初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級下冊5.3.1 平行線的性質(zhì)達標(biāo)測試-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

典例：（2018·全國初一月考）已知：如圖，直線，點C是PQ，MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個動點.
（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖1，請直接寫出∠C與∠1∠2之間的數(shù)量關(guān)系.
（2）若小明把一塊三角板（∠A=30°，∠C=90°）如圖2放置，點D，E，F(xiàn)是三角板的邊與平行線的交點，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度數(shù).
（3）將圖2中的三角板進行適當(dāng)轉(zhuǎn)動，如圖3，直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段CD上，連結(jié)EG，且有∠CEG=∠CEM，給出下列兩個結(jié)論：
①的值不變；
②∠GEN－∠BDF的值不變.
其中只有一個是正確的，你認(rèn)為哪個是正確的？講求出不變的值是多少.
【答案】（1）∠C=∠1+∠2；（2）60°；（3）結(jié)論①的值不變是正確的.
【解析】
解：（1）∠C=∠1+∠2．
理由：如圖1，過C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2．
（2）∵∠AEN=∠A=30°，
∴∠MEC=30°，
由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；
（3）結(jié)論①的值不變是正確的，
設(shè)∠CEG=∠CEM=x，則∠GEN=180°-2x，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，
∴∠BDF=90°-x，
∴ ==2（定值），即的值不變，值為2．
方法或規(guī)律點撥
本題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行求解．
鞏固練習(xí)
1. （2018·福建師范大學(xué)泉州附屬中學(xué)初一期末）（感知）如圖①，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、BE，試說明∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（探究）當(dāng)點E在如圖②的位置時，其他條件不變，試說明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；
（應(yīng)用）點E、F、G在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖③，若∠EFG=36°，則∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
【答案】【感知】見解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【應(yīng)用】396°.
【解析】
解：理由如下，
【感知】
過E點作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
過E點作AB//EG.
∵AB//CD
∴EG//CD
∵AB//CD
∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD
∴∠CEG+∠DCE=180°
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°
【應(yīng)用】
過點F作FH∥AB.
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案為：396°.
3. （2019·黑龍江初一期中）如圖AB∥CD，點H在CD上，點E、F在AB上，點G在AB、CD之間，連接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足為H，F(xiàn)G⊥HG，垂足為G.
（1）求證：∠EHC+∠GFE=180°.
（2）如圖2，HM平分∠CHG，交AB于點M，GK平分∠FGH，交HM于點K，求證：∠GHD=2∠EHM.
（3）如圖3，EP平分∠FEH，交HM于點N，交GK于點P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度數(shù).
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）20°
【解析】
（1）∵HG⊥HE，F(xiàn)G⊥HG
∴FG∥EH，
∴∠GFE+∠HEF=180°，
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠CHE
∴∠EHC+∠GFE=180°
（2）設(shè)∠EHM=x，
∵HG⊥HE，
∴∠GHK=90°-x,
∵MH平分∠CHG，
∴∠EHC=90°-2x，
∵AB∥CD
∴∠HMB=90°-x，
∴∠HMB=∠MHG=90°-x，
∵AB∥CD，
∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，
∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，
∴∠GHD=2∠EHM；
（3）延長FG，GK，交CD于R，交HE于S，如圖，
∵AB∥CD，∠BFG=50°
∴∠HRG=50°
∵FG⊥HG，
∴∠GHR=40°，
∵HG⊥HE，
∴∠EHG=90°，
∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，
∵AB∥CD,
∴∠FEH=∠CHE=50°，
∵EP是∠HEF的平分線，
∴∠SEP=∠FEH=25°，
∵GH平分∠HGF，
∴∠HGS=∠HGF=45°,
∴∠HSG=45°，
∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，
∴∠EPS=20°，即 ∠NPK=20°.
類型二：以三角板為背景的問題
典例：（2020·四川初一期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．
（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）當(dāng)∠ACE