TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30438" 【考點(diǎn)1 直線、射線、線段的條數(shù)】 PAGEREF _Tc30438 \h 1
\l "_Tc21414" 【考點(diǎn)2 雙中點(diǎn)求線段問題】 PAGEREF _Tc21414 \h 2
\l "_Tc12495" 【考點(diǎn)3 線段的等分點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc12495 \h 3
\l "_Tc21061" 【考點(diǎn)4 線段動(dòng)點(diǎn)的定值計(jì)算】 PAGEREF _Tc21061 \h 4
\l "_Tc18822" 【考點(diǎn)5 線段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問題】 PAGEREF _Tc18822 \h 5
\l "_Tc32135" 【考點(diǎn)6 剪繩子(端點(diǎn)重合)問題】 PAGEREF _Tc32135 \h 7
\l "_Tc20005" 【考點(diǎn)7 動(dòng)點(diǎn)中線段和差問題】 PAGEREF _Tc20005 \h 8
\l "_Tc10397" 【考點(diǎn)8 線段的長(zhǎng)短比較】 PAGEREF _Tc10397 \h 9
\l "_Tc15785" 【考點(diǎn)9 時(shí)針和分針重合次數(shù)與時(shí)間】 PAGEREF _Tc15785 \h 10
\l "_Tc13526" 【考點(diǎn)10 兩定角、雙角平分線與角度關(guān)系】 PAGEREF _Tc13526 \h 11
\l "_Tc335" 【考點(diǎn)11 線段、角的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc335 \h 13
\l "_Tc18200" 【考點(diǎn)12 角度的翻折問題】 PAGEREF _Tc18200 \h 14
\l "_Tc28816" 【考點(diǎn)13 兩塊三角板旋轉(zhuǎn)問題】 PAGEREF _Tc28816 \h 16
\l "_Tc20063" 【考點(diǎn)14 三條線旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系】 PAGEREF _Tc20063 \h 18
\l "_Tc1598" 【考點(diǎn)15 余角和補(bǔ)角的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc1598 \h 20
\l "_Tc2801" 【考點(diǎn)16 用尺規(guī)作角、線段】 PAGEREF _Tc2801 \h 22
【考點(diǎn)1 直線、射線、線段的條數(shù)】
【例1】(2022·遼寧錦州·七年級(jí)期末)如圖,C,D是線段AB上的點(diǎn),若AB=8,CD=2,則圖中以C為端點(diǎn)的所有線段的長(zhǎng)度之和為 ______.
【變式1-1】(2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級(jí)期末)閱讀并填空:
問題:在一條直線上有,,,四個(gè)點(diǎn),那么這條直線上總共有多少條線段?
要解決這個(gè)問題,我們可以這樣考慮,以為端點(diǎn)的線段有,,3條,同樣以為端點(diǎn),以為端點(diǎn),以為端點(diǎn)的線段也各有3條,這樣共有4個(gè)3,即4×3=12(條),但和是同一條線段,即每一條線段重復(fù)一次,所以一共有______條線段.那么,若在一條直線上有5個(gè)點(diǎn),則這條直線上共有______條線段;若在一條直線上有個(gè)點(diǎn),則這條直線上共有______條線段.
知識(shí)遷移:若在一個(gè)銳角內(nèi)部畫2條射線,,則這個(gè)圖形中總共有______個(gè)角;若在內(nèi)部畫條射線,則總共有______個(gè)角.
學(xué)以致用:一段鐵路上共有5個(gè)火車站,若一列火車往返過程中,必須??棵總€(gè)車站,則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備______種不同的車票.
【變式1-2】(2022·北京通州·七年級(jí)期末)如圖,棋盤上有黑、白兩色棋子若干,若直線l經(jīng)過3枚顏色相同的棋子,則這樣的直線共有_____條.
【變式1-3】(2022·黑龍江·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)七年級(jí)期末)平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線,不同三點(diǎn)最多可確定3條直線,若平面上不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定28條直線,則n的值是( )
A.6B.7C.8D.9
【考點(diǎn)2 雙中點(diǎn)線段問題】
【例2】(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)在一條直線上依次有、、、四點(diǎn).若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則有( )
A.B.C.D.
【變式2-1】(2022·山東東營(yíng)·期末)如圖,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段AB上的點(diǎn),點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn).
(1)若線段AB=a,CE=b且,求a,b的值;
(2)在(1)的條件下,求線段CD的長(zhǎng),
【變式2-2】(2022·山東濰坊·七年級(jí)期末)已知點(diǎn)在直線上,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn).
(1)如圖所示,若在線段上,厘米,厘米,求線段,的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,且滿足厘米,請(qǐng)根據(jù)題意畫圖,并求的長(zhǎng)度(結(jié)果用含的式子表示).
【變式2-3】(2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級(jí)期末)一條直線上有,,三點(diǎn),,,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn),則______.
【考點(diǎn)3 線段的等分點(diǎn)問題】
【例3】(2022·吉林白城·七年級(jí)期末)如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-10,點(diǎn)B表示的數(shù)為2.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),P、Q同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒,解答下列問題.
(1)數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為 ,點(diǎn)Q表示的數(shù)為 (用含t的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)和點(diǎn)Q表示的數(shù)互為相反數(shù)時(shí),求t的值;
(3)點(diǎn)P追上點(diǎn)Q時(shí),求t的值;
(4)若點(diǎn)B恰好是線段PQ的3等分點(diǎn)時(shí),t的值為 .
【變式3-1】(2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級(jí)期末)如圖,點(diǎn)C在線段AB上,點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)C是線段BD的四等分點(diǎn).若,則線段AB的長(zhǎng)為______.
【變式3-2】(2022·湖北武漢·七年級(jí)期末)如圖,已知線段AB,延長(zhǎng)線段BA至C,使CB=AB.
(1)請(qǐng)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整.直接寫出= _______;
(2)設(shè)AB = 9cm,點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),分別以3cm/s,1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng).
①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng),求的值;
②在點(diǎn)D,E沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)的過程中,M,N分別是線段DE、AB的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段BD的三等分點(diǎn)時(shí),求MN的長(zhǎng).
【變式3-3】(2022·遼寧錦州·七年級(jí)期末)小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問題產(chǎn)生了探究的興趣:
如圖1,點(diǎn)C在線段AB上,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn).若AB=12,AC=8,求MN的長(zhǎng).
(1)根據(jù)題意,小明求得MN=___________;
(2)小明在求解(1)的過程中,發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì),于是他先將題中的條件一般化,并開始深入探究.
設(shè)AB=a,C是線段AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),小明提出了如下三個(gè)問題,請(qǐng)你幫助小明解答.
①如圖1,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則MN=______________;
②如圖2,M,N分別是AC,BC的三等分點(diǎn),即,,求MN的長(zhǎng);
③若M,N分別是AC,BC的n等分點(diǎn),即,,則MN=___________;
【考點(diǎn)4 線段動(dòng)點(diǎn)的定值計(jì)算】
【例4】(2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級(jí)期末)點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b,且a、b滿足.
(1)如圖1,求線段AB的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程的根,在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使,若存在,求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù),若不存在,說明理由;
(3)如圖2,點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè),PA的中點(diǎn)為M,N為PB靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn),當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí),有兩個(gè)結(jié)論:①的值不變;②的值不變,其中只有一個(gè)結(jié)論正確,請(qǐng)判斷正確的結(jié)論,并直接寫出該值.
【變式4-1】(2022·湖北孝感·七年級(jí)期末)如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為9,點(diǎn)表示的數(shù)為-6,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,
(1)數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為__________(用含的式子表示)
(2)當(dāng)為何值時(shí),?
(3)若為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中,線段的長(zhǎng)度是否為定值?若是,請(qǐng)畫出圖形,并求出該定值,若不是,請(qǐng)說明理由.
【變式4-2】(衢州華茂外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)期末)【概念與發(fā)現(xiàn)】
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上,時(shí),我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”,記作.
例如,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí),即,則;
反之,當(dāng)時(shí),則有.
因此,我們可以這樣理解:“”與“”具有相同的含義.
【理解與應(yīng)用】
(1)如圖,點(diǎn)C在線段AB上.若,,則________;
若,則________AB.
【拓展與延伸】
(2)已知線段,點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).同時(shí),點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā),先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回.當(dāng)P,Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s).
①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí),的值是個(gè)定值,則m的值等于________;
②t為何值時(shí),.
【變式4-3】(2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))已知線段AB=m,CD=n,線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)(A在B的左側(cè),C在D的左側(cè)),且m,n滿足|m-12|+(n-4)2=0.
(1)m= ,n= ;
(2)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),線段CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng).
①如圖1,點(diǎn)C在線段AB上,若M是線段AC的中點(diǎn),N是線段BD的中點(diǎn),求線段MN的長(zhǎng);
②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn),線段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn),若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇.試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,F(xiàn)C-5DE是否為定值,若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)5 線段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問題】
【例5】(2022·浙江舟山·七年級(jí)期末)已知點(diǎn)C在線段AB上,AC=2BC,點(diǎn)D、E在直線AB上,點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè),
(1)若AB=18,DE=8,線段DE在線段AB上移動(dòng),
①如圖1,當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí),求AD的長(zhǎng);
②當(dāng)點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)時(shí),求AD的長(zhǎng);
(2)若AB=2DE,線段DE在直線上移動(dòng),且滿足關(guān)系式,則= .
【變式5-1】(2022·廣西河池·七年級(jí)期末)如圖,點(diǎn)位于數(shù)軸原點(diǎn),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng).
(1)若點(diǎn)表示的數(shù)為,點(diǎn)表示的數(shù)為7,當(dāng)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí),求線段的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn),分別表示,6,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
(3)若,是數(shù)軸上的一點(diǎn),且,求的值.
【變式5-2】(2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試)已知:如圖1,M是定長(zhǎng)線段AB上一定點(diǎn),C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示(C在線段AM上,D在線段BM上)
(1)若AB=11cm,當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了1s,求AC+MD的值.
(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí),總有MD=3AC,直接填空:AM= BM.
(3)在(2)的條件下,N是直線AB上一點(diǎn),且AN﹣BN=MN,求的值.
【變式5-3】(2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))已知:如圖1,點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn),AB=12cm,C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示(C在線段AM上,D在線段BM上)
(1)若AM=4cm,當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s,此時(shí)AC= ,DM= ;(直接填空)
(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s,求AC+MD的值.
(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí),總有MD=2AC,則AM= (填空)
(4)在(3)的條件下,N是直線AB上一點(diǎn),且AN﹣BN=MN,求的值.
【考點(diǎn)6 剪繩子(端點(diǎn)重合)問題】
【例6】(2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))把根繩子對(duì)折成一條線段,在線段取一點(diǎn),使,從處把繩子剪斷,若剪斷后的三段繩子中最長(zhǎng)的一段為,則繩子的原長(zhǎng)為( )
A.B.C.或D.或
【變式6-1】(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))將一段72cm長(zhǎng)的繩子,從一端開始每3cm作一記號(hào),每4cm也作一記號(hào),然后從有記號(hào)的地方剪斷,則這段繩子共被剪成的段數(shù)為( )
A.37B.36C.35D.34
【變式6-2】(2022·湖北武漢·七年級(jí)期末)如圖,將一股標(biāo)有0~60均勻刻度的繩子鋪平后折疊(繩子無彈性),使繩子自身的一部分重疊,然后在重疊部分某處剪斷,將繩于分為A,B,C三段若這三段的長(zhǎng)度的比為3:2:1,則折痕對(duì)應(yīng)的刻度是__________.
【變式6-3】(2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))如圖1,將一段長(zhǎng)為60厘米繩子AB拉直鋪平后折疊(繩子無彈性,折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)),使繩子與自身一部分重疊.

(1)若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊,點(diǎn)A、B分別落在處.
①如圖2,若恰好重合于點(diǎn)O處,MN= cm,
②如圖3,若點(diǎn)落在的左側(cè),且=20cm,求MN的長(zhǎng)度;
③若=ncm,求MN的長(zhǎng)度.(用含n的代數(shù)式表示)
(2)如圖4,若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后,點(diǎn)B落在處,在重合部分N上沿繩子垂直方向剪斷,將繩子分為三段,若這三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3:4:5,直接寫出AN所有可能的長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)7 動(dòng)點(diǎn)中線段和差問題】
【例7】(2022·全國(guó)·七年級(jí)階段練習(xí))已知多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式,且二次項(xiàng)系數(shù)為b,數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a,b.
(1)a=___________,b=___________,線段AB=___________;
(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C,使得,點(diǎn)M為的中點(diǎn),求的長(zhǎng);
(3)有一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā),以1個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā),以個(gè)單位每秒的速度在數(shù)軸上作同向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(),點(diǎn)D為線段的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段上且,在G,H的運(yùn)動(dòng)過程中,求的值.
【變式7-1】(2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))如圖,在直線AB上,線段,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng).M為AP的中點(diǎn),N為BP的中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng),當(dāng)時(shí), ;
(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并說明你的理由.
【變式7-2】(2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期末)在數(shù)軸上,點(diǎn)為原點(diǎn),點(diǎn)表示的數(shù)為9,動(dòng)點(diǎn),在數(shù)軸上移動(dòng)(點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)),總保持(大于0且小于4.5),設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為.
(1)如圖,當(dāng)動(dòng)點(diǎn),在線段上移動(dòng)時(shí),
①若,且為中點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)表示的數(shù)為__________,點(diǎn)表示的數(shù)為__________;
②若,求多項(xiàng)式的值;
(2)當(dāng)線段在射線上移動(dòng)時(shí),且,求(用含的式子表示).
【變式7-3】(2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))如圖,直線l上有A,B兩點(diǎn),AB=12cm,點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn),OA=2OB.
(1)則OA= cm,OB= cm;
(2)若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合),且滿足AC=CO+CB,求CO的長(zhǎng);
(3)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的速度為2cm/s.點(diǎn)Q的速度為1cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(其中t≥0).
①若把直線l看作以O(shè)為原點(diǎn),向右為正方向的一條數(shù)軸,則t(s)后,P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為 ;此時(shí),Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為 .(用含t的代數(shù)式表示)
②求當(dāng)t為何值時(shí),2OP﹣OQ=4(cm).
【考點(diǎn)8 線段的長(zhǎng)短比較】
【例8】(2022·陜西·延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末)如圖,已知在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,作一條線段EF,使EF的長(zhǎng)等于a+b,并比較線段EF與線段AB的長(zhǎng)短.(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
【變式8-1】(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))為比較兩條線段AB與CD的大小,小明將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合使兩條線段在一條直線上,點(diǎn)B在CD的延長(zhǎng)線上,則( )
A.AB<CDB.AB>CDC.AB=CDD.以上都有可能
【變式8-2】(2022·浙江·衢州華茂外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)期末)如圖,已知AC=BD,則AB與CD之間的大小關(guān)系是( )
A.AB>CD.B.AB=CD.C.AB

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初中數(shù)學(xué)滬科版(2024)七年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

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