
∵過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，
∴OC⊥CD，
∵CO為圓的半徑，
∴ 直線CD為圓的切線．
（2）
由（1）可知∠COD=60°
在Rt△COD中，∵CD=3，
∴OC=3×=，
∴陰影部分的面積=
【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，掌握過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用分割法求陰影部分面積．
15．（2021·浙江·溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，內(nèi)接于，，，，．
(1)度數(shù)________；（直接寫(xiě)出答案）
(2)求的長(zhǎng)度；
(3)是上一點(diǎn)（不與A，，重合），連結(jié)．
①若垂直的某一邊，求的長(zhǎng)；
②將點(diǎn)A繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，若恰好落在上，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．（直接寫(xiě)出答案）
【答案】(1)45°
(2)的長(zhǎng)為cm
(3)①的長(zhǎng)為cm；②
【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD的值，即可判定等腰直角三角形ADC，進(jìn)而即可求解；
（2）連接OC，OB根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和判定即可求解；
（3）①BP于點(diǎn)E，并連接AP，根據(jù)等腰直角三角形進(jìn)而證明三角形全等即可應(yīng)用勾股定理進(jìn)行求解；②連接A，根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理對(duì)邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解即可．
（1）
∵，
∴，
又∵，，
∴(cm)，
∵，
∴AD=14 cm -6 cm =8cm=CD，且CDAB，
∴ADC為等腰直角三角形，
∴=45°，
故答案為：45°．
（2）
連接CO，BO
∵，
∴，
又∵，
∴COB為等腰直角三角形，
∴(cm)，
則=(cm)．
（3）
①根據(jù)題意可得當(dāng)垂直的某一邊時(shí)，
則P點(diǎn)只能在內(nèi)，且BP于點(diǎn)E，并連接AP，
∵和為所對(duì)的角，
∴=，
由（1）得，且，
∴為等腰直角三角形，
∴AE=BE
∵，
∴，
∴PE=CE，BE=AE，
又∵在Rt中，
∴BP=AC=(cm)．
②連接A，如下圖，
由①得為等腰直角三角形，
∴AE=EB，
又∵，且
∴，
∴在Rt中，
∴AP=，
∵點(diǎn)A繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，
∴，
∴，
又∵AD=8，且在Rt中，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、圓弧上的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵上我以上的性質(zhì)并聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行對(duì)題目進(jìn)行解讀．

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24.3 正多邊形和圓

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