人教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)1.2.1 有理數(shù)同步練習(xí)題

這是一份人教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)1.2.1 有理數(shù)同步練習(xí)題，文件包含人教版數(shù)學(xué)七上同步講練專題19絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法七大題型原卷版doc、人教版數(shù)學(xué)七上同步講練專題19絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法七大題型解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24349" 【題型1 利用絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值】 PAGEREF _Tc24349 \h 1
\l "_Tc4177" 【題型2 根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】 PAGEREF _Tc4177 \h 3
\l "_Tc25279" 【題型3 根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷正誤】 PAGEREF _Tc25279 \h 5
\l "_Tc11529" 【題型4 根據(jù)絕對(duì)值的意義求取值范圍】 PAGEREF _Tc11529 \h 7
\l "_Tc28252" 【題型5 絕對(duì)值中的分類討論之類型問題】 PAGEREF _Tc28252 \h 8
\l "_Tc23291" 【題型6 絕對(duì)值中的分類討論之多絕對(duì)值問題】 PAGEREF _Tc23291 \h 10
\l "_Tc4038" 【題型7 絕對(duì)值中的最值問題】 PAGEREF _Tc4038 \h 12
【題型1 利用絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值】
【例1】（2022?博湖縣校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化簡(jiǎn)|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．
【分析】分清a，﹣2b，3b﹣2a三個(gè)數(shù)的正負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．已知實(shí)數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，可得出b≥0，
|ab|＝﹣ab，則a≤0，b＝﹣a．所以﹣2b＜0，3b﹣2a＞0，從而得出|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的值．
【解答】解：∵|a|＝b，|a|≥0，
∴b≥0，
又∵|ab|+ab＝0，
∴|ab|＝﹣ab，
∵|ab|≥0，
∴﹣ab≥0，
∴ab≤0，
即a≤0，
∴a與b互為相反數(shù)，即b＝﹣a．
∴﹣2b≤0，3b﹣2a≥0，
∴|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|＝﹣a+2b﹣（3b﹣2a）＝a﹣b＝﹣2b或2a．
【變式1-1】如圖表示在數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)p，q，r，s位置關(guān)系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，則|q﹣r|＝ 7 ．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，將|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而可得q、r兩點(diǎn)間的距離，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，由|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9可得
p、r兩點(diǎn)間的距離為10，p、s兩點(diǎn)間的距離為12，q、s兩點(diǎn)間的距離為9，
則q、r兩點(diǎn)間的距離為10+9﹣12＝7，
即|q﹣r|＝7，
故答案為7．
【變式1-2】已知a，b，c，d滿足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝ 0 ．
【分析】根據(jù)已知不等式確定出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，已知等式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，整理求出a+b與c+d的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：∵a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，
∴a+1＜0，b+1＞0，1﹣c＞0，1﹣d＜0，
∵|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，
∴﹣a﹣1＝b+1，1﹣c＝d﹣1，
整理得：a+b＝﹣2，c+d＝2，
則a+b+c+d＝0．
故答案為：0
【變式1-3】化簡(jiǎn)：
（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．
【分析】（1）就2x﹣1≥0，2x﹣1＜0兩種情形去掉絕對(duì)值符號(hào)；
（2）將零點(diǎn)1，3在同一數(shù)軸上表示出來，就x＜1，1≤x＜3，x≥3三種情況進(jìn)行討論；
（3）由零點(diǎn)共有﹣1、1、3三點(diǎn)，就x≥3，1≤x＜3，﹣1≤x＜1，x＜﹣1四種情況進(jìn)行討論．
【解答】解：（1）①當(dāng)x，原式＝2x﹣1；
②當(dāng)x，原式＝﹣（2x﹣1）＝1﹣2x；
（2）①當(dāng)x＜1，原式＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3）＝4﹣2x；
②當(dāng)1≤x＜3，原式＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2；
③當(dāng)x≥3，原式＝（x﹣1）+（x﹣3）＝2x﹣4；
（3）①x≥3，原式＝|x﹣1﹣2|+x+1＝x﹣3+x+1＝2x﹣2；
②1≤x＜3，原式＝|x﹣1﹣2|+x+1＝3﹣x+x+1＝4；
③﹣1≤x＜1，原式＝|1﹣x﹣2|+x+1＝|﹣（x+1）|+x+1＝x+1+x+1＝2x+2；
④x＜﹣1，原式＝|1﹣x﹣2|﹣（x+1）＝|﹣（x+1）|﹣x﹣1＝﹣（x+1）﹣x﹣1＝﹣2x﹣2．
【題型2 根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】
【例2】（2022春?諸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b、c的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：由題意得，a﹣3＝0，2ab﹣8＝0，c﹣2＝0，
解得a＝3，b，c＝2，
所以，a+3b﹣c，
＝3+32，
＝3+4﹣2，
＝7﹣2，
＝5．
【變式2-1】（2022秋?梅州校級(jí)月考）若|x﹣2|+|y+3|＝0，計(jì)算：
（1）x，y的值．
（2）求|x|+|y|的值．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）由題意得，x﹣2＝0，y+3＝0，
解得x＝2，y＝﹣3；
（2）|x|+|y|＝|2|+|﹣3|＝2+3＝5．
【變式2-2】（2022秋?南江縣校級(jí)期中）已知|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，求的值．
【分析】根據(jù)題意，|﹣x+7|≥0，|﹣2y﹣1|≥0，又|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，故|﹣x+7|＝0，|﹣2y﹣1|＝0，即可求出x，y的值，代入即可求出答案．
【解答】解：根據(jù)題意：|﹣x+7|≥0，|﹣2y﹣1|≥0，又|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，故|﹣x+7|＝0，|﹣2y﹣1|＝0，
解得：x＝7，y，
故2×（）3．
【變式2-3】（2022?淶水縣期末）已知x為實(shí)數(shù)，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（ ）
A．5B．10C．15D．75
【分析】將|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|按照取值范圍進(jìn)行討論．
【解答】解：（1）當(dāng)x時(shí)，原式＝150x﹣15，不是常數(shù)；
（2）當(dāng)x時(shí)，原式＝144x﹣13，不是常數(shù)；
（3）當(dāng)x時(shí)，原式＝136x﹣11，不是常數(shù)；
（4）當(dāng)x時(shí)，原式＝126x﹣9，不是常數(shù)；
（5）當(dāng)x時(shí)，原式＝114x﹣7，不是常數(shù)；
（6）當(dāng)x時(shí)，原式＝100x﹣5，不是常數(shù)；
（7）當(dāng)x時(shí)，原式＝84x﹣3，不是常數(shù)；
（8）當(dāng)x時(shí)，原式＝66x﹣1，不是常數(shù)；
（9）當(dāng)x時(shí)，原式＝46x+1，不是常數(shù)；
（10）當(dāng)x時(shí)，原式＝24x+3，不是常數(shù)；
（11）當(dāng)x時(shí)，原式＝5，是常數(shù)；
（12）當(dāng)x時(shí)，原式＝﹣26x+7，不是常數(shù)；
（13）當(dāng)x時(shí)，原式＝﹣54x+9，不是常數(shù)；
（14）當(dāng)x時(shí)，原式＝﹣84x+11，不是常數(shù)；
（15）當(dāng)x時(shí)，原式＝﹣116x+13，不是常數(shù)；
（16）當(dāng)x時(shí)，原式＝﹣150x+15，不是常數(shù)．
故選：A．
【題型3 根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷正誤】
【例3】（2022春?肇源縣期末）下面四個(gè)式子中，正確的是（ ）
A．若a≠b，那么a2≠b2B．若a＞|b|，那么a2＞b2
C．若|a|＞|b|，那么a＞bD．若a2＞b2那么a＞b
【分析】利于平方的定義、不等式的定義、絕對(duì)值的求法等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A、若a≠b，那么a、b互為相反數(shù)時(shí)，a2≠b2錯(cuò)誤，不符合題意；
B、如果a＞|b|，那么a2＞b2，正確，符合題意；
C、|a|＞|b|，那么a＞b或a＜b，錯(cuò)誤，不符合題意；
D、如果a2＞b2那么a＞b或a＜b，故錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【變式3-1】（2022秋?全椒縣期中）已知0，有以下結(jié)論：
①a，b一定互為相反數(shù)； ②ab＜0； ③a+b＜0； ④1
其中正確的是 ②④ ．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，可化簡(jiǎn)絕對(duì)值．
【解答】解：由0，得a與b異號(hào)，有以下結(jié)論：
①得a＜0，b＞0，或a＞0，b＜0，
a，b異號(hào)，a，b不一定互為相反數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②ab＜0，故②正確；
③a+b不一定小于0，故③錯(cuò)誤；
④1，故④正確，
故答案為：②④．
【變式3-2】（2022秋?和平區(qū)期中）設(shè)y＝|x﹣1|+|x+1|，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．y沒有最小值
B．只有一個(gè)x使y取最小值
C．有限個(gè)x（不止一個(gè)）y取最小值
D．有無窮多個(gè)x使y取最小值
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分別討論x的取值范圍，再判斷y的最值問題．
【解答】解：方法一：由題意得：當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y＝﹣x+1﹣1﹣x＝﹣2x；
當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，y＝﹣x+1+1+x＝2；
當(dāng)x＞1時(shí)，y＝x﹣1+1+x＝2x；
故由上得當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，y有最小值為2；
故選D．
方法二：由題意，y表示數(shù)軸上一點(diǎn)x，到﹣1，1的距離和，這個(gè)距離和的最小值為2，此時(shí)x的范圍為﹣1≤x≤1，
故選：D．
【變式3-3】（2022秋?青山區(qū)期中）若a，b為有理數(shù)，下列判斷：（1）若|a|＝b，則一定有a＝b；（2）若|a|＞|b|，則一定有a＞b；（3）若|a|＞b，則一定有|a|＞|b|；（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2．其中正確的是（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（4）
【分析】此類題目可將符合條件的有理數(shù)代入逐一驗(yàn)證求解．
【解答】解：（1）若|﹣2|＝2，則﹣2≠2，錯(cuò)誤；
（2）若|﹣2|＞|1|，則﹣2＜1，錯(cuò)誤；
（3）若|1|＞﹣2，則|1|＜|﹣2|，錯(cuò)誤；
（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2，正確．
故選：D．
【題型4 根據(jù)絕對(duì)值的意義求取值范圍】
【例4】（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對(duì)一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是 a≤7 ．
【分析】數(shù)形結(jié)合．絕對(duì)值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)x，y之間的距離．
【解答】解：數(shù)形結(jié)合．絕對(duì)值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)x，y之間的距離．
畫數(shù)軸易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x 到﹣3，﹣1，1，2這四個(gè)點(diǎn)的距離之和．
令y＝，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3時(shí)，y＝11，
x＝﹣1時(shí)，y＝7，
x＝1時(shí)，y＝7，
x＝2時(shí)，y＝9，
可以觀察知：當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，由于四點(diǎn)分列在x兩邊，恒有y＝7，
當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時(shí)，7＜y≤11，
當(dāng)x＜﹣3時(shí)，y＞11，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，7≤y＜9，
當(dāng)x≥2時(shí)，y≥9，
綜合以上：y≥7 所以：a≤7
即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．
從而a的取值范圍為a≤7．
【變式4-1】（2021秋?長(zhǎng)春期中）如果|﹣2a|＝﹣2a，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)≥0C．a(chǎn)≤0D．a(chǎn)＜0
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)|﹣2a|＝﹣2a，絕對(duì)值里面的式子與等號(hào)后面的式子相同，可知﹣2a的絕對(duì)值等于它本身，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，0的絕對(duì)值等于0，也就是等于它本身，可得﹣2a≥0，解不等式可得答案．
【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a，
∴﹣2a≥0，
a≤0．
故選：C．
【變式4-2】（2022?吉首市校級(jí)月考）若m是有理數(shù)，則|m|+m的值（ ）
A．不可能是正數(shù)
B．一定是正數(shù)
C．不可能是負(fù)數(shù)
D．可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)、0的絕對(duì)值是0，可根據(jù)m是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0三種情況討論．
【解答】解：①當(dāng)m＞0時(shí)，原式＝m+m＝2m＞0；
②當(dāng)m＝0時(shí)，原式＝0+0＝0；
③當(dāng)m＜0時(shí)，原式＝﹣m+m＝0．
∴|m|+m的值大于等于0，
即為非負(fù)數(shù)，
故選：C．
【變式4-3】（2022秋?長(zhǎng)沙校級(jí)期中）（1）比較下列各式的大?。ㄓ茫蓟颍净颍竭B接）
①|(zhì)﹣2|+|3| ＞ |﹣2+3|；
②|﹣2|+|﹣3| ＝ |﹣2﹣3|；
③|﹣2|+|0| ＝ |﹣2+0|；
（2）通過以上的特殊例子，請(qǐng)你分析、補(bǔ)充、歸納，當(dāng)a、b為有理數(shù)時(shí)，|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系；
（3）根據(jù)上述結(jié)論，求當(dāng)|x|+2015＝|x﹣2015|時(shí)，x的取值范圍．
【分析】（1）依據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）通過計(jì)算找出其中的規(guī)律即可得出答案；
（3）依據(jù)結(jié)論求解即可．
【解答】解：（1）①|(zhì)﹣2|+|3|＝2+3＝5，|﹣2+3|＝1，故|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；
②|﹣2|+|﹣3|＝2+3＝5，|﹣2﹣3|＝|﹣5|＝5，故|﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|；
③|﹣2|+|0|＝2，|﹣2+0|＝2，故|﹣2|+|0|＝|﹣2+0|．
故答案為：①＞；②＝；③＝．
（2）當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，|a|+|b|＞|a+b|，
當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)（包括零），|a|+|b|＝|a+b|，
∴|a|+|b|≥|a+b|；
（3）∵|x|+2015＝|x﹣2015|，
∴|x|+|﹣2015|＝|x﹣2015|．
由（2）可知：x與﹣2015同號(hào)，
∴x≤0．
【題型5 絕對(duì)值中的分類討論之類型問題】
【例5】（2022秋?江陽區(qū)校級(jí)期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示
（1）用“＜”連接0、﹣a、﹣b、﹣1
（2）化簡(jiǎn)：|a|﹣2|a+b﹣1||b﹣a﹣1|
（3）若c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，求的值．
【分析】（1）直接利用數(shù)軸分析得出答案；
（2）結(jié)合數(shù)軸得出各部分的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可；
（3）結(jié)合數(shù)軸得出各部分的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：（1）由數(shù)軸可得：
﹣1＜﹣b＜0＜﹣a；
（2）原式＝﹣a+2（a+b﹣1）（b﹣a﹣1）
；
（3）∵c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，
∴c＜0，1＞b＞0，
∴|c|＜b，
原式
＝1﹣1+1
＝1．
【變式5-1】（2022秋?順平縣期中）設(shè)a、b、c、d為有理數(shù)，且，則的值為 ﹣4，0，4 ．
【分析】根據(jù)已知條件，得出abcd＞0，根據(jù)兩數(shù)之積是正數(shù)時(shí)，兩數(shù)一定符號(hào)相同，分別分析即可得出答案．
【解答】解：由，知abcd＞0，
于是a，b，c，d中4個(gè)全為正數(shù)或兩個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)或4個(gè)全為負(fù)數(shù)．
當(dāng)a，b，c，d全為正數(shù)時(shí)，原式＝1+1+1+1＝4；
當(dāng)a，b，c，d中有兩個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，原式＝0；
當(dāng)a，b，c，d全為負(fù)數(shù)時(shí)，原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．
故答案為：﹣4，0，4．
【變式5-2】（2022秋?鄂州校級(jí)月考）若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，則的值是 ﹣3 ．
【分析】可以用特殊值法進(jìn)行計(jì)算，令a，b，代入即可得出答案．
【解答】解：方法1：令a，b，
代入 ，
得：1﹣1﹣1＝﹣3．
方法2：∵0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，
∴a﹣1＜0，b+2＞0，a+b＜0，
∴，
，
＝﹣1﹣1﹣1，
＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【變式5-3】（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）有理數(shù)a，b，c均不為0，且a+b+c＝0．設(shè)，試求代數(shù)式x19+99x+2000之值．
【分析】根據(jù)題意可得a，b，c中不能全同號(hào)，必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)與a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），則可得 的值為兩個(gè)+1，一個(gè)﹣1或兩個(gè)﹣1，一個(gè)+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．
【解答】解：由a，b，c均不為0，知b+c，c+a，a+b均不為0，
又∵a，b，c中不能全同號(hào)，故必一正二負(fù)或一負(fù)二正，
∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），
即，
∴中必有兩個(gè)同號(hào)，另一個(gè)符號(hào)其相反，即其值為兩個(gè)+1，一個(gè)﹣1或兩個(gè)﹣1，一個(gè)+1，
∴，，
∴x19+99x+2000＝1+99+2000＝2100．
【題型6 絕對(duì)值中的分類討論之多絕對(duì)值問題】
【例6】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點(diǎn)之間的距離；
（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？
（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說明理由．
【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)或|a﹣b|；
（2）利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（3）利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再進(jìn)行判斷．
【解答】解：（1）|a﹣b|；
（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，
化簡(jiǎn)得﹣2x+2，4，2x﹣2，
則不存在|x+1|+|x﹣3|＝x的情況；
（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，
化簡(jiǎn)得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，
故存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14，
即﹣3≤x≤3，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．
【變式6-1】（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為 1≤a≤4 ．
【分析】分情況討論：①a﹣4≥0；②a﹣1≥0，且a﹣4≤0．
【解答】解：①a﹣4≥0，解得a≥4，化簡(jiǎn)原式＝2a﹣5，不合題意，舍去．
②a﹣1≥0，且a﹣4≤0，解得1≤a≤4，化簡(jiǎn)原式＝3，符合題意．
所以1≤a≤4．
【變式6-2】（2022秋?玉門市期末）在數(shù)軸上有四個(gè)互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設(shè)d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（ ）
A．d﹣bB．c﹣bC．d﹣cD．d﹣a
【分析】由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a?a＜b＜c，又d在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．分別討論可得|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝|c﹣b|＝c﹣b．
【解答】解：由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a可得a＜b＜c，
又因?yàn)閐在a、c之間，
故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．
當(dāng)a＜d＜b＜c時(shí)，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，
當(dāng)a＜b＜d＜c時(shí)，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，
故選：B．
【變式6-3】（2022秋?順平縣期中）已知a，b，c，d都是整數(shù)，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，則|a+d|＝ 1或0 ．
【分析】根據(jù)題意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以不外乎兩種可能：①3個(gè)為0，1個(gè)為2；②2個(gè)為0，2個(gè)為1，繼而討論|a+d|的值．
【解答】解：由題意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以有兩種可能：
①3個(gè)為0，1個(gè)為2，
②2個(gè)為0，2個(gè)為1，
所以|a+d|只可能取0、1、2，若為2，
則|a+b|＝|b+c|＝|c+d|＝0，
不難得出a＝﹣d，所以|a+d|＝0，與假設(shè)|a+d|＝2矛盾．
所以|a+d|只可能取0、1，a＝0，b＝0，c＝﹣1，d＝1時(shí)|a+d|＝1；
a＝﹣1，b＝0，c＝0，d＝1時(shí)|a+d|＝0．
故答案為：1或0．
【題型7 絕對(duì)值中的最值問題】
【例7】（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值
【分析】先討論：|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的最小值，根據(jù)它們的積是36，分別得到|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的值，再討論x、y、z的最大最小值，代入計(jì)算出代數(shù)式的最大值和最小值．
【解答】解：∵|x+1|+|x﹣2|≥3，
（|y﹣2|+|y+1|）≥3，
（|z﹣3|+|z+1|）≥4，
又∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，
∴|x+1|+|x﹣2|＝3，
|y﹣2|+|y+1|＝3，
|z﹣3|+|z+1|＝4，
當(dāng)|x+1|+|x﹣2|＝3時(shí)，x最小取﹣1，最大取2，
當(dāng)|y﹣2|+|y+1|＝3時(shí)，y最小取﹣1，最大取2，
當(dāng)|z﹣3|+|z+1|＝4時(shí)，z最小取﹣1，最大取3
所以2016x+2017y+2018z的最大值為：2016×2+2017×2+2018×3
＝14120，
2016x+2017y+2018z的最小值為：2016×（﹣1）+2017×（﹣1）+2018×（﹣1）
＝﹣6051
【變式7-1】當(dāng)|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時(shí)，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的值最大是 0 ，最小是 ﹣1 ．
【分析】根據(jù)當(dāng)|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時(shí)，即可求得x的范圍是2≤x≤3，且最小值是1，化簡(jiǎn)|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|，即可把x分成1≤x＜2和2≤x≤3兩種情況，在每個(gè)范圍內(nèi)分別取一個(gè)值，代入即可求得．
【解答】解：當(dāng)|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時(shí)，2≤x≤3，
又因?yàn)?不在2和3之間，所以可令x＝2，
則|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝0，
令x＝3，則|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝﹣1，
所以，所求最大值為0，最小值為﹣1．
【變式7-2】（2022秋?海安市月考）閱讀下列有關(guān)材料并解決有關(guān)問題．
我們知道，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡(jiǎn)|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可分以下三種情況：①當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通過以上閱讀，請(qǐng)你解決問題：
（1）|x﹣3|+|x+4|的零點(diǎn)值是 x＝3和x＝﹣4 ；
（2）化簡(jiǎn)代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|；
（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；
（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值為 2005 ，此時(shí)x的取值范圍為 2≤x≤3 ．
【分析】（1）根據(jù)“零點(diǎn)值”的意義進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題目中提供的方法分三種情況分別進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）分三種情況分別對(duì)|x﹣3|+|x+4|進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)而求出相應(yīng)方程的解；
（4）根據(jù)代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意義，得出當(dāng)2≤x≤3時(shí)，該代數(shù)式的值最小，再根據(jù)兩點(diǎn)距離的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，
求得：x＝3和x＝﹣4，
故答案為：﹣4和3；
（2）①當(dāng)x＜﹣4時(shí)，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；
②當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；
③當(dāng)x≥3時(shí)，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；
綜上所述：原式，
（3）分三種情況：
①當(dāng)x＜﹣4時(shí)，﹣2x﹣1＝9，
解得：x＝﹣5；
②當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，7＝9，不成立；
③當(dāng)x≥3時(shí)，2x+1＝9，
解得：x＝4．
綜上所述，x＝﹣5或x＝4．
（4）代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意義為數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)﹣4，2，3，2000的距離之和，
由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，該代數(shù)式的值最小，最小值為（2+4）+（3﹣2）+（2000﹣2）＝2005，
故答案為：2005，2≤x≤3．
【變式7-3】（2022秋?泉州期末）四個(gè)數(shù)分別是a，b，c，d，滿足|a﹣b|+|c﹣d||a﹣d|，（n≥3且為正整數(shù)，a＜b＜c＜d）．
（1）若n＝3．
①當(dāng)d﹣a＝6時(shí)，求c﹣b的值；
②對(duì)于給定的有理數(shù)e（b＜e＜c），滿足|b﹣e||a﹣d|，請(qǐng)用含b，c的代數(shù)式表示e；
（2）若e|b﹣c|，f|a﹣d|，且|e﹣f||a﹣d|，試求n的最大值．
【分析】（1）①由已知可得b﹣a+d﹣c（d﹣a），又由d﹣a＝6，得到c﹣b＝4；
②由已知可得e﹣b（d﹣a），因?yàn)閐﹣a（c﹣b），則有e﹣b（c﹣b）（c﹣b），可求ecb；
（2）由已知可得c﹣b＝（1）（d﹣a），則有||（1）（d﹣a）||a﹣d|||a﹣d|，得到2n＜10，再有n的取值范圍即可求解．
【解答】解：（1）①∵n＝3，
∴|a﹣b|+|c﹣d||a﹣d|，
∵a＜b＜c＜d，
∴b﹣a+d﹣c（d﹣a），
∴c﹣b（d﹣a），
∵d﹣a＝6，
∴c﹣b＝4；
②∵b＜e＜c，|b﹣e||a﹣d|，
∴e﹣b（d﹣a），
∵d﹣a（c﹣b），
∴e﹣b（c﹣b）（c﹣b），
∴ecb；
（2）∵|a﹣b|+|c﹣d||a﹣d|，a＜b＜c＜d，
∴c﹣b＝（1）（d﹣a），
∵e|b﹣c|，f|a﹣d|，且|e﹣f||a﹣d|，
∴||b﹣c||a﹣d|||a﹣d|，
∴||（1）（d﹣a）||a﹣d|||a﹣d|，
∴|a﹣d||a﹣d|，
∴2n＜10，
∴n＜5，
∵n≥3且為正整數(shù)，
∴n的最大值是4．