初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)第一章 有理數(shù)1.2 有理數(shù)1.2.1 有理數(shù)精練

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)第一章 有理數(shù)1.2 有理數(shù)1.2.1 有理數(shù)精練，文件包含人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)專題51期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之有理數(shù)十六大必考點(diǎn)原卷版doc、人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)專題51期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之有理數(shù)十六大必考點(diǎn)解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共71頁， 歡迎下載使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc54" 【考點(diǎn)1 相反意義的量】 PAGEREF _Tc54 \h 1
\l "_Tc25576" 【考點(diǎn)2 有理數(shù)的概念及分類】 PAGEREF _Tc25576 \h 2
\l "_Tc18611" 【考點(diǎn)3 相反數(shù)】 PAGEREF _Tc18611 \h 2
\l "_Tc18651" 【考點(diǎn)4 絕對(duì)值】 PAGEREF _Tc18651 \h 3
\l "_Tc25140" 【考點(diǎn)5 根據(jù)數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 PAGEREF _Tc25140 \h 3
\l "_Tc6251" 【考點(diǎn)6 相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)綜合】 PAGEREF _Tc6251 \h 4
\l "_Tc16375" 【考點(diǎn)7 有理數(shù)的混合運(yùn)算】 PAGEREF _Tc16375 \h 4
\l "_Tc14316" 【考點(diǎn)8 新定義中的有理數(shù)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc14316 \h 5
\l "_Tc23724" 【考點(diǎn)9 科學(xué)記數(shù)法】 PAGEREF _Tc23724 \h 5
\l "_Tc32580" 【考點(diǎn)10 有理數(shù)乘方的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc32580 \h 6
\l "_Tc233" 【考點(diǎn)11 有理數(shù)的大小比較】 PAGEREF _Tc233 \h 7
\l "_Tc11233" 【考點(diǎn)12 閱讀材料中的有理數(shù)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc11233 \h 7
\l "_Tc5808" 【考點(diǎn)13 有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc5808 \h 9
\l "_Tc24781" 【考點(diǎn)14 正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc24781 \h 10
\l "_Tc14795" 【考點(diǎn)15 有理數(shù)中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc14795 \h 11
\l "_Tc17409" 【考點(diǎn)16 數(shù)軸與絕對(duì)值、動(dòng)點(diǎn)的綜合探究】 PAGEREF _Tc17409 \h 12
【考點(diǎn)1 相反意義的量】
【例1】（河北省保定市新秀學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，則-50元表示（ ）
A．支出50元B．收入50元C．支出60元D．收入60元
【變式1-1】（重慶市育才中學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果水庫的水位高于正常水位4m時(shí)，記作+4m，那么低于正常水位5m時(shí)，應(yīng)記作( )
A．5mB．-5mC．+mD．-m
【變式1-2】（山西省呂梁市交城縣2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果電梯上升米，記作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊米處，玩具店位于書店西邊米處，小明從書店沿街向東走了米，接著又向西走了米，此時(shí)小明的位置在（ ）
A．文具店B．玩具店C．文具店西邊米D．玩具店西邊米
【考點(diǎn)2 有理數(shù)的概念及分類】
【例2】（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列有理數(shù)填入它所屬于的集合圈內(nèi)．
，1，3.5，0，，4
【變式2-1】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非負(fù)有理數(shù)的數(shù)有___________________．
【變式2-2】（2022·黑龍江·肇源縣超等蒙古族鄉(xiāng)學(xué)校期中）在下列數(shù)中：，0.23，，0，，，，，該正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為，則的值為________．
【變式2-3】（2022·陜西·白水縣田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：
15，，﹣5，，0，﹣5.32，，π，80%，5．
(1)分?jǐn)?shù)集合{ …}；
(2)自然數(shù)集合{ …}；
(3)非正整數(shù)集合{ …}；
(4)非負(fù)有理數(shù)集合{ …}．
【考點(diǎn)3 相反數(shù)】
【例3】（2022·黑龍江·同江市第三中學(xué)七年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A．2與B．（﹣1）2與1C．﹣1與（﹣1）2D．2與|﹣2|
【變式3-1】（2022·河北保定·七年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)是_____．
【變式3-2】（2022·寧夏·銀川市第三中學(xué)七年級(jí)期中）下列各組數(shù)中：①﹣32與32；②（﹣3）2與32；③﹣（﹣2）與﹣（+2）；④（﹣3）3與﹣33；⑤﹣23與32，其中互為相反數(shù)的共有（ ）
A．4對(duì)B．3對(duì)C．2對(duì)D．1對(duì)
【變式3-3】（2022·山東威?！て谥校┤鬽，n互為相反數(shù)，則下列各組數(shù)中不是互為相反數(shù)的是（ ）
A．﹣m和﹣nB．m+1和n+1C．m+1和n﹣1D．5m和5n
【考點(diǎn)4 絕對(duì)值】
【例4】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）若，且，則_______．
【變式4-1】（2022·黑龍江·蘭西縣紅星鄉(xiāng)第一中學(xué)校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，則x+y的值等于 _____．
【變式4-2】（2022·廣東·肇慶市頌德學(xué)校七年級(jí)期中）絕對(duì)值小于3的正整數(shù)有________．
【變式4-3】（2022·遼寧本溪·七年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：____________．
【考點(diǎn)5 根據(jù)數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】
【例5】（2022·四川廣安·七年級(jí)期末）有理數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：________．
【變式5-1】（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A和B表示的數(shù)分別為a和b，若c是絕對(duì)值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)．
（1）在數(shù)軸上表示c＝ ，d＝ ．
（2）若|x+3|＝2，則x的值是多少？
（3）若﹣1＜x＜0，化簡(jiǎn)：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．
【變式5-2】（2022·山東德州·七年級(jí)期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，解答下列問題：
（1）若a＝2，將a表示的點(diǎn)沿?cái)?shù)軸方向平移5個(gè)單位，得到的點(diǎn)表示的數(shù)為 ；
（2）數(shù)b與其相反數(shù)相距10個(gè)單位長(zhǎng)度，則b表示的數(shù)是 ；
（3）化簡(jiǎn)：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．
【變式5-3】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上有點(diǎn)a，b，c三點(diǎn)．
(1) 0； 0(填“”，“=”)；
(2)化簡(jiǎn)
(3)求的值
【考點(diǎn)6 相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)綜合】
【例6】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若、互為相反數(shù)，則 ______ ．
【變式6-1】（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）的絕對(duì)值加上的倒數(shù)等于______．
【變式6-2】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)七年級(jí)期中）的倒數(shù)的絕對(duì)值是 ________
【變式6-3】（2022·湖北十堰·七年級(jí)期中）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，e的絕對(duì)值為1，求3a+3b+cd+e2的值．
【考點(diǎn)7 有理數(shù)的混合運(yùn)算】
【例7】（2022·黑龍江·蘭西縣崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）計(jì)算：
(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；
(2)3×（-1）-4÷（-2）；
(3)；
(4)
【變式7-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）計(jì)算，有簡(jiǎn)便方法的用簡(jiǎn)便方法．
(1)
(2)
(3)
(4)
【變式7-2】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級(jí)期中）計(jì)算:
(1)
(2)
(3)
(4)
【變式7-3】（2022·安徽·七年級(jí)期中）計(jì)算:
(1)×(-24);
(2)(-81)÷÷(-8).
【考點(diǎn)8 新定義中的有理數(shù)運(yùn)算】
【例8】（2022·河南駐馬店·七年級(jí)期中）對(duì)于有理數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算”⊙”，規(guī)定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．
（1）計(jì)算：2⊙（﹣3）的值；
（2）當(dāng)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示時(shí)，化簡(jiǎn)：a⊙b．
【變式8-1】（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室期中）現(xiàn)定義運(yùn)算“*”，對(duì)于任意有理數(shù)a，b，都有a*b＝，例如：5*3＝，由此算出2*（－4）＝_________．
【變式8-2】（2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期中）完成下列各題．
（1）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)、，都有．計(jì)算如下：．
求的值．
（2）對(duì)于有理數(shù)、，若定義運(yùn)算：，求的值．
【變式8-3】（2022·遼寧沈陽·七年級(jí)期中）定義一種新運(yùn)算：a?m＝a×|m|．
如5?（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8?4＝﹣8×|4|＝﹣32．
（1）計(jì)算：65?0＝ ，﹣43?|﹣2|＝ ；
（2）若n＜0，化簡(jiǎn)48?（﹣3n）；
（3）若a，m，n為任意有理數(shù)，等式a?（m+n）＝a?m+a?n一定成立嗎？請(qǐng)說理由．
【考點(diǎn)9 科學(xué)記數(shù)法】
【例9】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期中）我國(guó)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數(shù)字21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【變式9-1】（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校七年級(jí)期中）2020年國(guó)慶檔電影《我和我的家鄉(xiāng)》上映13天票房收入達(dá)到21.94億元，并連續(xù)10天拿下票房單日冠軍．其中21.94億元用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．元B．元C．元D．元
【變式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中學(xué)七年級(jí)期中）整數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則原數(shù)中“”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式9-3】（2022·廣東·廣州四十七中七年級(jí)期中）過度包裝既浪費(fèi)資源又污染環(huán)境，據(jù)測(cè)算如果全國(guó)每年減少十分之一的包裝紙用量那么能減少噸二氧化碳的排放量，把寫成原數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)10 有理數(shù)乘方的應(yīng)用】
【例10】（2022·全國(guó)·七年級(jí)期中）我們平常用的是十進(jìn)制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制，只有兩個(gè)數(shù)碼：0，1．如:二進(jìn)制中111=1×22+1×21+1相當(dāng)于十進(jìn)制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相當(dāng)于十進(jìn)制中的27．那么二進(jìn)制中的1011相當(dāng)于十進(jìn)制中的( )
A．9B．10C．11D．12
【變式10-1】（2022·廣東·東莞市光大新亞外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)期中）將一根繩子對(duì)折一次后從中間剪一刀，繩子變成3段；對(duì)折兩次后從中間剪一刀，繩子變成5段：將這根繩子對(duì)折n次后從中間剪一刀，繩子變成_____段．
【變式10-2】（2022·河南鄭州·七年級(jí)期中）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細(xì)的面條，如下面草圖所示．這樣捏合到第____次后可拉出64根細(xì)面條.
【變式10-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)期中）一質(zhì)點(diǎn)P從距原點(diǎn)1個(gè)單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)處，第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到O的中點(diǎn)處，第三次從點(diǎn)跳動(dòng)到O的中點(diǎn)處，如此不斷跳動(dòng)下去，則第5次跳動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為_____________.
【考點(diǎn)11 有理數(shù)的大小比較】
【例11】（2022·湖北·老河口市第四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列有理數(shù)的大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C． D．
【變式11-1】（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，那么的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞-b＞-a＞bB．-b＞a＞-a＞b
C．a(chǎn)＞b＞-a＞-bD．a(chǎn)＞-b＞b＞-a
【變式11-2】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級(jí)期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較a，b， －a， －b四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系： ____________________．
【變式11-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）探索研究：
（1）比較下列各式的大?。ㄓ谩埃肌?、“＞”、“＝”連接）
①|(zhì)2|+|3| |2+3|；
②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；
③|2|+|﹣3| |2﹣3|；
④|2|+|0| |2+0|．
（2）a、b為有理數(shù)，通過比較、分析，歸納|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”連接）
當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，|a|+|b| |a+b|；
當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，|a|+|b| |a+b|；
當(dāng)a＝0或b＝0時(shí)，|a|+|b| |a+b|；
綜上，|a|+|b| |a+b|．
（3）根據(jù)（2）中得出的結(jié)論，當(dāng)|x|+2015＝|x﹣2015|時(shí)，則x的取值范圍是 ．
【考點(diǎn)12 閱讀材料中的有理數(shù)運(yùn)算】
【例12】（2022·浙江·余姚市高風(fēng)中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下列材料：對(duì)于排好順序的三個(gè)數(shù)：，，稱為數(shù)列，，．將這個(gè)數(shù)列如下式進(jìn)行計(jì)算：，所得的三個(gè)新數(shù)中，最大的那個(gè)數(shù)稱為數(shù)列，，的“理想數(shù)值”．例如：對(duì)于數(shù)列1，-2，3，因?yàn)?，1-（-2）＝3，1-（-2）＋3＝6，所以數(shù)列1，-2，3的“理想數(shù)值為6，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得的數(shù)列都可以按照上述方法求出“理想數(shù)值”，如：數(shù)列-2，1，3的“理想數(shù)值”為0……而對(duì)于“1，-2，3”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，“理想數(shù)值”的最大值為6.
(1)數(shù)列-5，4，-3的“理想數(shù)值”為 ；
(2)將-5，4，-3這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是 ，取得“理想數(shù)值”的最大值的數(shù)列是 ；
(3)將“-1，7， ”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是10，求的值，并寫出取得“理想數(shù)值”最大值的數(shù)列．
【變式12-1】（2022·山東威?！て谥校緮?shù)學(xué)閱讀】高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來非常繁瑣，且易出錯(cuò)．聰明的高斯經(jīng)過探索后，給出了下面的解答過程：
解：設(shè)S＝1+2+3+…+100， ①
則S＝100+99+98+…+1．②
①+②，得（即左右兩邊分別相加）：
2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．
所以，S＝．
所以，1+2+3+…+100＝5050．
后來人們將高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．
【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：
(1)計(jì)算：1+2+3+…+101；
(2)猜想：1+2+3+…+n＝ ；
(3)利用（2）中的結(jié)論，計(jì)算：1001+1002+…+2000．
【變式12-2】（2022·上海黃浦·期中）每個(gè)假分?jǐn)?shù)可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和（例如，真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)又可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和），反復(fù)進(jìn)行同樣的過程，直到真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是一個(gè)自然數(shù)為止（，），我們把用這種方法得到的自然數(shù)，按照先后順序?qū)懗梢粋€(gè)數(shù)組{3，1，4，2}，那么這個(gè)數(shù)組叫做由這個(gè)假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組．
如：對(duì)于假分?jǐn)?shù)，則，
，
，
，
所生成的自然數(shù)組為{3，1，4，2}．
請(qǐng)根據(jù)上述閱讀材料填空：
(1)由假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組是{_______}；
(2)已知某個(gè)假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為{2，4，1，1，3}，那么這個(gè)假分?jǐn)?shù)是_______．
【變式12-3】（2022·重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）閱讀理解
材料一：若一個(gè)正整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，則這個(gè)數(shù)就能被3整除；反之也能夠成立．
材料二：兩位數(shù)p和三位數(shù)q，它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為0，將數(shù)p任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字作為一個(gè)新的兩位數(shù)的十位數(shù)字，將數(shù)q的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字作為該新數(shù)的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字，按照這種方式產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和記為．例如：，．
(1)計(jì)算：______．
(2)試說明：當(dāng)q能夠被3整除時(shí)一定能夠被6整除．
【考點(diǎn)13 有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】
【例13】（2022·湖北黃石·七年級(jí)期末）地球北緯線是一條神秘而又奇特的緯線，我國(guó)有許多資源豐富的名山都分布在這條緯線附近．峨眉山與黃山植物種類的比是，已知峨眉山有植物3300種，黃山的植物種類是廬山的．那么廬山有植物多少種？
【變式13-1】（2022·黑龍江省新華農(nóng)場(chǎng)中學(xué)期末）下面是學(xué)校到少年宮的行走路線圖
(1)如果小明從公園到學(xué)校，請(qǐng)敘述一下他的行走路線．
(2)如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學(xué)校要走幾分鐘？
【變式13-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校期中）當(dāng)溫度每上升2℃時(shí)，某種金屬絲伸長(zhǎng)0.003mm．反之，當(dāng)溫度每下降2℃時(shí)，金屬絲縮短0.002mm．把17℃的這種金屬絲加熱到63℃，再使它冷卻降溫到5℃，最后的長(zhǎng)度和原來相比是伸長(zhǎng)了還是縮短了？伸長(zhǎng)了或縮短了多少？
【變式13-3】（2022·湖北黃石·七年級(jí)期末）一個(gè)高為，容積為的圓柱形容器里裝滿了水，現(xiàn)把高的圓柱垂直放入，使圓柱的底面與容器的底面接觸，這時(shí)一部分水從容器中溢出，當(dāng)把圓柱從容器中拿出后，容器中水的高度為6厘米．求圓柱的體積．
【考點(diǎn)14 正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】
【例14】（陜西省西安市雁塔區(qū)師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）為全力迎接全國(guó)第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)，西安市將繼續(xù)加快交通高質(zhì)量發(fā)展，不斷增強(qiáng)市民獲得感和幸福感．某檢修小組從O地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中七次行駛記錄如下，（單位：km）
（1）求收工時(shí)距O地多遠(yuǎn)？
（2）在第幾次記錄時(shí)距O地最遠(yuǎn)？
（3）若每千米耗油0.2升，問共耗油多少升？
【變式14-1】（黑龍江省哈爾濱市德強(qiáng)初中2022-2023學(xué)年下學(xué)期雙減下的數(shù)學(xué)匯報(bào)試卷六年級(jí)（五四制））某一出租車一天下午以博物館為出發(fā)地在東西方向營(yíng)運(yùn)，向東為正，向西為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8
(1)在第______次記錄時(shí)距博物館最遠(yuǎn)．
(2)將最后一名乘客送到目的地，出租車離博物館出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？在博物館的什么方向？
(3)若每千米的價(jià)格為1.9元，司機(jī)一個(gè)下午的營(yíng)業(yè)額是多少？
【變式14-2】（山東省煙臺(tái)市牟平區(qū)2022-2023學(xué)年六年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某小型體育用品加工廠計(jì)劃一天生產(chǎn)300個(gè)足球，但由于各種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)足球個(gè)數(shù)與計(jì)劃每天生產(chǎn)足球個(gè)數(shù)相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（增產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)）：
(1)求該廠本周實(shí)際生產(chǎn)足球的個(gè)數(shù)；
(2)求產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)足球的個(gè)數(shù)；
(3)該廠實(shí)行每日計(jì)件工資制，按計(jì)劃完成每生產(chǎn)一個(gè)足球可得6元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每個(gè)另獎(jiǎng)2元，若未能完成任務(wù)，則少生產(chǎn)一個(gè)扣2.5元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？
【變式14-3】（廣西桂林市灌陽縣2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，某快遞員要從公司點(diǎn)A出發(fā)，前往B、C、D等地派發(fā)包裹，規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負(fù)，并且行走方向順序?yàn)橄茸笥以偕舷拢绻麖腁到B記為：A→B（＋1，＋4），從B到A記為：B→A（－1，－4），其中第一個(gè)數(shù)表示左右方向，第二個(gè)數(shù)表示上下方向，請(qǐng)根據(jù)圖完成如下問題：
（1）A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→D（＋1， ）；
（2）若快遞員的行走路線為A→B→C→D，請(qǐng)計(jì)算該快遞員走過的路程；
（3）若快遞員從A處去某P處的行走路線依次為（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出P的位置．
【考點(diǎn)15 有理數(shù)中的規(guī)律探究】
【例15】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級(jí)期中）觀察下面算式的演算過程：


……
（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：
______________． ____________．
_________________．（為正整數(shù)）
（2）根據(jù)規(guī)律計(jì)算：
．
【變式15-1】（2022·湖南岳陽·七年級(jí)期中）請(qǐng)觀察下列算式，找出規(guī)律并填空．
，，，．
則第10個(gè)算式是________，第個(gè)算式是________．
根據(jù)以上規(guī)律解讀以下兩題：
（1）求的值；
（2）若有理數(shù)，滿足，試求：的值．
【變式15-2】（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)期中）由乘方的定義可知：（n個(gè)a相乘）．觀察下列算式回答問題：
(1)_________；
(2)_________；
(3)計(jì)算：．
【變式15-3】（2022·寧夏·銀川英才學(xué)校七年級(jí)期中）點(diǎn)（為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，且；點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且；點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且；點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且；…，依照上述規(guī)律，點(diǎn)所表示的數(shù)分別為 （ ）
A．2018，－2019B．1009，－1010C．－2018，2019D．－1009，1009
【考點(diǎn)16 數(shù)軸與絕對(duì)值、動(dòng)點(diǎn)的綜合探究】
【例16】（2022·湖南·永州市德雅學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．
根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：
(1)數(shù)軸上表示3與﹣2的兩點(diǎn)之間的距離是______．
(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離用絕對(duì)值符號(hào)可以表示為______．
(3)代數(shù)式可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)______所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；若，則x＝______．
(4)求代數(shù)式的最小值是______，并直接寫出這時(shí)x的值為______．
【變式16-1】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為，且、滿足．
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)所表示的數(shù)：______，點(diǎn)所表示的數(shù)：______．
(2)如圖1，點(diǎn)從出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)從出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)、原點(diǎn)的距離始終相等，設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離為，求的值．
(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)、之間的距離等于時(shí)，從點(diǎn)出發(fā)（點(diǎn)所表示的數(shù)為14），以2個(gè)單位/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，此時(shí)、仍按原速度、原方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與、都未相遇之前，是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和等于點(diǎn)到原點(diǎn)距離，若存在，求點(diǎn)所表示的數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式16-2】（2022·廣東·廣州市越秀區(qū)育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）已知：a是－1，且a，b，c滿足，請(qǐng)回答問題：
（1）請(qǐng)直接寫出b，c的值：______，______；
（2）在數(shù)軸上，a，b，c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x：
①當(dāng)點(diǎn)P在A與B之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：；
②若點(diǎn)Q為數(shù)軸上另一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度從B點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度從C點(diǎn)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)，點(diǎn)Q馬上以同樣速度往反方向運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)繼續(xù)按原方向運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，假設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒后，，求t的值．
【變式16-3】（2022·重慶·七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離等于這兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對(duì)值．如圖1，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，點(diǎn)C表示的數(shù)為3，則B，C之間的距離表示為：，A，C之間的距離表示為：．
若點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，則P，A之間的距離表示為：，P，B之間的距離表示為：．
（1）如圖1，
①若點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，化簡(jiǎn)_________；
②若點(diǎn)P在線段上，化簡(jiǎn)_________；
③若點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，化簡(jiǎn)_________；
④由圖可知，的最小值是_________．
（2）請(qǐng)按照（1）問的方法思考：的最小值是_________．
（3）如圖2，在一條筆直的街道上有E，F(xiàn)，G，H四個(gè)小區(qū)，且相鄰兩個(gè)小區(qū)之間的距離均為．已知E，F(xiàn)，G，H四個(gè)小區(qū)各有2個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，1個(gè)小朋友在同一所小學(xué)的同一班級(jí)上學(xué)，安全起見，這8個(gè)小朋友約定先在街道上某處匯合，再一起去學(xué)校．聰明的小朋友們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會(huì)使所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路程之和最小，請(qǐng)直接寫出匯合地點(diǎn)M的位置和所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路程之和的最小值．
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
﹣4
＋7
﹣9
＋8
＋6
﹣5
﹣1
星期
一
二
三
四
五
六
七
增減