【知識(shí)梳理】
1．三角形的主要線段：
（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．
（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．
（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．
（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．
（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．
2.三角形的三邊關(guān)系：
（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．
（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
（3）三角形的兩邊差小于第三邊．
（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．
3．三角形內(nèi)角和定理：
（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．
（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
（3）三角形內(nèi)角和定理的證明
證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．
（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用
主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．
4.三角形外角的性質(zhì)：
（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．
（2）三角形的外角性質(zhì)：
①三角形的外角和為360°．
②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．
（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．
（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．
【典例剖析】
【考點(diǎn)1】三角形的概念與分類(lèi)
【例1】2022·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，以AB為邊的三角形的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的概念、結(jié)合圖形寫(xiě)出以AB為邊的三角形．
【詳解】解：以AB為邊的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的認(rèn)識(shí)，不重不漏的寫(xiě)出所有的三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式1.1】（2019·浙江·八年級(jí)期末）圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個(gè)三角形是( )
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都有可能
【答案】D
【詳解】從圖中，只能看到一個(gè)角是銳角，其它的兩個(gè)角中，可以都是銳角或有一個(gè)鈍角或有一個(gè)直角，
故選D．
【變式1.2】（2019·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)富春中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）圖中鈍角三角形有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)鈍角三角形的定義即可解決問(wèn)題，三角形按角的大小可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形就是鈍角三角形
【詳解】△ABD、△ACF與△ABF是鈍角三角形
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是知道大于90°小于180°的角為鈍角，有一個(gè)角是鈍角的三角形就是鈍角三角形
【變式1.3多選題】（2021·浙江紹興·八年級(jí)階段練習(xí)）將一個(gè)三角形紙片剪開(kāi)分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形可能是（ ）
A．都是直角三角形B．都是鈍角三角形
C．都是銳角三角形D．是一個(gè)直角三角形和一個(gè)鈍角三角形
【答案】ABD
【分析】分三種情況討論，即可得到這兩個(gè)三角形不可能都是銳角三角形．
【詳解】解：如圖，沿三角形一邊上的高剪開(kāi)即可得到兩個(gè)直角三角形．
如圖，鈍角三角形沿虛線剪開(kāi)即可得到兩個(gè)鈍角三角形．
如圖，直角三角形沿虛線剪開(kāi)即可得到一個(gè)直角三角形和一個(gè)鈍角三角形．
因?yàn)榧糸_(kāi)的邊上的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，不可能都是銳角，故這兩個(gè)三角形不可能都是銳角三角形．
綜上所述，將一個(gè)三角形剪成兩三角形，這兩個(gè)三角形不可能都是銳角三角形．
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的分類(lèi)，理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．
【考點(diǎn)2】三角形的穩(wěn)定性
【例2】（2021·浙江紹興·八年級(jí)期中）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（ ）
A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．垂線段最短
C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等D．三角形具有穩(wěn)定性
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．
【詳解】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，熟知三角形具有穩(wěn)定性是解答的關(guān)鍵．
【變式2.1】（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）如圖，一扇窗戶(hù)打開(kāi)后，用窗鉤可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是（ ）
A．三角形的穩(wěn)定性B．兩點(diǎn)之間線段最短
C．兩點(diǎn)確定一條直線D．垂線段最短
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可固定窗戶(hù)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，屬于基礎(chǔ)題型．
【變式2.2】（2020·浙江·臨海市杜橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．C．D．
【變式2.3】（2020·浙江·高照實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有（ ）
①自行車(chē)的三角形車(chē)架：②校門(mén)口的自動(dòng)伸縮柵欄門(mén)：③照相機(jī)的三腳架：④長(zhǎng)方形門(mén)框的斜拉條
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可解題．
【詳解】三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，
四個(gè)選項(xiàng)中只有選項(xiàng)D符合題意，選項(xiàng)A、B、C均不符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度容易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3】三角形的三邊關(guān)系
【例3】（2022·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）1.小明有兩根長(zhǎng)度為5cm，10cm的木棒，他想釘一個(gè)三角形木框，桌上有幾根木棒供他選擇，他有幾種選擇？（ ）
A．1種B．2種C．3種D．4種
【答案】B
【分析】利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)度為xcm，
∵小明有兩根長(zhǎng)度為5cm和10cm的木棒，
∴10﹣5＜x＜10+5，
即：5＜x＜15，
10cm和12cm適合，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊．
【變式3.1】（2022··八年級(jí)期末）下列長(zhǎng)度（單位：cm）的線段不能組成三角形的是（ ）
A．3，3，3B．3，5，5C．3，4，5D．3，5，8
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行分析即可．可以用較小的兩邊之和與最大邊比較．
【詳解】解：A、3+3＞3，能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、3+5＞5，能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、3+4＞5，能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、3+5=8，不能組成三角形，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三邊關(guān)系．三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
【變式3.2】（2021·浙江溫州·八年級(jí)期中）已知一個(gè)三角形的兩邊分別為2和7，則這個(gè)三角形的第三邊可以是（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可判斷．
【詳解】設(shè)第三邊為x，則，即，選項(xiàng)C符合題意．
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．
【變式3.3】（2022·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若三角形兩邊a、b的長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊c的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列不等式求解．
【詳解】因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，兩邊之差小于第三邊?br>所以3+4>c，且4-3

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