1．（1）如圖1，與是的兩個外角，那么，，之間有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．
（2）如圖2，若，分別平分的外角和，那么與之間有怎樣的等量關(guān)系？請說明理由．
（3）如圖3，若，分別平分四邊形的外角和，那么與，之間有怎樣的等量關(guān)系？請說明理由．
2．如圖甲，射線與長方形的邊交于點，與邊交于點，①②③④分別是被射線隔開的4個區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域②③位于直線上方），是位于以上四個區(qū)域上的點．
（1）如圖乙，當在區(qū)域①，猜想圖中的關(guān)系并證明你的結(jié)論．
（2）猜想當分別在區(qū)域②③④，的關(guān)系，請直接寫出答案，不要求證明．
3．如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．

（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，求的度數(shù)．
4．【概念認識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．
【問題解決】
（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點D，求∠BDC的度數(shù)；
（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，且∠BPC＝140°，求∠A的度數(shù)；
【延伸推廣】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°（），∠B＝54°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）
5．如圖（1）是一個三角形的紙片，點D、E分別是邊上的兩點，
研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關(guān)系，并說明理由．
研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．
研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．
6．如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．
7．中，．
（1）如圖①，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；
（2）如圖②，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；
（3）如圖③，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；
（4）若.請直接寫出圖①，②，③中的度數(shù)，(用含的代數(shù)式表示)
8．已知如圖①，BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∠BAC＝α．
（1）當α＝40°時，∠BPC＝ °，∠BQC＝ °；
（2）當α＝ °時，BM∥CN；
（3）如圖②，當α＝120°時，BM、CN所在直線交于點O，求∠BOC的度數(shù)；
（4）在α＞60°的條件下，直接寫出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系： ．
9．如圖①，在中，，點在邊上，點在邊上，且，連結(jié).
（1）若，，則______，此時______；
（2）若點在邊上（點、除外）運動，試探究與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）若點在線段的延長線上（如圖②），點在直線上，，其余條件不變，求的度數(shù).
10．如圖，△ABC中，∠A=40°，
(1)若點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點，求∠P的度數(shù)；
(2)若點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，求∠P的度數(shù)；
(3)若點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，求∠P的度數(shù)；
(4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度數(shù)(用含β的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果)
11．探究與發(fā)現(xiàn)：在△ABC中，∠B＝∠C，點D在BC邊上(點B、C除外)，點E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE.
(1)如圖①，若∠B＝∠C＝45o，
①當∠BAD＝60o時，求∠CDE的度數(shù)；
②試猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
(2)深入探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45o，其他條件不變，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系.
12．如圖，
（1）如圖①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且相交于點D，若∠A =70°，試求∠BDC的度數(shù)，并說明理由．
（2）如圖②，BD、CD分別是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分線且相交于點D，若∠A =x°，試用x表示∠BDC的度數(shù)，并說明理由．
（3）如圖③，BD、CD分別是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分線且相交于點D，試找出∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
13．已知，，分別在直線上，是平面內(nèi)一點，和的平分線所在直線相交于點.
（1）如圖1，當都在直線之間，且時，的度數(shù)為_________；
（2）如圖2，當都在直線上方時，探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，當在直線兩側(cè)時，直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系是_____.
14．如圖（1），AD，BC交于O點，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出問題】
分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？
【解決問題】
為了解決上面的問題，我們先從幾個特殊情況開始探究．
已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點E．
（1）如圖（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，則∠E＝ ．
（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，則∠E的度數(shù)是多少呢？
小明是這樣思考的，請你幫他完成推理過程：
易證∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ ，
∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 度．
（3）在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上，借助圖（2），直接寫出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是： ．
【類比應(yīng)用】
如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E．
已知：∠D＝m°、∠B＝n°，（m＜n）求：∠E的度數(shù)．
15．（1）如圖，請證明∠A+∠B+∠C＝180°
（2）如圖的圖形我們把它稱為“8字形”，請證明∠A+∠B＝∠C+∠D
（3）如圖，E在DC的延長線上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D之間的關(guān)系，并證明
（4）如圖，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，過點P作PM、PE交CD于M，交AB于E，則①∠1+∠2+∠3+∠4不變；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不變，選擇正確的并給予證明．
16．如圖，D、E、F、G是△ABC邊上的點，，．
(1)求證：//；
(2)若BE平分，，，求的度數(shù)．
17．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線，已知∠BAC＝100°．
(1)若∠DAE＝20°，求∠C的度數(shù)；
(2)設(shè)∠DAE＝（），用含有的代數(shù)式表示∠C的大小．
18．如圖，在中，是邊上的高線，平分，且，相交于點，若，，求的度數(shù)．
19．如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的高，AD是角平分線，∠B＝42°，∠C＝68°．
①求∠DAE的度數(shù)；
②若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），用含α，β的代數(shù)式表示∠DAE．（直接寫出結(jié)論）
20．已知，在直角三角形中，，是上一點，且．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，將沿所在直線翻折，點落在邊上，記為點．
①若，求的度數(shù)；
②試求與的關(guān)系，并說明理由．
21．如圖，在中點是邊上的一點, ,將沿折疊得到與相交于點.
(1)求的度數(shù);
(2)求的度數(shù).
22．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張紙片，點D，E分別在邊AB，AC上，將沿著DE折疊壓平，A與A'重合．
（1）若，則___________；
（2）若，則___________；
（3）由（1）（2）探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
23．已知△ABC．
（1）如圖（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于點 D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 與∠B，∠C 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．
（2）如圖（2），AE 平分∠BAC，F(xiàn) 為 AE 上一點，F(xiàn)M⊥BC 于點 M，∠EFM 與∠B，∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
24．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；
（2）如果點F在線段AE上（不與點A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（3）如果點F在△ABC外部，如圖3，此時∠EFD與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？請說明理由．
25．我?？鞓纷甙鄶?shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設(shè)∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上．
活動一：如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒．
數(shù)學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答： ．（填“能“或“不能”）
（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1．則θ= 度；
活動二：如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1．
數(shù)學思考：
（3）若只能擺放5根小棒，求θ的范圍．
26．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系：_______________﹔
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)___________個；
（3）如果圖2中，若，試求的度數(shù)
（4）如果圖2中，和為任意角，其他條件不變，試問與之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）
27．如圖，在中：
（1）畫出邊上的高和中線．
（2）若，，求和的度數(shù)．
28．（2017公益周考卷）已知：線段AB，CD相交于點O，連接AD，CB，和的平分線AP和CP相交于點P，與CD，AB相交于M，N，如圖2：
（1）在圖1中，直接寫出，，，之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）圖中有幾個八字模型？
（3）在圖2中，與為任意角，試探究與，之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系，若存在，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并證明；若不存在，請說明理由
29．如圖1，已知是的一個外角，我們?nèi)菀鬃C明，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
(1)嘗試探究：
如圖2，與分別為的兩個外角，則 （橫線上填>，

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