浙教版數(shù)學(xué)八上期末培優(yōu)訓(xùn)練專題2.4特殊的三角形大題專練（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2022·浙江·余姚市梨洲中學(xué)八年級期中）已知：如圖，在中，于點F，于點G，D是的中點，于點E．求證：．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得．
【詳解】證明：如圖，連接，．
，D是的中點，
是斜邊上的中線，
．
同理，，D是的中點，
是斜邊上的中線，
．
．
又，
．
【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．
2．（2022·浙江·杭州市第十五中學(xué)八年級期中）如圖，，分別是的中線和角平分線，．
(1)若的面積是20，且，求的長．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，三角形的面積公式即可求解；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出，．再利用角平分線定義即可得出．
【詳解】（1）解：是的中線，．
，
的面積是20，且，
，
，
；
（2）是的中線，，，
，．
是的角平分線，
．
【點睛】本題考查了等腰三角形的兩個底角相等的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義，求出是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江·杭州市第十五中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰中，，，是的高，是的角平分線，與交于點．當(dāng)?shù)拇笮∽兓瘯r，的形狀也隨之改變．．
(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；
(2)設(shè)，，求變量與的關(guān)系式；
(3)當(dāng)是等腰三角形時，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)等邊對等角求出等腰的底角度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到的度數(shù)，再根據(jù)高的定義得到，從而可得；
（2）按照（1）中計算過程，即可得到與的關(guān)系，即可得到結(jié)果；
（3）分①若，②若，③若，三種情況，利用，以及；解出即可得的度數(shù)．
【詳解】（1）解：，，
，
，
，
平分，
，
；
（2），，，
，
由（1）可得：，，
，
即與的關(guān)系式為；
（3）設(shè)，，
①若，
則，
而，，
則有：，
由（2）知，
，
解得：，
；
②若，
則，
由①得：，
，
，
，
解得：，
；
③若，
則，，
由①得：，
，
，
，
解得：，不符合題意，
綜上：當(dāng) 是等腰三角形時，的度數(shù)為或．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)，高與角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵關(guān)鍵是找到角之間的等量關(guān)系，利用方程思想以及分類討論的思想解決問題．
4．（2022·浙江·余姚市梨洲中學(xué)八年級期中）如圖，在44 的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1．在圖①，圖②中已畫出線段，在圖③中已畫出點A．按下列要求畫圖：
(1)在圖①中，以格點為頂點，為一邊畫一個等腰三角形；
(2)在圖②中，以格點為頂點，為一邊畫一個直角三角形；
(3)在圖③中，以點A為一個頂點，另外三個頂點也在格點上，畫一個面積最大的正方形，這個正方形的面積= ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析，10
【分析】（1）根據(jù)勾股定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)．以B為圓心，長為半徑畫圓，可以畫出3個；以A為圓心，長為半徑畫圓，可以畫出2個；
（2）根據(jù)勾股定理逆定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作直角三角形；
（3）根據(jù)勾股定理逆定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出最長的線段作為正方形的邊長即可．
【詳解】（1）如圖所示，即為所要求作的三角形，
（2）如圖所示，即為所要求作的三角形，
（3）如圖③，邊長為的正方形的面積最大．
．
此時正方形的面積為，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖．熟記勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵所在．
5．（2022·浙江·杭州市采荷中學(xué)八年級期中）如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“奇妙三角形”．
(1)如圖，在中，，，求證：是“奇妙三角形”；
(2)在中，，，若是“奇妙三角形”，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)的長是6或8
【分析】（1）過點作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)“奇妙三角形”的定義證明；
（2）分邊上的中線等于，邊上的中線等于兩種情況，根據(jù)勾股定理計算．
【詳解】（1）證明：過點作于，
，，
，
由勾股定理得，，
，
即是“奇妙三角形”；
（2）解：如圖2：當(dāng)邊上的中線等于時，，
當(dāng)邊上的中線等于時，
，即，
解得．
綜上所述，的長是6或8．
【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．
6．（2022·浙江·杭州市采荷中學(xué)八年級期中）如圖，中，是邊上的高線，是一條角平分線，它們相交于點．
(1)已知，求的度數(shù)；
(2)在（1）的條件下，已知，，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，由題意可得，，再由，即可求解；
（2）利用特殊的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)
由題意可得：，，
∴，，
由三角形外角的性質(zhì)可得，
即，解得，
即；
（2）由（1）得，則，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得：，
，
即．
【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)．
7．（2022·浙江省余姚市實驗學(xué)校八年級期中）如圖，在中，，，點D是線段上任意一點，連接，作，交線段于點E．
(1)若，求和的度數(shù)；
(2)若，求證：．
【答案】(1)，；
(2)見解析．
【分析】（1）直接利用三角形內(nèi)角和定理可求出；然后根據(jù)平角的定義和等腰三角形的性質(zhì)求出和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）求出，利用即可證明．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴．
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，涉及到的知識點較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2022·浙江·杭州第十四中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）如圖1，中，作的角平分線相交于點O，過點O作分別交于E、F．
(1)①求證：；
②若的周長是25，，試求出的周長．
(2)如圖2，若的平分線與外角的平分線相交于點P，連接，試探求與的數(shù)量關(guān)系式．
【答案】(1)①見解析；②16
(2)
【分析】（1）①由平分，可得，再由，可得，從而得到，即可得到結(jié)論；②證得，再根據(jù)三角形的周長公式即可得到結(jié)論；
（2）延長，作，垂足分別為N，F(xiàn)，M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)先證的，得出，即可得出答案．
【詳解】（1）解：①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵的周長是25，，
∴的周長；
（2）延長，作，垂足分別為N，F(xiàn)，M，如圖所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．
9．（2022·浙江·杭州綠城育華學(xué)校八年級期中）如圖，是等邊三角形，P，Q分別是邊上的點，且，交于點O．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)；
(3)當(dāng)時，求的長．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，由即可證明；
（2）由，得到，利用外角，即可求出；
（3）作，則，根據(jù)勾股定理求出發(fā)的長度，即可得答案．
【詳解】（1）解：是等邊三角形，
，
在和中，
，
；
（2），
，
；
（3）如下圖，作，則，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明．
10．（2022·浙江·杭州市杭州中學(xué)八年級期中）如圖，在中，、分別是邊、上的高線．
(1)如果，那么是等腰三角形，請說明理由；
(2)取F為中點，連接點D，E，F(xiàn)得到，G是中點，求證：；
(3)在（2）的條件下，如果，求的長度．
【答案】(1)理由見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）證明，即可得證；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到即可得證；
（3）證明為等邊三角形，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等邊三角形的性質(zhì)，利用勾股定理即可得解．
【詳解】（1）證明：在中，、分別是邊、上的高線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
∴是等腰三角形．
（2）在中，、分別是邊、上的高線，
∴，
∵是的中點，
∴，
∴為等腰三角形，
∵G是中點，
∴；
（3）解：∵
∴，
∵，
∴，
∴
’
∴，
∴是等邊三角形；
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，的直角三角形以及利用勾股定理解三角形．本題綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊上的一半，以及利用證明三角形全等．
11．（2022·浙江·杭州外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于，．
(1)求證：．
(2)已知，求點到線段的距離．
【答案】(1)見解析
(2)點到線段的距離為3．
【分析】（1）連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）作于F，根據(jù)題意求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出即可得到答案．
【詳解】（1）證明：連接，
在中，點E是的中點，
∴，
∵，
∴，又，
∴；
（2）解：作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點到線段的距離為3．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·浙江·杭州綠城育華學(xué)校八年級期中）如圖，已知．
(1)用直尺和圓規(guī)，作出線段的垂直平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)如果線段的垂直平分線交于點D，連結(jié)，已知，求的度數(shù)．
【答案】(1)圖見解析
(2)
【分析】（1）分別以為圓心，大于的長為半徑，畫弧，兩弧分別交于，連接，直線即為所求；
（2）根據(jù)中垂線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余進(jìn)行計算即可．
【詳解】（1）如圖，直線即為所求；
（2）解：∵垂直平分線段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查中垂線的作圖以及中垂線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余．熟練掌握中垂線的作圖方法和中垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·浙江·杭州綠城育華學(xué)校八年級期中）如圖，在中，
(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；
(2)當(dāng)?shù)亩葦?shù)變化時，的度數(shù)是否變化？如不變，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)當(dāng)?shù)亩葦?shù)變化時，的度數(shù)不變，
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），
，
當(dāng)?shù)亩葦?shù)變化時，的度數(shù)不變化，．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是求得的度數(shù)．
14．（2022·浙江·杭州綠城育華學(xué)校八年級期中）已知為直角三角形，，作，平分，點M、N分別為、的中點，且．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)請你連接，并求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，和對頂角相等即可得，進(jìn)而可得；
（2）如圖，連接，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，再根據(jù)是直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進(jìn)而可得，即可得；
（3）延長交于點，連接，根據(jù)勾股定理先求出的長，再根據(jù)三角形面積可得的長．根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)勾股定理即可求出的長．
【詳解】（1）證明∶∵，
∵
∴，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，連接，
由（1）可知是等腰三角形，
∵N為的中點，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵是的中點，
∴ ．
∵
∴，
∴．
∵平分
∴，
∴，
∴；
（3）如圖，延長交于點，連接，
∵，是的中點，
∴是的中點，
∴，
在中，；
∵，，
∴，
∵，
即：，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴．
【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理解三角形．熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．同時考查了角平分線和平行線的判定．本題綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的思維要求較高．
15．（2022·浙江·杭州綠城育華學(xué)校八年級期中）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于G，，連接．
(1)求證：；
(2)已知，求的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)19.5
【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到：，進(jìn)而得到，證明，即可得證；
（2）根據(jù)，求出，利用勾股定理求出，再利用面積公式求出，利用中線平分面積，即可得解．
【詳解】（1）證明：∵是邊上的高線，是邊上的中線，
∴，為的中點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵是邊上的中線，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握全等三角形的判定方法，三角形中線平分面積是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖1，是等邊三角形，為上兩點，且，延長至點F，使，連結(jié)．
(1)如圖2，當(dāng)兩點重合時，求證：．
(2)如圖3，延長交線段于點G．
①求證：．
②求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，利用，求出，，再求出，即可得到結(jié)論；
（2）①如圖，作交于H，連接，得到是等邊三角形，推出，再證明，推出；
②根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）①如圖，作交于H，連接，
∵ ，
∴，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴
∴，
∴．
【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
17．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學(xué)八年級期中）如圖，已知中，，，，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿方向運動，且速度為每秒，點Q從點B開始沿方向運動，且速度為每秒，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．
(1)出發(fā)2秒后，求的長；
(2)當(dāng)點Q在邊上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，能形成等腰三角形？
(3)當(dāng)點Q在邊上運動時，求能使成為等腰三角形的運動時間．
【答案】(1)
(2)出發(fā)秒后，能形成等腰三角形；
(3)當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時，為等腰三角形．
【分析】（1）先求出和的長，則可求得的長，然后利用勾股定理計算即可；
（2）用t分別表示出和，根據(jù)為等腰三角形可得到，則可得關(guān)于t的方程，解方程即可；
（3）用t分別表示出和，利用等腰三角形的性質(zhì)可分、和三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，則，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由題意可知，，
∵，
∴，
當(dāng)為等腰三角形時，則有，
即，
解得，
即出發(fā)秒后，能形成等腰三角形；
（3）解：①當(dāng)時，如圖1所示，
則，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴秒；
②當(dāng)時，如圖2所示，
則，
∴秒；
③當(dāng)時，如圖3所示，
過B點作于點E，
則，
∴，
∴，
∴，
∴秒，
綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時，為等腰三角形．
【點睛】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．
18．（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖1，在中，過點作，且，連接．
(問題原型)(1)若，且，過點作的的邊上的高，易證，從而得到的面積為______．
(變式探究)(2)如圖2，若，，用含的代數(shù)式表示的面積，并說明理由．
(拓展應(yīng)用)(3)如圖3，若，，則的面積為______．
【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)．
【分析】(1)如圖1中，由定理可證，就有．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；
(2)如圖2中，過點作的垂線，與的延長線交于點，由定理可證得，就有．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論．
(3)如圖3中，過點作與，過點作交延長線于點，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出，由條件可以得出就可以得出，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．
【詳解】解：(1)∵在中，，
過點作且過點作的的邊上的高，
∴
∴
∵
∴．
在與中，
∴，
∴
故答案為：
(2)理由：過點作延長線于點
∴
∵，
∵
∴．
在與中，
∴，
∴
(3)如圖3中，∵
∴．
過點作與，過點作的延長線于點，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴
∴的面積為16．
故答案為：16
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．
19．（2022·浙江·翠苑中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，點為邊的中點，點在線段上，于點，連接，．已知，．
(1)求證：．
(2)若，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)外角的性質(zhì)可得，，根據(jù)等角對等邊即可得證；
（2）根據(jù)先求出的長，再利用勾股定理求出的長．
【詳解】（1）證明：，點為邊的中點，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，含的直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．
20．（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，為斜邊上一動點（不與端點A，B重合），以C為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接為中點．
(1)求證：；
(2)用等式表示線段三者之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
【分析】（1）證明，推出，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：．延長交的延長線于點T．證明，，在中，利用勾股定理，可得結(jié)論．
【詳解】（1）如圖，
∵以C為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）結(jié)論：
理由：延長交的延長線于點T．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
21．（2022·浙江·蕭山區(qū)高橋初級中學(xué)八年級期中）如圖，在中，AB=AC=5，BC=6，動點P從點C出發(fā)，按C-A-B-C的路徑運動（回到C點停止），且速度為每秒3個單位，設(shè)出發(fā)時間為t秒．
(1)求BC邊上的高線AE的長與AC邊上的高線BD的長；
(2)當(dāng)時, 求t的值；
(3)若是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的t的值．
【答案】(1)4，
(2)
(3)2.6或或或．
【分析】（1）如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后再運用勾股定理可求得，然后再根據(jù)即可求得；
（2）如圖：過C作于F，先求得，進(jìn)而求得，最后根據(jù)速度、路程和時間的關(guān)系即可解答；
（2）分①CA=CP.②CA=AP，③AP =PC三種情形，分由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求解即可．
【詳解】（1）解：∵AB=AC=5，BC=6，BC邊上的高線AE
∴
在中，
∵
∴,解得：．
（2）解：如圖：過C作于F
同（1）的方法可得
在中，
∴當(dāng)時，點P走過的路程為
∴．
（3）解：①當(dāng)時且在AB上，如圖：過點C作于點E，
∵
∴，
∵ ，
∴由（2）可得，
由勾股定理可得：
∴
∴；
當(dāng)時且在BC上，則有
∴；
②如圖，當(dāng)時，即點P與點B重合，
∴
∴；
③如圖，當(dāng)時，點P在上，過點A作于H
∵，
∴
∴ ，
由（1）可知：，
∵點P在BC上
∴，，
∴，解得．
綜上所述，滿足條件的的值為2.6或或或．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識，掌握運用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．
22．（2022·浙江·蕭山區(qū)高橋初級中學(xué)八年級期中）已知在中, ，點為邊上的動點．
(1)如圖1所示，平分，E、F分別為線段，上的動點．
①當(dāng)時，求的最小值；
②點在運動過程中，求的最小值；
(2)如圖2所示，P，Q分別為邊BC，AB上的點，，M為邊上的動點，M，E在運動過程中，請直接寫出的最小值．
【答案】(1)①６；②；
(2)．
【分析】（1）①作點E關(guān)于直線的對稱點，如圖，由“兩點之間，線段最短”可知，當(dāng)共線時，最小，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得解；
②作點E關(guān)于直線的對稱點，如圖，由“點到直線的距離，垂線段最短”可知，當(dāng)與共線時，的值最小，從而的值最小，然后由等面積法求得答案；
（2）如圖2所示，當(dāng)點M、E分別為與的交點時，的值最小，然后根據(jù)勾股定理求得答案．
【詳解】（1）解：在中, ，
，
① 平分，
所在直線是的對稱軸，
，作點E關(guān)于直線的對稱點，如圖，
點在上，且，，
，
，
由“兩點之間，線段最短”可知
當(dāng)共線時，最小，且最小值為的長，
，
，
的最小值為6；
②點在運動過程中，作點E關(guān)于直線的對稱點，如圖，
點在上，且，，
由“點到直線的距離，垂線段最短”可知，
當(dāng)與共線且時，的值最小，從而的值最小，
此時，
，
的最小值為；
（2）解：作點P關(guān)于直線的對稱點，點Q關(guān)于直線的對稱點，如圖２所示，
則，
連接，由“兩點之間線段最短”可知：
當(dāng)點M、E分別為與的交點時，的值最小，
從而的值最小，最小值為線段的長，
此時，連接，由對稱性可知，
，，
，
故在中，
的最小值為．
【點睛】此題考查了軸對稱的性質(zhì)、“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是把求直線同一側(cè)的兩點到直線上一點的距離之和的最小值，通過軸對稱轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的兩點，再利用“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”求出最小值．
23．（2022·浙江·蕭山區(qū)高橋初級中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，點分別在邊上，且，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)當(dāng)時, 求的度數(shù)；
(3)若，判斷是何種三角形．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)；
(3)等邊三角形，理由見詳解．
【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明，即得即可；
（2）由與三角形的外角性質(zhì)可得，從而可以求解；
（3）由（2）知，再根據(jù)已知可以判定是等邊三角形，從而可以判斷的形狀．
【詳解】（1）解：，
，
在和中，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
即，
，
，
；
；
（3）解：是等邊三角形，理由如下：
由（2）知，
又，
，
，
，
又，
是等邊三角形．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形與等邊三角形的判定等知識，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
24．（2022·浙江·樂清市虹橋鎮(zhèn)第一中學(xué)八年級期中）如圖，在中，．于點D，．E為邊上一點（不與A，C重合），連結(jié)，作，垂足為F，交于點G，連結(jié)．分別記，，為．
(1)的長為．
(2)當(dāng)時，求的周長．
(3)當(dāng)時，的長為．（直接給出答案）．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得到，再根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）先根據(jù)等角的余角相等和角平分線的定義得到，再根據(jù)得到，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到，再由角平分線的性質(zhì)得到，然后由勾股定理得到，進(jìn)而求出，然后根據(jù)三角形的周長公式及等量代換解答即可；
（3）先根據(jù)等腰三角形三線合一得到，再根據(jù)等量代換得到，然后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：∵．于點D，，
∴，，
∴；
故答案為：；
（2）解：設(shè)與相交于點O，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在與中，
，
∴ ，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周長
．
（3）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形三線合一，勾股定理，角平分線的定義和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)解答．
25．（2022·浙江·樂清市虹橋鎮(zhèn)第一中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，cm，cm，點P是從A點出發(fā)的動點，在三角形邊上沿著運動，速度為每秒2cm，設(shè)點P的運動時間為t秒．
(1)當(dāng)秒時，CP的長為．
(2)是否存在t的值，使得時間為t秒時的面積與時間為秒時的面積相等? 若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)10cm
(2)存在，
【分析】（1）利用勾股定理計算出cm，然后計算出當(dāng)秒時，點P運動的路程，即可計算出此時CP的長；
（2）設(shè)斜邊BC上的高為h，根據(jù)面積公式可知當(dāng)時，可有，然后計算出時間為t秒時BP的長與時間為秒時CP的長即可獲得答案．
【詳解】（1）解：∵cm，cm，
∴cm，
∴當(dāng)秒時，點P運動的路程為cm，
∴，
∴cm．
故答案為：10cm；
（2）存在，理由如下：
設(shè)斜邊BC上的高為h，
根據(jù)面積公式，當(dāng)時，
可有，即有，
當(dāng)時間為t秒時，cm，
當(dāng)時間為秒時，，
由題意，可得，
解得，
故當(dāng)秒時，的面積與時間為秒時的面積相等．
【點睛】本題主要考查了動點問題、勾股定理以及三角形面積公式等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．
26．（2022·浙江·金華市南苑中學(xué)八年級階段練習(xí)）（1）如圖1，線段的一個端點O在直線l上，且與直線l所成的銳角為50°，以為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫個．
（2）如圖1，如果與直線l所成的銳角為60°，以為一邊畫等腰三角形，并使另一個頂點P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫個．
想一想：如圖2，中，，過頂點C作一條直線，分割出一個等腰三角形這樣的直線最多可以畫條．
算一算：如圖3，在中，，若存在過點C的一條直線，能把該三角形分成兩個等腰三角形，試求∠B的度數(shù)．
【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義，兩條邊相等的三角形是等腰三角形即可得到結(jié)論；
（2）同（1）原理，理論上可以畫4個，但是重合，由此即可得到答案；
想一想：分五種情況：①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，④當(dāng)，⑤時，于是得到結(jié)論；
算一算：如圖3，當(dāng)，分三種情況：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時；如圖4，當(dāng)時；如圖5，當(dāng)時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖1，①，②；③，④，這樣的等腰三角形能畫4個．
故答案為：4；
（2）同（1）可知滿足題意的點有4個，
∵與直線l所成的銳角為60°，
∴都是等邊三角形，
∴三點重合，
∴滿足題意的點只有2個，
故答案為：2；
想一想：①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，④當(dāng)，⑤時，過頂點C作一條直線，能分割出一個等腰三角形，
∴過頂點C作一條直線，分割出一個等腰三角形這樣的直線最多可以畫5條，
故答案為：5；
算一算：如圖3，當(dāng)時，
∴，
∴，
∴①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，；
如圖4，①當(dāng)，時，
∵，
∴，
∴，
如圖5所示，當(dāng)時，
∴，
∴
綜上所述，存在過點C的一條直線，能把該三角形分成兩個等腰三角形，∠B的度數(shù)為5°或20°或80°或140°或42.5°．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)八年級階段練習(xí)）如圖，點C是線段上任意一點（點C與點A，B不重合），分別以，為邊在直線的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點M，與相交于點N．連接．證明：
(1)；
(2)
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，利用即可證明；
（2）證明即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：在等邊三角形和等邊三角形中，
，
∴，即
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴
∴
∴．
【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
28．（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)八年級階段練習(xí)）在中，，點D是直線上一點（不與B、C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．
(1)如圖1，當(dāng)點D在線段上，如果，則____________度；
(2)設(shè)，．
①找出圖2中的一對全等三角形：______________，并寫出其全等的依據(jù)：____________________；
②如圖2，當(dāng)點D在線段上移動，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明理由．
③當(dāng)點D在直線上移動時，請直接寫出，之間的數(shù)量關(guān)系
【答案】(1)；
(2)①，；
②；
③或．
【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；
（2）①由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
②由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
③分三種情況：點在線段的延長線上，在線段上，在線段的延長線上時，證明，再轉(zhuǎn)化角度即可完成證明．
【詳解】（1）解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案為：90；
（2）①，
理由如下：
，，，
，
，
在和中，
，
，
故答案為：，；
②，理由如下：
，，，
．
即．
在與中，
，
，
．
．
，
，
，
，
故答案為：．
③（Ⅰ）當(dāng)點在線段的延長線上時，．理由如下：
如圖，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
，
，
，
．
（Ⅱ）當(dāng)點在線段上時，
②已證明：；
(Ⅲ)當(dāng)點在線段的延長線上移動時，．理由如下：
如圖，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
綜上可知：或．
故答案為：或．
【點睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
29．（2021·浙江杭州·八年級期中）已知，如圖，，E為垂足，，的中線延長線交于點G．
(1)求證：；
(2)，H為上中點，連接．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，說明是等腰三角形，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，對頂角相等進(jìn)行等量代換，即可證明．
（2）先證明（AAS），說明，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)即可證明．
【詳解】（1）

為的中線

，

（2），

在和中

（AAS）

F為中點，H為中點
，

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，利用全等三角形的判定和性質(zhì)找出相等的量和互余的量是解題的關(guān)鍵．
30．（2022·浙江·樂清市荊山公學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，△中，，點D為的中點，且．點P在線段上以a cm/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上以b cm/秒的速度由C點向A點運動，連結(jié)．
(1)求證：；
(2)在點P、Q運動過程中，當(dāng)≌時，求的值；
(3)設(shè)的面積為，的面積為，在點P、Q運動過程中，當(dāng)點C、D關(guān)于直線對稱時，求的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)1．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè) cm， cm，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)點C、D關(guān)于直線對稱，得到垂直平分，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵點D為的中點，，
∴，
∴；
（2）解：設(shè) cm， cm，，，
∵，點D為的中點，
∴，，
∵≌，
∴，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵點C、D關(guān)于直線對稱，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴．
【點睛】本題考查了幾何變換綜合題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵

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