藝考生專題講義28 數(shù)列求和-2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?d,2).
2.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
二．裂項相消求和
1.通項特征：通項一般是分式，分母為偶數(shù)個因式相乘，且滿足a是常數(shù)，
2.解題思路
錯位相減法
通項特征：一次函數(shù)*指數(shù)型函數(shù)
解題思路
分組轉(zhuǎn)化求和
1.通項特征：或
2.解題思路
精講精練
題型一裂項相消求和
【例1】已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵，∴，解得，
當時，由①可得，②，
①－②：，
∵，∴，∴，即∴，
∴是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
∴
綜上所述，結(jié)論是：.
(2)由(1)可得
∴，
綜上所述，.
【方法總結(jié)】
裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：
（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；
（2）無理型；
（3）指數(shù)型；
（4）對數(shù)型.
【舉一反三】
1．已知，設(shè)，數(shù)列的前項和______.
【答案】
【解析】由，，
所以數(shù)列{}前項和為
.故答案為：.
2．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為______．
【答案】
【解析】當時，由，得，
兩式相減，得，又，適合，所以
所以
所以．
故答案為：
3．已知等差數(shù)列的前項和為，，.
(1)求數(shù)列體的通項公式：
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，
∵，，∴，，解得，.
∴.
(2)由(1)得，，
∴.
題型二錯位相減求和
【例2】設(shè)數(shù)列?的前項和分別為?，且，，
(1)求數(shù)列?的通項公式；
(2)令，求的前項和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由得，
當時，，
當時，也適合，故.
由得，得，
當時，，得，
又，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
綜上所述：，.
(2)，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
【舉一反三】
1．設(shè)數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，①得，②
①②，得，所以，
又，，所以，，，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
(2)由(1)得，，
所以，③
，④
③④得，，所以.
2．已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)設(shè)，且，求的前項和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由得，，，
故，，故，
即是為首項，公比為的等比數(shù)列，故；
(2)由(1)知，，設(shè)的前項和，
，
，
作差得，，
即，
，化簡得，故的前項和為.
3．已知數(shù)列的前n項和為，且
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析，；(2).
【解析】(1)數(shù)列的前n項和為，且①，
當時，解得：，當時，②，
①-②得：，故：(常數(shù))，
所以，數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.
所以，(首項符合通項)，故：.
(2)
所以，
，
兩式相減得，，因此.
4．已知遞增數(shù)列滿足，，且是方程的兩根，數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)因為方程兩根為或7，
又?是方程的兩根，數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，
，，設(shè)公差為，則，解得，.
.
對于數(shù)列，，
當時，，解得；
當時，，
整理得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，
(2)，
數(shù)列的前項和，，
兩式相減可得，
.
題型三分組求和
【例3】已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；；(2).
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
∴數(shù)列的通項公式為，∴.
又，∴，
∵數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
∴，∴；
(2)由題意得，
.
【舉一反三】
1．設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，
，，
，即，
的通項公式.
(2)是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
，
數(shù)列的前n項和.
2．已知等比數(shù)列中，且是和的等差中項.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足求的前n項和
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，又則
由于是和的等差中項，
得，即，解得
所以，
(2)
3．在公差不為0的等差數(shù)列的前10項和為65，、、成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為()，
因為前10項和為65，所以，
因為、、成等比數(shù)列，所以，即，
聯(lián)立，解得，，
故.
(2)因為，，
所以，
則
，
故.
4．已知數(shù)列的前項和滿足：.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)當時，，得.
當時，由，①
得，②
①-②，得，又，∴，∴，
∴是等比數(shù)列，∴
(2)由，則，
則
．
題型四倒序相加求和
【例4】已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項和為( )
A．B．33C．D．34
【答案】A
【解析】函數(shù)滿足，
①，
②，
由①②可得，，
所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，其前10項和為.
故選：A.
【舉一反三】
1．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為( )
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】函數(shù)滿足，①，
②，
由①②可得，
，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項和為．
故選：D．
2．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為( )
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】因為函數(shù)滿足，
①，
②，
由①②可得，，
所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項和為.
故選：D.
3．已知若等比數(shù)列滿足則( )
A．B．1010C．2019D．2020
【答案】D
【解析】
等比數(shù)列滿足
即2020故選：
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